资源简介

3.2、函数的表示法
一、函数的三种表示方法:解析法；列表法；图像法
1、列表法：就是列出表格表示两个变量的关系
优点:直观、不需要计算
缺点：只能表示出自变量取较少值时的对应关系、不能表示连续的函数
2、图像法：就是用图像表示两个变量的关系
优点:形象、直观的反应函数的变化情况
缺点：只能近似的求出自变量对应的函数值，误差较大
函数图像的做法：①列表；②描点；③连线
3、解析法：就是用数学表达式表示两个变量的关系（）
优点：①简明、全面地概括了变量间的关系②通过解析式可以求出任意一个自变量对应的函数值
缺点：不够形象、直观、需要计算、而且并不是所有的函数都能用解析式表示
注意：函数解析式不唯一的（），函数解析式可以分段（引出分段函数）
【例1】以下形式中，不能表示“是的函数”的是(　　)
x 1 2 3 4
y 4 3 2 1
A、
B、
C、
D、
解：时，，答案：D
【例2】已知，，求，，，
解：，，
（）
思考：函数，可以是一个数、可以是一个变量、也可以是一个解析式（也就是迭代二、分段函数（先分后合看断点）
定义：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，
如，，
理解：1、分段函数是一个函数，而不是几个
2、写分段函数定义域时，区间断点应不重不漏
3、处理分段函数问题是，要首先确定自变量的取值属于哪个范围，然后选取相应的对应关系
4、分段函数的定义域是各端函数的定义域的并集，分段函数的值域是各端函数的值域的并集，
最大（小）值就是整体最大（小）值
分段函数的图形：1、画图像时，先不管定义域的限制，用虚线做图，
2、用实线保留定义域内的部分，端点包含用实心点，不包含用空心圈
【例3】判断题
1、解析式可以表示任意的函数（×）
2、任何一个图形都可以表示函数的图象（×）
3、分段函数就是多个函数（×）
4、任何一个函数都能用列表法表示（×）
5、分段函数有多个定义域（×）
6、分段函数只有一个值域（√）
【例4】（多选）下列关于分段函数说法正确的是（ ）
A、分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分段函数是几个函数
B、若，则
C、是分段函数
D、分段函数的定义域都是
解：正确，注意选项的形式也可以表示分段函数，去绝对值或利用绝对值几何意义
【例5】（多选）下列给出的函数是分段函数的是（ ）
B、
C、 D、
解：正确答案为
【例6】已知函数，若，则_______
解：，
【例7】设，则（ ）
A、3　 　　　B、1　　 　　C、0　　 　　D、－1
解：，，答案A
【例8】已知函数，则
解：，
【例9】设，则的值为(　　)
A、10　　 　B、11　　 　C、12　 　　D、13
解： 答案：B
【例10】已知，若，________
解法一：画出图像判断
解法二：分类讨论，（1）若（舍）
若（舍）
若（舍）
【例11】设函数，若，则实数________
解：当时，（舍）
当时，
【例12】函数，若，则的取值范围是________．
解：方法一：画图
方法二：当时，，解集是；
当时，，此时不等式无解；
当时，，此时不等式无解．
综上，的取值范围是
【例13】已知实数，函数，若，则______
解：当时，，，，解得
(舍)
当时，，，，解得
【例14】若定义运算，则函数的解析式是________
解：当时，；当时，
所以
【例15】*（多）设函数，若，则实数的值可以是（ ）
A、1 B、0 C、 D、
解：当时，，，，（舍）
当时，，，所以，成立
当时，，，所以，成立
所以成立，答案BCD
【例16】如图所示，动点从边长为1的正方形的顶点出发，顺次经过顶点再回到.设表示点的路程，表示的长度，求关于的函数关系式．
解：当点从运动到时，；
当点从运动到时，
当点从运动到时，
当点从运动到时，
所以
