资源简介

课件17张PPT。2008届高三数学期末考试试卷分析 南京市教研室 朱建明一、指导思想：
在努力体现新课程标准评价理念的基础上，了解全市高三学生一轮复习后的数学学习状况——数学基础状况和需要进一步强化、整合和发展的方面，激励他们投入到高三数学二轮复习活动中去；了解全市高三数学教师的一轮复习教学对学生所产生的影响，以便做好今后的二轮复习教学工作． 二、试题特点 1．特别关注教材中最基础和最核心的内容 ; 2．试题的难易编排努力迎合高考数学考试说明中的“考试内容和要求”，也参考了高考数学考试说明中的“典型题示例”，难度较高的试题主要选择高考数学考试说明中考试要求为C的内容，这里把“难”定位于对知识的理解和应用、对思维水平的考察、对探索规律过程的关注． ;3 ．试卷的题型结构作了较大的改变 ； 4．全卷强化了对学生解决问题能力的考核 ；5．关注创新 ．三、测试结果 1．使用2008届高三数学期末考试的共有全市72所学校共31586名学生，试卷共160分，均分为98.4分．学校均分最高为133.15分，最低为48.56分． 四、存在的主要问题 1．校与校、班与班之间存在较严重的两极分化，学生的数学成绩两极分化也依然明显；2．全卷合格率偏低，而差分率过高；4．数学解题格式和数学语言表达的规范性较前已经有所改观，但还有提升的空间； 5．在所有试题中，需要学生自己画出图形进行分析和思考的试题得分率明显偏低，有关“新定义”的试题得分率明显偏低，“应用问题”的得分率明显偏低，设计“分类思想”的试题得分率明显偏低，这些在一定程度上暴露了我们复习教学中的薄弱环节． 3．复习教学中“双基”落实的问题较为突出； 参加调研性测试的72所学校均分分布情况 ： 十四个区县的均分情况：全市3158698.4（+6.5） 十四个区县的均分情况：全市3158698.4（+6.5）人数均分市直属及县中联合体 ：学校人数均分三中联合体 ：学校人数均分南京四中等十四校联合体 ：学校人数均分程桥中学联合体 ：学校人数均分其他学校 ：学校人数均分31586名学生的考试分数分布情况 ：试题抽样得分率情况： 五、对高三数学二轮复习教学的建议 1．要进一步研究和学习《高中数学课程标准》、《教学要求》和《2008高考考试说明—数学》，抓重点，突难点，清疑点． 集思广益、群策群力、调整进程、稳步提高．2．注重基础，把握难度，抓好核心内容的二轮复习，提高基础题、中等题的得分率． 3．设计好专题，加强对热点问题的研究和训练 ．4．二轮复习教学中依然要强化目标意识和反馈意识，讲究效率 ．5．二轮复习教学中要强化过程意识 ．6．要进一步加强教学的规范性 ．请多指教！谢谢！课件5张PPT。南京市2008届高三数学二轮复习计划及建议南京市教研室 朱建明一、复习时间安排。1．2月15日进行高三数学教师寒假培训．一模的时间是3月26—28，二模的时间是4月26—28．5月中旬发考前训练题． ; 2．高三数学复习时间安排： （1）第二轮：从下学期开始到二模前结束，南京 市高三数学第二次质量检测在4月，有2个月 ； （2）第三轮：二模后到5月底，有1个月． 二、三轮复习的定位和要求。 1．第二轮复习，也称“方法篇”， 以综合性专题形式，强调方法、技巧，主要研究数学思想方法，练习专题化，专题规律化。 2．第三轮复习，也称“策略篇”，以仿真训练为主，同时强调冲刺和应试技巧，提高同学们的解题速度和应对策略，为学生排忧解难，及时剔除学生复习中暴露出来的各种不利因素，调整心态。 三、高三数学二轮复习的教学建议． 突出方法，提升能力，学会思考，关注高考 1．吃透“说明”抓重点 ； 2．重组内容抓专题 ； 3．有效操作抓落实 . 请多指教！谢谢！课件15张PPT。高三二轮复习建议与计划南京市金陵中学 尤小平三个关键:1、一看教师对《教材》、《教学要求》与《考试说明》理解是否透彻，研究是否深入，把握是否到位，明确“考什么”，“怎么考”。2、二看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出。3、三看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强，能使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，立的联系起来。练习检测与高考是否对路，不拔高、不降低，难度适宜，四个转变四个突出：1、变“介绍方法”为“选择方法”，突出解法的发现和运用。2、变“全面覆盖”为“重点讲练”，突出高考的“热点”问题。3、变“以量为主”为“以质取胜”，突出讲练落实。4、变“以‘补弱’为主”为“扬长补弱”，突出因材施教。处理好五个方面的问题：1、基础与专题问题。2、规范与速度问题。5、发挥学生主体地位问题。3、课堂容量问题。4、信息反馈问题。克服六种倾向：1、克服难题过多，起点过高。2、克服速度过快，内容过多。3、克服只练不讲。4、克服照抄照搬。5、克服集体会珍不力。6、克服高原现象。复习计划
1.时间安排：从3月3日开始至5月3日结束，拟用约8周时间。
2.具体计划：
（1） 每周安排5课时，分专题进行主干知识的整理，查漏补缺。
（2）利用2课时的时间，做填空题的专项训练，提高学生解填空题的速度与正确率,促进学生思维的敏捷性和严谨性；
（3）利用2课时进行作业讲评，学习交流。
（4）每周训练至少一份综合试卷。 专题安排：
第一单元 集合、函数与导数
第一讲 集合与逻辑
第二讲 函数的图象与性质
第三讲 二次函数、指数函数、对数函数、幂函数
第四讲 函数与方程
第五讲 导数及其应用第二单元 空间几何体
第一讲 空间几何体
第二讲 线面位置关系
第三讲 空间向量的应用第三单元 直线、圆、圆锥曲线
