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“配速法”处理复合场中摆线问题的备考研究
--------基于核心素养下的分析
高中物理电磁模块一直是高考题型中的重难点，核心素养的考查下也将成为各地区高考命题的热点。近几年高考出现复合场可用配速法的有：2019年天津高考题，2022年高考全国甲卷题，2022年广东卷题，2023年江苏省物理卷题，这些压轴大题均可以用配速发来处理摆线运动。
复合叠加场是常见的情景设置，摆线问题的处理也由动力学大综合转向了配速法。近十年各届高考试题的叠加场中一些特殊问题往往用配速来处理更快捷。对于该问题的研究有一定的拔尖的价值，从物理核心素养的角度来说，提高学生思维综合能力和处理复杂问题技巧方法。下面我们来探讨这个问题。
一、认识“配速法”：
1、若带电粒子在磁场中所受合力不会零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解分两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。
如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平的匀强磁场（垂直纸面向里），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子在场中运动，不计粒子所受重力。
若该粒子在M点由静止释放，其运动将比较复杂。为了研究该粒子的运动，可以应用运动的合成与分解的方法，将它为0的初速度分解为大小相等的水平向左和水平向右的速度。求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm。
2、配速法的原理
这个运动之所以复杂是因为洛伦兹力改变了运动的方向，带电粒子在磁场中做的最简单的运动是匀速圆周运动，我们就可以想方设法将其分解为匀速圆周运动。
粒子的初速度为零，可分解为水平向右的速度v和水平向左的速度v，其中水平向右的速度v对应的洛伦兹力与电场力平衡：Bqv=Eq；因此，粒子的运动是水平向右速度为v的匀速直线运动和初速度水平向左，大小为v的逆时针匀速圆周运动的合运动，圆周运动的轨道半径
所以，
通过例题分析可以看到，所谓“配速法”其本质是应用了运动的合成与分解的思想，将复杂的运动简化为两个简单的分运动来处理。化繁为简的物理方法能够帮助我们找到这个复杂运动的规律及运动的路径。因此，高三后期要学会灵活应用运动合成与分解的思想，提升我们的解题效率。
3、认识摆线：
摆线，又称旋轮线、圆滚线，在数学中，摆线（Cycloid）被定义为，一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种。摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。
一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹形成摆线。圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴。当圆滚动θ角以后，圆上定点从o点位置到达P点位置。当圆滚动一周，即θ从0变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第一拱。再向前滚动一周， 动圆上定点描画出第二拱，继续滚动，可得第三拱，第四拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的 ，每一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。
二、配速法的归纳：
1、常见类型如下表：
2、其他情况如下表
3、适用条件：
（1）在组合场中；（2）合力不为零。
4、规律总结：（1）是把速度分解成两个速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力、或重力和电场力的合力）平衡，使粒子在这个方向上做匀速直线运动；
（2）初速度为零时，速度分解为两个等大、反向的速度；初速度不为零时，按矢量分解法则分解。
例题分析：
例1．如图甲所示，空间存在一范围足够大的垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．让质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到磁场中．不计重力和粒子间的影响．
（1）若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求v1的大小；
（2）已知一粒子的初速度大小为v（v＞v1），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值；
（3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射．研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关．求该粒子运动过程中的最大速度值vm．
解析：
(1)当粒子沿y轴正向入射，转过半个圆周至A点，半径R1＝a/2
由运动定律有
解得
(2)如右图所示，O、A两点处于同一圆周上，且圆心在
x＝的直线上，半径为R，当给定一个初速率v时，
有2个入射角，分别在第1、2象限．
即 sinθ′＝sinθ＝
另有
解得 sinθ′＝sinθ＝
(3)粒子在运动过程中仅电场力做功，因而在轨道的最高点处速率最大，用ym表示其y坐标，由动能定理有 qEym＝mv－mv
由题知 vm＝kym
若E＝0时，粒子以初速度v0沿y轴正向入射，有 qv0B＝m
在最高处有 v0＝kR0
联立解得
考点：带电粒子在复合场中的运动；动能定理．
从例题的展示我们可以总结出以下两条：
其一，将带电粒子的速度进行这样的分解——其中一个分速度 v1引起的洛伦兹力与电场力（或重力、或重力电场力的合力）平衡；
其二，按前述分解后，得到带电粒子的两个分运动——v1引起的匀速直线运动和 v2引起的匀速圆周运 动，则带电粒子的实际运动是这两个分运动的合运动。
例2．如图，绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动．A、C两点间距离为h，重力加速度为g．
（1）求小滑块运动到C点时的速度大小vc；
（2）求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf；
（3）若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P点．已知小滑块在D点时的速度大小为vD，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时速度的大小vp.