【例17】某同学为研究一个函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设，则，请你参考这些信息，写出函数的解析式；并推测函数是_____取到最小值_____
解：；
有几何性质可知，当，
思考：这道题反映了代数和几何之间的统一，我们要研究函数解析式比较复杂、但是找到了一种简
单的方法，它在几何上的含义，那我们求最小值根本不是对解析式进行求解，而是对几何背
景进行处理
思考题：求函数的最小值和取到最小值时的值
解：
构造出两个直角三角形，类似例4，补全图形，是一个长方形，长为4，宽为3，函数最小值为5 利用相似三角形，
三、复合函数（复杂的合成函数）
定义:由两个或两个以上函数复合而成的函数叫做复合函数
（括号内是数字求得是函数值，如果括号内是式子就是复合函数，
如，，令，函数变成了）
解析式：,其中就为复合函数，为内层函数，为外层函数（画veen图）
（神奇的机器，牛进去、罐头出来了；做牛肉罐头工厂作为比喻，函数function,工厂factory）
【例1】（1）已知函数,,求函数,，，的解析式和定义域
已知，，求，的解析式
解：（1）注意定义域
；
（2）；
【例2】设，则下列结论错误的是（ ）
B、 C、 D、
解：，，，
答案：AC
求解析式
1、待定系数法求解析式（步骤：设、代、求、写）
【例3】（1）（内蒙古高一期中）已知是一次函数，且，则的解析式_______
（2）（山西高一月考）已知是二次函数，且，，则的
解析式_______
解：（1）设：， 代：
求： 写：
（2）设：，
代：，
求：
写：
2、代入法求解析式（求内层函数）
【例4】（1）已知，若，求
（2）已知，若，求
解：（1）
（2）
3、换元法求解析式（求外层函）
【例5】（1），则_______
（2），______
（3），则
（4）,则
（5），则
（6）已知函数，求
解：注意定义域，
换元法：令，
换元法：令，
换元法：令，，
方法二：，
换元法：令
,
换元法：令，
（6）换元法：令，
3、消去法：构造相同结构，列方程消元
【例6】（1）已知，求的解析式
（3）已知函数满足，求的解析式
（4）已知函数满足，求_______
（5）已知函数满足，求_______
解：（1）用代替，
列方程
（3）用代替，有
列方程组：；
（4）令，原式变为，
列方程，解得
（5）令时，；令时，
复合定义域：明确定义域指的就是取值范围，必修以下两条要求
①自变量要满足内层函数的要求（，只要牛，不要鸡、鸭、羊）
②的值域要满足外层函数的要求（，主要肉、不要板筋、牛骨）
【例7】，，求函数的定义域
解：①自变量要满足内层函数，
②的值域满足外层函数
当时，
当时，
综上：
求定义域,还有一类问题，没有解析式，这一类问题非常重要，需要我们注意
【例8】（1）的定义域是（2,4），则的定义域是____ 答案：（1,3）
（2）已知函数的定义域是（-1,0），则的定义域是____ 答案：（-1，）
（3）的定义域是（2,4），则的定义域是_____ 答案：（3,5）
（4）的定义域是（2,4），则的定义域是____ 答案：（2,6）
（5）已知函数的定义域是[0,2]，则的定义域是____ 答案：[0,1)
（6）已知函数，则的定义域_______
解：,所以
（7）若函数的定义域为，则函数的定义域为_______
解：
（8）已知函数的定义域为，求的定义域_____
解：
此类问题有两个原则：①定义域指的是自变量的范围（本质）
②括号的作用范围相同
复合函数值域：核心方法由内向外一层一层处理（就是的变形记，二百层函数也如此求值域）
【例9】（1）函数，当时，求的值域
（2）求函数的值域
（3）求函数的值域
（4）求函数的值域
解：（1），
（2）定义域，
（3）定义域为
（4）；；；
（画反比例图）；
四、抽象函数定义：抽象函数没有具体的解析式，但是给出函数的一些性质或者关系
抽象函数求值：①给的条件和问题同时出现 ②构造重复项
核心方法：“构造”通过代入“0”“1”“-1”等一些特殊数来构造出需要的结构