第一讲 直线和圆
第二讲 圆锥曲线第四单元 三角函数、平面向量、解三角形
第一讲 三角函数的图象与性质
第二讲 三角恒等变换
第三讲 解三角形
第四讲 平面向量第五单元 数列
第一讲 等差数列与等比数列
第二讲 数列的综合应用第六单元 不等式
第一讲 一元二次不等式
第二讲 不等式的应用第七单元 概率、统计、算法
第一讲 概率与统计
第二讲 概率分布
第三讲 算法和流程图
第四讲 推理证明与复数第八单元 应用性问题专题复习谢谢！课件16张PPT。数 列南京市第六十六中学 杨东福
2008年1月31日一、教学要求二、考试要求三、题型示例：四、2007年各地数列考查特点五、复习教学建议：一、教学要求二、考试要求（C）等比数列，等差数列（A）数列的有关概念三、题型示例：四、2007年各地数列考查特点2．数列大题考查方向可以归纳为以下几类：按背景分类（1）以应用题为背景．（2）以定义为背景（3）以导数或函数、方程为背景(广东)按条件分类(1)给出的条件是递推关系（湖南）(2)给出的条件是等差或等比数列（福建）按结论分类 一般的有2-3问，第一问是一个简单题（求待定系数的值，求前几项，证明一个结论，求通项），第一问的解答对第二问的证明或求解会产生影响；第二问大都与不等式有关对等差（等比）数列定义及递推数列的考查仍很热，此类题的特征表现为：1.给出的数列是等差（等比数列），在此基础上研究新的数列的有关性质;一般地，高考数列大题具有以下特点：五、复习教学建议：客观题要确保在高三数学二轮复习中坚持以学生练习为主,妥善处理好练习与讲评的关系帮助学生在关键点处和所突破解题的习惯解题的第一个想法化简、变形方法的联想 数列（第3课时）
【方法再现】
1．已知是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于 ．
2．数列中，，，又数列为等差数列，则 ．
3．若公比为的等比数列的首项且满足．求的值．
4．已知函数定义在正整数集上，且对于任意的正整数，都有，且，则 ．
5． 《莱因德纸草书》 ( Rhind Papyrus )是世界上最古老的数学著作之一． 书中有一道这样的题目: 把100个面包分给5个人, 使每个所得成等差数列, 且使最大的三份之和的是较小的两份之和, 则最小的一份的量为 ．
【典型例题】
例1．已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项
解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2), ②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列，∴a1≠3；
当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3.
例2.已知函数的图象过点A（4，）和B（5，1）
（1）求函数的解析式；
（2）记，是正整数，是数列的前项和，解关于的不等式；
（3）对于（２）中的与，整数96是否为数列中的项?若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.
解：（1）由＝a·b4，1＝a·b5，得b＝4，a＝，故f（x）＝4x．
（2）由题意an＝log2（·4n）＝2n－10，Sn＝（a1＋an）＝n（n－9），anSn＝2n（n－5）（n－9）．
由anSn≤0，得（n－5）（n－9）≤0，即5≤n≤9.故n＝5，6，7，8，9．
（3）a1S1＝64，a2S2＝84，a3S3＝72，a4S4＝40．当5≤n≤9时，anSn≤0．当n≥10时，anSn≥a10S10＝100．
因此，96不是数列｛anSn｝中的项．
又 a3－a2=a2－a1=5, 所以数列为等差数列．
例3．在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.
（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（2）若“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（3）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
解：（1），，，.
（2）略；
（3）.
例4. 某公司全年的纯利润为元，其中一部分作为奖金发给位职工.奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由1至排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金.
（1）设为第位职工所得奖金额，试求，并用、和表示；（不必证明）
（2）证明，并解释此不等式关于分配原则的实际意义.
解：（1）第1位职工的奖金a1＝，第2位职工的奖金a2＝（1－）b，第3位职工的奖金a3＝（1－）2b，……，第k位职工的奖金ak＝（1－）k－1b．
（2）ak－ak＋1＝（1－）k－1b＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则．
【反馈练习】
1．在等差数列中，已知则等于
2．已知数列满足，则= ．
3．在数列中，，且，则 ．
4．递增数列1，5，7，11，13，17，19，.它包含所有既不能被2整除，又不能被3整除的正整数，则此数列的第100项为 .
5．已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.