解析：小滑块到达C点时离开MN，此时与MN间的作用力为零，对小滑块受力分析计算此时的速度的大小；由动能定理直接计算摩擦力做的功Wf；撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，根据分运动计算最后的合速度的大小；
（1）由题意知，根据左手定则可判断，滑块在下滑的过程中受水平向左的洛伦兹力，当洛伦兹力等于电场力qE时滑块离开MN开始做曲线运动，即
解得：
（2）从A到C根据动能定理：
解得：
（3）设重力与电场力的合力为F，由图意知，在D点速度vD的方向与F地方向垂直，从D到P做类平抛运动，在F方向做匀加速运动a=F/m，t时间内在F方向的位移为
从D到P，根据动能定理：，其中
联立解得：
总结：解决本题的关键是分析清楚小滑块的运动过程，在与MN分离时，小滑块与MN间的作用力为零，在撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，根据滑块的不同的运动过程逐步求解即可．
例题3．（2019·天津高三）如甲所示，空间存在一范围足够大、方向垂直于竖直平面xoy向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．让质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子从坐标原点o沿xoy平面入射．不汁粒子重力，重カ加速度カg．
（1）若亥粒子沿y轴负方向入射后，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求粒子速度v0的大小；
（2）若亥粒子以速度v沿y轴负方向入射的同吋，一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出，二者经过时间恰好相遇，求小球抛出点的纵坐标；
（3）如图乙所示，在此空间再加入沿y轴负方向、大小为E的匀强电场，让该粒子改为从o点静止释放，研究表明：粒子在xoy平面内将做周期性运动，其周期，且在任一时刻，粒子速度的水平分量vx与其所在位置的y轴坐标绝对值的关系为．若在粒子释放的同时，另有一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出，二者经过时间恰好相遇，求小球抛出点的纵坐标．
解析：
(1)由题意可知，粒子做匀速圆周运动的半径为，有：
洛伦兹力提供向心力，有：
解得：
(2)洛伦兹力提供向心力，又有：
解得：
粒子做匀速圆周运动的周期为T，有：
则相遇时间为：
在这段时间粒子转动的圆心角为，有：
如图所示，相遇点的纵坐标绝对值为：
小球抛出点的纵坐标为：
(3)相遇时间：
由对称性可知相遇点在第二周期运动的最低点
设粒子运动到最低点时，离轴的距离为，水平速度为
由动能定理，有：
联立解得：
故小球抛出点的纵坐标为：
真题训练：
1（2022年全国甲卷）.空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（xoy平面）向里，电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点o由静止开始运动。下列四幅图中,可能正确描述该粒子运动轨迹的是(　　)
2(2022年广东卷).如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有（ ）
A．电子从N到P，电场力做正功
B．N点的电势高于P点的电势
C．电子从M到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
3（2023江苏卷）.霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从o点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1；
（3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N0的百分比。
用“配速法”分析处理带电粒子在复合场中的运动显得“直观、形象、简洁明了”。除了涉及牛顿第二定律的运用及其作用效果的“重组等效”外，并不需要运用其他任何物理规律；相反，不用配速法，那么往往要综合运用高中物理的核心规律——牛顿第二定律、动能定理、动量定理等，其中可能还要运用到“微元”思想，思维难度不小。对于考生而言具有思维挑战性。
另本文撰写时间仓促，疏漏和错误之处在所难免，欢迎各位专家老师批评指正，为谢!

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