代入“0”：可以在加的关系中，构造重复项
代入“1”：可以在乘的关系中，构造重复项
【例1】若函数满足，且，，则
解：令,则（或令）
令，则（或令）
【例2】设函数的定义域为R，对任意,恒有成立，
且，则；；
解：令，得，；
令，得
；由，，，，可得规律
【例3】（1）（复旦自主招生）若函数满足，求
解：令，，
令，
联立解得（或可令，求得）
（2）设函数对的一切实数均有，则_______
解：令，，令，
联立解得
【例4】（1）定义在上的函数满足，则=_________
解:令，
令，
（2）定义在上的函数满足,，则
解：令，则；
令，则
令，则
令，则
【例5】已知对任意实数都有，求解析式
解：令，
令，
练习题
6、已知的图象恒过点，则的图象恒过点(　　)
A、(－3，1) B、(5，1)
C、(1，－3) D、(1，5)
解：由的图象恒过点，知，即.故的图象恒过点(5，1)．答案：B
7、已知函数满足，求的解析式
解：用代替，有
列方程组：；所以
8、已知函数，求
解：换元法：令，3.2、函数的表示法
一、函数的三种表示方法:解析法；列表法；图像法
1、列表法：就是列出表格表示两个变量的关系
优点:直观、不需要计算
缺点：只能表示出自变量取较少值时的对应关系、不能表示连续的函数
2、图像法：就是用图像表示两个变量的关系
优点:形象、直观的反应函数的变化情况
缺点：只能近似的求出自变量对应的函数值，误差较大
函数图像的做法：①列表；②描点；③连线
3、解析法：就是用数学表达式表示两个变量的关系（）
优点：①简明、全面地概括了变量间的关系②通过解析式可以求出任意一个自变量对应的函数值
缺点：不够形象、直观、需要计算、而且并不是所有的函数都能用解析式表示
注意：函数解析式不唯一的（），函数解析式可以分段（引出分段函数）
【例1】以下形式中，不能表示“是的函数”的是(　　)
x 1 2 3 4
y 4 3 2 1
A、
B、
C、
D、
【例2】已知，，求，，，
思考：函数，可以是一个数、可以是一个变量、也可以是一个解析式（也就是迭代二、分段函数（先分后合看断点）
定义：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，
如，，
理解：1、分段函数是一个函数，而不是几个
2、写分段函数定义域时，区间断点应不重不漏
3、处理分段函数问题是，要首先确定自变量的取值属于哪个范围，然后选取相应的对应关系
4、分段函数的定义域是各端函数的定义域的并集，分段函数的值域是各端函数的值域的并集，
最大（小）值就是整体最大（小）值
分段函数的图形：1、画图像时，先不管定义域的限制，用虚线做图，
2、用实线保留定义域内的部分，端点包含用实心点，不包含用空心圈
【例3】判断题
1、解析式可以表示任意的函数（ ）
2、任何一个图形都可以表示函数的图象（ ）
3、分段函数就是多个函数（ ）
4、任何一个函数都能用列表法表示（ ）
5、分段函数有多个定义域（ ）
6、分段函数只有一个值域（ ）
【例4】（多选）下列关于分段函数说法正确的是（ ）
A、分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分段函数是几个函数
B、若，则
C、是分段函数
D、分段函数的定义域都是
【例5】（多选）下列给出的函数是分段函数的是（ ）
B、
C、 D、
【例6】已知函数，若，则_______
【例7】设，则（ ）
A、3　 　　　B、1　　 　　C、0　　 　　D、－1
【例8】已知函数，则
解：，
【例9】设，则的值为(　　)
A、10　　 　B、11　　 　C、12　 　　D、13
【例10】已知，若，________
【例11】设函数，若，则实数________
【例12】函数，若，则的取值范围是________．
【例13】已知实数，函数，若，则______
【例14】若定义运算，则函数的解析式是________
【例15】*（多）设函数，若，则实数的值可以是（ ）