（1）求q的值；
（2）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
2008届高三数列复习讲座
一、教学要求
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。
理解数列的通项公式的意义。
2．理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。
能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等差数列与一次函数的关系。
3．理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。
能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等比数列与指数函数的关系。
探索并、等比数列的通项公式和前n项和公式。
数列教学，要注意的问题：
（1）教学中，应使学生了解数列是一种特殊函数。
（2）会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式。
（3）教学中，要掌握数列中各量之间的基本关系。但训练要控制难度和复杂程度，避免繁琐的计算、人为技巧化的难题。
（4）等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系。这样做，即突出了问题意识，也有助于学生理解数列的本质。
二、考试要求：
（A）数列的有关概念
（C）等比数列，等差数列
三、题型示例：
1．已知数列的前项的和，第项满足，则（中等题）
2．已知是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项的和．
（1）若（是大于2的正整数），求证：；
（2）若（是某个正整数），求证是整数，且数列中的每一项都是数列中的项；
（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．（难题）
四、2007年各地数列考查特点
1．各地高考数列试题基本上都是一小一大，小题以考查等差（比）数列的通项公式，前项和为主，知识点以2-3个为多，解题方法大都是通法（解方程或解方程组），题目为容易题或中等题，在27个题中仅有8题的背景或问题不是等差（比）数列问题
（1）（安徽文）3．等差数列的前项和为，若，，则
（2）（北京文理）10．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．
（3）（福建理）2．数列的前项和为，若，则等于
（4）（福建文）2．等比数列中，，则等于
（5）（广东文理）13．已知数列的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 ．
（6）（海南、宁夏理）4．已知是等差数列，，其前10项和，
则其公差
（7）（海南、宁夏文）6．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于
（8）（海南、宁夏文）16．已知是等差数列，，其前5项和，则其公差　　　　．
（9）（湖北理）6．若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则甲是乙的 条件
（10）（湖北理）8．已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是 个
（11）（湖南理）15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．
第1行　　　　　 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
（12）（湖南文）4．在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为
（13）（江西理）14．已知数列对于任意，有，若，则
（14）（江西文）14．已知等差数列的前项和为，若，则 ．
（15）（辽宁文理）4．设等差数列的前项和为，若，，则
（16）（全国Ⅰ理）（15）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．
（17）（全国Ⅱ文）14．已知数列的通项，则其前项和 ．
（18）（陕西理）5．各项均为正数的等比数列 的前项和为为，若，，则等于
（19）（陕西文）5．等差数列的前项和为，若，，则等于
（20）（天津理）8．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则
（21）（重庆理）1．若等比数列的前项和且，则等于
（22）（重庆理）7．若是与的等比中项，则的最大值为
（23）（重庆理）14．设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则______．
（24）（重庆文）1．在等比数列中，，则公比为
（25）（重庆文）11．设是和的等比中项，则的最大值为
（26）（2005江苏）（3）在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则
（27）（2006江苏）（15）对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　 　
2．数列大题考查方向可以归纳为以下几类：
按背景分类
（1）以应用题为背景
(安徽文理21)．（本小题满分14分）
某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，．以表示到第年末所累计的储备金总额．
（Ⅰ）写出与的递推关系式；
（Ⅱ）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．
（2）以定义为背景
（上海理）20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．
（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，
．依次写出的每一项；
（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；
（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和．
（上海文）20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．
例如，数列与数列都是“对称数列”．
（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；
（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；
（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．
（3）以导数或函数、方程为背景
（广东文理）21．（本小题满分14分）
已知函数，是方程的两个根（），是的导数，设，．
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数，都有；
（3）记，求数列的前项和．
（湖南理）21．（本小题满分13分）
已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；
（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增．
（辽宁理）21．（本小题满分12分）
已知数列，与函数，，满足条件：
，.
（I）若，，，存在，求的取值范围；
（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，（用表示）．
（四川文）（22）(本小题满分14分)
已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,N +），其中为正实数.
（Ⅰ）用xx表示xn+1；
（Ⅱ）若a1=4，记an=lg，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；
（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.
（浙江理）（21）（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（I）求，，，；
（II）求数列的前项和；
（Ⅲ）记，
，
求证：．
（浙江文）19．（本题14分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（I）求，，，及（）（不必证明）；
（II）求数列的前项和．
（4）没有背景，就是数列问题
按条件分类
给出的条件是递推关系
给出的条件是等差或等比数列
按结论分类
一般的有2-3问，第一问是一个简单题（求待定系数的值，求前几项，证明一个结论，求通项），第一误码的解答对第二问的证明或求解会产生影响；第二问大都与不等式有关
（北京文理）15．（本小题共13分）
数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；
（II）求的通项公式．
（福建理）21．（本小题满分12分）
等差数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项与前项和；
（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
（福建文）21．（本小题满分12分）
数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）求数列的前项和．
（湖北文）20．（本小题满分13分）
已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列．
（I）证明：；
（II）若，证明数列是等比数列；
（III）求和：．
（湖南文）20．（本小题满分13分）
设是数列（）的前项和，，且，，．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．
（江苏）20．（本题满分16分）
已知是等差数列，是公比为的等比数列，，，记为数列的前项和．
（1）若（是大于的正整数），求证：；（4分）
（2）若（是某个正整数），求证：是整数，且数列中的每一项都是数列中的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．（4分）
（江西理）22．（本小题满分14分）
设正整数数列满足：，且对于任何，有．
（1）求，；
（3）求数列的通项．
（江西文）21．（本小题满分12分）
设为等比数列，，．
（1）求最小的自然数，使；
（2）求和：．
（辽宁文）20．（本小题满分12分）
已知数列，满足，，且（）
（I）令，求数列的通项公式；
（II）求数列的通项公式及前项和公式．
（全国Ⅰ文理）（22）（本小题满分12分）
已知数列中，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列中，，，
证明：，．
（全国Ⅰ文）（21）（本小题满分12分）
设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
（全国Ⅱ理）21．（本小题满分12分）
设数列的首项．
（1）求的通项公式；
（2）设，证明，其中为正整数．
（全国Ⅱ文）17．（本小题满分10分）
设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．
（山东理）（17）（本小题满分12分）
设数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
（山东文）18．（本小题满分12分）
设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的等差数列．
（2）令求数列的前项和．
（陕西理）22．（本小题满分12分）
已知各项全不为零的数列的前项和为，且，其中．
（I）求数列的通项公式；
（II）对任意给定的正整数，数列满足（），，求．
（陕西文）20．（本小题满分12分）
已知实数列是等比数列，其中，且，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）数列的前项和记为，证明：．
（天津理）21．（本小题满分14分）
在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（天津文）（20）（本小题满分12分）
在数列中，，，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
（重庆文理）21．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）
已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：
．
（2006江苏）（21）（本小题满分14分）
　　　设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），
　　　证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）
（2005江苏）23。设数列的前项和为，已知，且，其中A，B为常数。
求A与B的值；
证明数列为等差数列；
证明不等式对任意正整数都成立。
五、复习教学建议：
1．数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求不是很高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式、导数等知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.
2.对等差、等比数列的性质也有所考查。但并不是刻意去考查，用通法仍能解决，且不太复杂。对此类客观题，在掌握通法的前提下，要求学生掌握一点简捷方法是有效的
3.在大题中对等差（等比）数列定义及递推数列的考查仍然很热，此类题有三个特点：（1）给出的数列是等差（等比数列），在此基础上研究新的数列的有关性质；（2）给出的数列不是等差（等比）数列，但构造的新数列是等差（等比）数列；（3）给出的递推关系中隐含的是等差（等比）关系。一般来说，此类题中有1~2问具有以下特点：（1）用到等差（等比）数列定义证明是等差（等比）数列；（2）求待定系数的值；（3）通过简化递推关系，得出是一个等差（等比）数列。
因此，在对此类题的复习中，要加强1~2问的训练，确保1~2问的得分率
4.数列问题对运算、化简、变形等要求较高，
南京市2008届高三第一学期期末（2008、01、31）考试
数学学科质量分析
南京市第十三中学 周 德
一、命题意图
此次考试是为了了解我市高三学生通过第一阶段复习后，对数学基础知识、基本技能、基本思想方法的掌握情况，对空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、综合能力的达成程度，对以填空题和解答题构成的新高考试卷的适应状况．帮助同学和老师找出第一阶段复习中存在的不足之处，分析学习和教学中的问题，制定出切合实际的第二轮复习的计划，力争使复习具有针对性和有效性，取得好的复习效果．
二、试卷特点
1．遵循2008年江苏省数学考试说明，注意知识的覆盖
如考试说明中必修部分的76个考点中的8个C级点分别在第15题（两角和（差）的正弦、余弦、正切），第11题（平面向量的数量积），第20题（等差数列），第8题（等比数列），第18题（基本不等式），第3题、第16题（一元二次不等式），第19题（直线方程，圆的方程）进行了覆盖．
2．立足高中数学教材，考查基础知识
以课本中例题、习题的原形为基本题蓝本，考查基础知识．如第1题、第3题、第6题、第9题、第10题都是选自教材．
3．依靠数学的通性通法，考查数学能力
通过最简单的正方体，圆柱与圆锥作为载体考查空间想象能力和推理论证能力，通过茎叶图、数表考查数据处理能力，通过解不等式、解方程、求值、求导等查考运算求解能力．
三、试题分析
1．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≤3}，则A∩B＝________．
考查目标：考查集合的运算与表示，容易题，难度0.97．市均分4.86．
主要问题：没有用集合或区间的形式表示出结果．不规范．
2．已知复数z＝1＋bi(b∈R)，z2是纯虚数，则b的值是___________．
考查目标：考查复数的运算与有关概念，容易题，难度0.85．市均分4.27．
主要问题：b的值求的不全，只求出b＝1，少了－1．不严紧．
3．函数y＝lg(x2－2x)的定义域是___________．
考查目标：考查函数的定义域与一元二次不等式解法，容易题，难度0.89．市均分4.44．
主要问题：（1）没有用集合或区间的形式表示出结果，对函数的概念理解不深刻．
（2）列出x2－2x≠0或对对数函数的定义域不理解．
（3）一元二次不等式解的不正确，基本运算不到位．
4．经过点(－2，1)，且与直线2x－3y＋5＝0平行的直线方程是___________．
考查目标：考查直线方程与两直线的位置关系，容易题，难度0.87．市均分4.36．
主要问题：恒等变形不正确，由一般方程不能正确求出斜率，不能正确化点斜式方程为一般方程，算不对．
5．现有2008年奥运会福娃卡片5张，卡片正面分别是贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮，每张卡片大小、质地和背面图案均相同，将卡片正面朝下反扣在桌子上，从中一次随机抽出两张，抽到贝贝的概率是___________．
考查目标：考查等可能性事件的概率，容易题，难度0.81．市均分4.05．
主要问题：不能正确理解题意，算不对．
评讲建议：（1）考虑顺序，所在抽法有20种，其中含有贝贝的有8种，概率为．
（2）不考虑顺序，所在抽法有10种，其中含有贝贝的有4种，概率为．
（3）一次随机抽出两张等份于每次抽一张，连续抽两次，每次抽到贝贝的概率都是，和为．
6．右面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，则平均得分高的是___________运动员．
考查目标：考查处理数据和估算能力，容易题，难度0.95．市均分4.77．
主要问题：不理解茎叶图的意义，读不懂．
7．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为(，0)，实轴长为2，则该双曲线的方程是___________．
考查目标：考查双曲线的标准方程与几何性质，容易题，难度0.84．市均分4.18．
主要问题：审题不仔细，误把实轴长为2看成a＝2．
8．已知等比数列{an}的各项都为正数，它的前三项依次为1，a＋1，2a＋5，则数列{an}的通项公式为an＝___________．
考查目标：考查等比数列的概念与通项公式，容易题，难度0.86．市均分4.29．
主要问题：审题不仔细，没有注意各项都是正数这个条件，运算不正确，没有得到a的正确值．
9．根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果i为___________．

考查目标：考查算法与流程图，中等题，难度0.73．市均分3.67．
主要问题：读不懂流程图．
评讲建议：（1）列表法：
（2）注意变式训练：
① 当型变为直到型．
②变为填条件
当输出S＝24时，关于i的判断框①应填的条件是___________．
10．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是___________cm3．