A、1 B、0 C、 D、
【例16】如图所示，动点从边长为1的正方形的顶点出发，顺次经过顶点再回到.设表示点的路程，表示的长度，求关于的函数关系式．
【例17】某同学为研究一个函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设，则，请你参考这些信息，写出函数的解析式；并推测函数是_____取到最小值_____
思考：这道题反映了代数和几何之间的统一，我们要研究函数解析式比较复杂、但是找到了一种简
单的方法，它在几何上的含义，那我们求最小值根本不是对解析式进行求解，而是对几何背
景进行处理
思考题：求函数的最小值和取到最小值时的值
三、复合函数（复杂的合成函数）
定义:由两个或两个以上函数复合而成的函数叫做复合函数
（括号内是数字求得是函数值，如果括号内是式子就是复合函数，
如，，令，函数变成了）
解析式：,其中就为复合函数，为内层函数，为外层函数（画veen图）
（神奇的机器，牛进去、罐头出来了；做牛肉罐头工厂作为比喻，函数function,工厂factory）
【例1】（1）已知函数,,求函数,，，的解析式和定义域
已知，，求，的解析式
【例2】设，则下列结论错误的是（ ）
B、 C、 D、
求解析式
1、待定系数法求解析式（步骤：设、代、求、写）
【例3】（1）（内蒙古高一期中）已知是一次函数，且，则的解析式_______
（2）（山西高一月考）已知是二次函数，且，，则的
解析式_______
2、代入法求解析式（求内层函数）
【例4】（1）已知，若，求
（2）已知，若，求
3、换元法求解析式（求外层函）
【例5】（1），则_______
（2），______
（3），则
（4）,则
（5），则
（6）已知函数，求
3、消去法：构造相同结构，列方程消元
【例6】（1）已知，求的解析式
（3）已知函数满足，求的解析式
（4）已知函数满足，求_______
（5）已知函数满足，求_______
复合定义域：明确定义域指的就是取值范围，必修以下两条要求
①自变量要满足内层函数的要求（，只要牛，不要鸡、鸭、羊）
②的值域要满足外层函数的要求（，主要肉、不要板筋、牛骨）
【例7】，，求函数的定义域
【例8】（1）的定义域是（2,4），则的定义域是____
（2）已知函数的定义域是（-1,0），则的定义域是____
（3）的定义域是（2,4），则的定义域是_____
（4）的定义域是（2,4），则的定义域是____
（5）已知函数的定义域是[0,2]，则的定义域是____
（6）已知函数，则的定义域_______
（7）若函数的定义域为，则函数的定义域为_______
（8）已知函数的定义域为，求的定义域_____
此类问题有两个原则：①定义域指的是自变量的范围（本质）
②括号的作用范围相同
复合函数值域：核心方法由内向外一层一层处理（就是的变形记，二百层函数也如此求值域）
【例9】（1）函数，当时，求的值域
（2）求函数的值域
（3）求函数的值域
（4）求函数的值域
四、抽象函数定义：抽象函数没有具体的解析式，但是给出函数的一些性质或者关系
抽象函数求值：①给的条件和问题同时出现 ②构造重复项
核心方法：“构造”通过代入“0”“1”“-1”等一些特殊数来构造出需要的结构
代入“0”：可以在加的关系中，构造重复项
代入“1”：可以在乘的关系中，构造重复项
【例1】若函数满足，且，，则
【例2】设函数的定义域为R，对任意,恒有成立，
且，则；；
【例3】（1）（复旦自主招生）若函数满足，求
（2）设函数对的一切实数均有，则_______
【例4】（1）定义在上的函数满足，则=_________
（2）定义在上的函数满足,，则
【例5】已知对任意实数都有，求解析式
练习题
6、已知的图象恒过点，则的图象恒过点(　　)
A、(－3，1) B、(5，1)
C、(1，－3) D、(1，5)
7、已知函数满足，求的解析式
8、已知函数，求

展开更多......

收起↑