考查目标：考查三视图与立体图之间的转化，柱体、锥体的体积计算．容易题，难度0.81．市均分4.06．
主要问题：不能正确的进行三视图与立体图的转化，对柱体、锥体的体积公式不熟悉，计算不正确．
11．已知||=2，||=2，(=0，点C在线段AB上，且(AOC=60(，则(＝___________．
考查目标：考查向量的数量积及向量与几何的转化．中等题，难度0.62．市均分3.12．
主要问题：不能正确的把向量语言用图形表示出来，对向量的数量积运算不熟练．两个向量的夹角的概念模糊．
评讲建议：（1）根据||=2，||=2，(=0可得△AOB是直角三角形，且(OAB＝60(．又因为(AOC＝60(，故C为AB的中点．②可以用几何法或代数法求出(．用几何法，根据条件可得||＝4，||＝2，＜，＞＝60(．故(＝4；
（2）用代数法，如图建立直角坐标系，则A(0，2)，B(2，0)，C(，1)，所以＝(2，－2)，
＝(，1)，从而(＝4．或用基底法，选取，作为基底，则＝－，＝(＋)，所以(＝(2－2)＝4．
12．函数f(x)由下表定义：
x
1
2
3
4
5
f(x)
3
4
5
2
1
若a1＝2，a2＝5，an＋2＝f(an)，n∈N*，则a2008的值是___________．
考查目标：考查函数的概念，数列的通项以及归纳推理能力．中等题，难度0.52．市均分2.6．
主要问题：不能正确的理解表格中反应的内容，计算几项找不出规律，求不出a2008．
评讲建议：
（1）a1＝2，a2＝5，a3＝4，a4＝1，a5＝2，a6＝3，a7＝4，a8＝5，a9＝2，a10＝1，a11＝4，a12＝3，a13＝2，a14＝5周期为12．a2008＝a167×12＋4＝a4＝1．
（2）a2＝5，a4＝1，a6＝3，a8＝5，a10＝1，a12＝3，……，偶数项是周期为3．
a2008＝a2007＋1＝a4＝1．
（3）令bn＝a2n，则b1＝5，b2＝1，b3＝3，…，bn是周期为3的周期数列，a2008＝b1004＝b1002＋2＝b2＝1．
13．如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A，D为椭圆的两个焦点，
其余四个顶点在椭圆上，则椭圆的离心率的值是___________．
考查目标：考查椭圆的定义与几何性质．中等题，难度0.50．市均分2.5．
主要问题：对椭圆的定义理解不深刻，不会根据图形找出椭圆的几何量．
评讲建议：（1）几何法：不妨设正六边形的边长为1，则椭圆的焦距2c＝AD＝2，椭圆的长轴长2a＝AF＋AD＝1＋，离心率e＝＝＝－1．
（2）坐标法：如图建立直角坐标系，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，不妨设正六边形的边长为1，则c＝1，即a2－b2＝1，又E的坐标为(，)，代入椭圆方程得，＋＝1，解得a＝，（a＝舍去），求得e＝－1．
14．已知定义域为D的函数f(x)，对任意x∈D，存在正数K，都有|f(x)|≤K成立，则称函数f(x)是D上的“有界函数”．已知下列函数：①f(x)＝2sinx；②f(x)＝；③f(x)＝1－2x；④f(x)＝，其中是“有界函数”的是_______．（写出所有满足条件要求的函数的序号）．
考查目标：考查函数的性质．中等题，难度0.35．市均分1.74．
主要问题：一是对定义中的“任意”、“存在”不理解，二是对|f(x)|≤K不会转化，处理含有绝对值的问题的思路不清晰．
评讲建议：
（1）从形的角度来看，“有界函数”的图象一定夹在两条直线y＝K与y＝－K之间，画出几个函数的图象，而f(x)＝可以根据函数y＝x＋来画．
（2）从数的角度来看，“有界函数”的值域一定包含于区间[－K，K]．求出几个函数的值域，然后进行判断，而f(x)＝的值域可以观察法或判别式法或不等式法．
15．(本题满分14分)
已知(∈(0，)，tan(＝．求tan2(，sin(2(＋)的值．
考查目标：考查同角三角函数之间的基本关系，两角和与二倍角的三角函数．容易题，难度0.86．市均分12．
主要问题：二倍角的正切公式记忆不准确，用同角三角函数关系求值时不考虑角的范围，计算不准确．
变化训练：令2(＋＝(，则(＝－．(∈(，)．此题化为：
已知(∈(，)，tan(－)＝，求tan((－)，sin(的值．
16．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
已知函数f(x)＝－x3＋x2＋3x＋a．
（1）求f(x)的单调减区间；
（2）若f(x)在区间[－3，4]上的最大值为，求a的值．
考查目标：考查用导数法研究三次函数的单调性与最值．容易题，难度0.68．市均分9.52．
主要问题：第一问一是求导不正确，二是解一元二次不等式不正确，三是两个单调递减区间用“∪”联接．
第二问中叙述不完整，有人直接就说最小值是f(－1)．
变化训练：（3）若f(x)=0有三个不同的零点，求实数a的取值范围．
（4）若函数f(x)的图象与直线y=4x+相切，求过点(1，)的切线方程．
17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)
如图，M，N，K分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．
（1）求证：AN∥平面A1MK；
（2）求证：平面A1B1C(平面A1MK．
考查目标：考查空间平行与垂直问题．容易题，难度0.64．市均分8.96．
主要问题：一是用平行四边形证明线线平行时，证明平行四边形不规范．二是证明线面垂直不规范．定理没有写全或用了不可作为定理的结论．
思维训练：
18．（本题满分16分）
某建筑的金属支架形状如图所示，根据要求AB至少长2.8米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，(BCD＝60(，已知建造支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长度，可使建造这个支架的成本最低？
考查目标：考查建立数学模型解决实际问题能力以及解三角形、基本不等式等知识．中等题，难度0.27．市均分4.38．
主要问题：一是不知选择什么量来表示金属支架的成本，二是知道设出两个量，但不会用余弦定理找出这两个量之间的关系，三是找出关系后不知用哪一个量表示另一个量，四是消元后不会求此函数的最小值．
评讲建议：
（1）设BC＝a米，CD＝b米，
则由(b－)2＝b2＋a2－2abcos60(，得a2－ab＋b－＝0
设b＋2a＝t，则b＝t－2a，代入a2－ab＋b－＝0得3a2－(2＋t)a＋(t－)＝0，由a∈R＋，得△≥0得t≥7，或t≤1(舍去），a＝．b＝2时取最小值．
（2）由(b－)2＝b2＋a2－2abcos60(，得b＝，y＝b＋2a＝＋2a，y(＝(
令y(＝0得a＝，a＝不合．在[1.4，)内y(＜0，y递减，在(，＋∞)，y(＞0，y递增，故当a＝时，y有极小值，且此极小值就是最小值．
19．(本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分)
设O为坐标原点，已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，设点B，C是直线l：x－2y＝0上的两点，它们的横坐标分别是t，t＋4（t∈R），点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，A为切点．
（1）若t＝0，MP＝，求直线PA的方程；
（2）经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L(t)．
考查目标：考查两点间距离公式、直线的方程、四点共圆、二次函数在闭区间上的最值等有关知识．中等题，难度0.24．市均分3.84．
主要问题：一是忽视P在线段BC这个条件，结果出现两解，增加了后面的计算量；二是对过一点与圆相切的直线方程的求法不熟练，方法选择不恰当或计算不合理；三是对切线的性质不清楚，直角三角形的外接圆圆心不会求；四是对二次函数在闭区间上的最值不会求，不知要讨论或不知如何讨论．
20．(本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)
已知数列{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，bn＝．
（1）求公差d的值；
（2）若a1＝－，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的n∈N*，都有bn≤b8恒成立，求a1的取值范围．
考查目标：考查等差数列的基本量求法，数列中最大项、最小项的求法，不等式恒成立等问题．中等题，难度0.33．市均分5.28．
主要问题：一是计算错误，导致d或bn不正确．二是叙述不清楚，最大项、最小项理由说不完整．三是以几何直观代替论证，过程不规范．
评讲建议：第（2）问：由（1）得an＝a1＋(n－1)＝n－．∴bn＝1＋＝1＋．
①用函数法：∵函数y＝1＋在(－∞，)和(，＋∞)内单调递减，
∴b3＜b2＜b1＜1；当n≥4时，1＜bn≤b4．
∴数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1．
③用不等式法：设bn是数列{bn}的最大值，因b1＝显然不是最大值，所以n＞1，则(((＜n＜，又n∈N*,故n＝4．
同理求出最小值，b3＝－1，b4＝3．
（3）用特殊到一般法，bn＝1＋．对n∈N*，都成立，则(((－7＜a1＜－6．
且当－7＜a1＜－6时，1＞b1＞b2＞…＞b7，b8＞b9＞…＞1．故满足bn≤b8．
或不等式法：对任意的n∈N*，都有bn≤b8恒成立，(－≤0对n∈N*恒成立(≥0（*）对n∈N*恒成立．
①当n≤7时，n－8＜0，上式((a1＋7)(a1＋n－1)＜0，(－7＜a1＜1－n对n＝1，2，…，7恒成立(－7＜a1＜－6．
②当n＝8时，a1∈R且a1≠－7．
③当n≥9时，（*）式(a1＜1－n，或a1＞－7，因为a1＜1－n不可能对n∈N*恒成立，故a1＞－7．综上所述－7＜a1＜－6．
四、后一阶段复习注意问题
1．抓平时复习中的薄弱环节，突出重中之重
坚持以函数、不等式、数列、三角函数、立体几何、解析几何、导数与向量、应用问题等主干知识为板块的专题复习，加强中等题训练，确保这几块的中等难度的解答题不失分．
2．抓思维易错点，突出典型问题分析
针对学生在应用概念、性质、定理、公式解题时常忽略解题基本原则，忽略挖掘问题的隐含条件而造成解题失误的情况．让学生查找失误原因，以便对症下药，进行有针对性的强化训练，从而减少失误率．
3．抓运算能力，提高解题准确性与速度
填空题在数学学科中的比例大，分值高，因此在冲刺阶段很有必要强化解填空题的训练，从而提高得分率．
4．抓规范答题，加强非智力因素的训练
每次练习都要求学生做到“四要”：一要熟练、准确；二要简捷、迅速；三要注重思维过程；四要规范．其中规范是高考取得高分的保证，要防止由于解题格式、过程的不规范而失分．
5．抓“考试说明”与教材，突出课本功能
进一步对高考试卷的进行研究，领悟“考试说明”中对各知识点的具体要求，提高复习效率．与此同时，要紧扣课本，突出课本基础知识的作用，突出课本例题中数学思想方法的挖掘和应用，重视课本习题中潜在功能的挖掘与利用．
课件92张PPT。函数与导数专题二轮复习建议教学要求课程标准考试说明 江苏数学08高考各部分知识的整体要求与定位参照《标准》相应模块的有关说明，依照《教学要求》而制定.一、把握《江苏省普通高中数学课程标准教学要求》（1）函数的概念和图象
理解函数的概念；
了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），
会求一些简单函数的定义域和值域；
理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法）．函数概念与基本初等函数会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．
了解简单的分段函数；
能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象（不要求根据函数值求自变量的范围）．
理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；
理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；
了解函数奇偶性的含义．
会运用函数图象理解和研究函数的性质．
（对复合函数的一般概念和性质不作要求）．（2）指数函数
理解有理数指数幂的含义；了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算．
理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象．
了解指数函数模型的实际案例，会用指数函数模型解决简单的实际问题．（3）对数函数
理解对数的概念及其运算性质；
了解对数换底公式，知道一般对数可以转化成自然对数或常用对数．
了解对数函数模型的实际案例；
了解对数函数的概念；理解对数函数的性质，会画指数函数的图象．
了解指数函数y=ax 与对数函数y=loga x互为反函数（a > 0，a≠1）（不要求一般地讨论反函数的定义，不要求求已知函数的反函数）．（5）函数与方程
了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系．
了解用二分法求方程近似解的过程，能借助计算器求形如x3＋ax＋b＝0，ax＋bx＋c＝0，lgx＋bx＋c＝0的方程的近似解．（6）函数模型及其应用
了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用．1．导数的概念
（1）了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义；了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．
（2）通过函数图象直观地理解导数的几何意义．导数及其应用3．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过3次的多项式函数的单调区间．
（2）了解函数极值、最值与导数的关系；会求不超过3次的多项式函数的极值；会求给定区间上的不超过3次的多项式函数的最值．4．导数在实际问题中的应用
能用导数方法求有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题．二、认真理解《08高考考试说明》对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（分别用A、B、C表示）．对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（分别用A、B、C表示）．08高考考试说明
考试内容与要求高考函数与导数试题的命题特点1．全面考查函数的基础知识，幂函数、指数函数、对数函数、一次函数、二次函数与分段函数等均有涉及． 2．函数的图象与性质的相互联系与相互转换是编制高考数学试题的重要出发点和落脚点，考查的重点是函数值、最值（极值）与函数的单调性等．3．考查利用导数求曲线的切线及研究函数的性质（一个函数的性质和两个函数的关系）．4．把函数与方程，函数与不等式、函数与导数、函数与数列、函数与解析几何等知识的交汇与综合作为试卷的把关题与压轴题，强化以函数为主干知识网络的整体意识，突出函数的思想．5．函数模型的实际应用问题在近年的高考中有所加强，体现了强化应用意识的宗旨.三、第二轮复习对函数与导数的复习建议 函数几乎贯穿了高中数学的始末，它与高中数学的每一部分内容几乎都有联系．对函数的认识，应该包含对函数的概念和性质的理解；对二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、分段函数等基本初等函数和分段函数的概念和性质的理解；函数图象的变换和应用；建立函数模型解决问题的意识等．对导数与函数的综合等问题的理解和掌握． 一．重视对函数概念和基本性质的理解
包括函数的定义域、值域(最、极值)、对应法则、奇偶性、单调性、周期性、图象的对称性、图象变换等．研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意函数图象(形)的作用． 建议：进一步加强对基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练（在函数性质和函数与其他知识的小综合上要多加训练，争取不失分）．
关于函数的基本知识的问题 函数的定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性等仍然为考查重点．在二轮复习中注重查漏补缺．1.关于函数的定义域与值域 函数的定义域与值域是高考考查的重点，难度不大，属中低档题，有的是送分题，但在求解时容易漏掉部分约束条件，也是易错题．
载体是无理函数、对数函数、分式函数或它们对一次、二次函数的复合函数或组合函数等．（1）给定函数解析式的定义域考查函数定义域和解一元二次不等式，是容易题．（2） 实际问题中函数的定义域要根据实际问题的自变量的要求确定定义域．问题：求下列函数的值域：
①y＝3x2－x＋2，x∈[1，3]；（3） 函数的值域 说明： 注意定义域优先的原则，对函数值域重点掌握:
(1)可化归为二次函数、反比例函数的函数的值域;
(2)基本不等式;
(3)导数法;
(4)函数图象．2、关于函数解析式（1）利用待定系数法确定解析式问题：已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式
f(x)＞－2x的解集为(1，3)．
（1）若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．注意设函数解析式的适当形式：
　　　　f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3) （2）利用函数的性质确定解析式根据奇函数的定义求函数解析式；
利用导数判断函数的单调性．（3）利用函数解析式求值此类问题，依据函数解析式，层层求值，难度不大，
但要看清条件．要细心转化，有时还要注意函数的周期性．3.关于函数图象
函数图象是函数知识的重点，函数问题的考查通常以图象为载体，考查其性质，因而是高考的重点和热点，其中“数形结合”即为函数图象的体现，一般在小题中考查，属于中低档题．载体是基本初等函数及其复合函数、组合函数．考查的形式主要有:
（1）对函数图象的理解识别
（2）利用函数图象考查函数的性质（单调性、奇偶性、值域等）问题：把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f(x)＝log2x的图象与函数g(x)的图象关于 对称，则g(x)＝
(注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形)．
这是一个开放性试题，有多种填法．根据函数的定义画出函数图象，问题解决就比较简单！（3）构造图形数形结合解决问题 4.关于函数的单调性、奇偶性、凹凸性、最值 函数的性质是函数的核心内容，是历年高考的热点、重点，主要以小题为考查形式，在解答题中也有所体现，高、中、低档题均有．由于函数思想的渗透，易与其它知识结合和交汇，综合考查函数的性质的应用．
一般考查函数的整体性质和局部性质，载体是对数函数、分式函数或它们对一次、二次函数的复合函数或组合函数等．考查恒等变形或等价转换的能力，主要工具是导数、单调性，体现函数与方程的思想．问题：(07海南、宁夏）设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)是偶函数，则a的值是 ． 利用偶函数的定义解决问题，用特值法解决时一般要注意检验．考查函数的凹凸性，在教材的习题中有所体现．考查函数的整体性质，根据已有的性质考查新的性质．第（1）问对奇偶性的判断，对首先看定义域是否关于数“0”对称，再利用奇偶性定义判断；对不具有奇偶性的函数，可以利用举反例的方法；参数a要分类讨论；第（2）问可以利用单调性定义或导数．定义法要注意变形，转化要准确，建议首选导数．本题是关于函数单调性与奇偶性的综合，考查函数单调性定义、导数研究函数的单调性．渗透了分类讨论等数学思想方法．说明：注意方法的归纳，例如分离参变量等．关注一些新题型，如新定义等．5.关于函数的周期性、对称性、零点问题：函数f(x)满足f(1 ＋ x) ＝ f(1－x)，则函数f(x)的图象关于__ 对称．
变化：函数f(x)满足f(1＋x) ＝ f(x－1)，则函数f(x)的周期是______.问题：已知偶函数f(x)的图像与x轴有五个公共点，那么方程f(x)＝0的所有实根之和等于 ．注意把握难度！对生源较好的学校可以了解关于抽象函数的一些简单问题！ 二. 重视对基本初等函数的研究
基本初等函数（一次函数、二次函数、反比例函数、指数与对数函数、分段函数等）是考查函数知识最常见的载体．
建议：在二轮复习的过程中应该通过一些填空题和解答题加以训练和巩固，要注意将问题和方法进行归纳、整理，争取多得分）
关于常见基本函数1、二次函数与二次方程 二次函数是基本初等函数中最重要的函数之一，其性质和应用的讨论可以达到相当的深度．在高考中具有久考不衰、灵活多变的特点．在小题和大题中均有所涉及，尤其是二次函数的图象与性质是重中之重．
结合江苏和全国的高考题，可以发现以二次函数和二次方程为考查内容的考题成为考查学生代数论证等能力的重要形式之一．
（06上海）设函数f(x)＝|x2－4x－5|．
（1）在区间[－2，6]上画出函数f(x)的图象；
（2）设集合A＝{x| f(x)≥5}，B＝(－∞，－2]∪[0，4]∪[6，＋∞)，试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；
（3）当k＞2时，求证：在区间[－1，5]上，y＝kx＋3k的图像位于函数f(x)图像的上方．5解（1）数与形相结合解决问题！ 设函数f(x)＝|x2－4x－5|．
（3）当k＞2时，求证：在区间[－1，5]上，y＝kx＋3k的图像位于函数f(x)图像的上方．将两个函数图象的关系转化为一个函数的值域的讨论！给定区间上的二次函数的最值的考查！5－15设函数f(x)＝|x2－4x－5|．
（3）当k＞2时，求证：在区间[－1，5]上，y＝kx＋3k的图像位于函数f(x)图像的上方．－31数形结合，先确定临界状态（相切）！5－15设函数f(x)＝|x2－4x－5|．
（3）当k＞2时，求证：在区间[－1，5]上，y＝kx＋3k的图像位于函数f(x)图像的上方．－3（江苏07）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f(x)＝bx2＋cx＋d，g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d．方程f(x)＝0有实数根，且f(x)＝0的实数根都是g(f(x))＝0的根；反之，g(f(x))＝0的实数根都是f(x)＝0的根．
（1）求d的值；
（2）若a＝0，求c的取值范围；
（3）若a＝1，f(1)＝0，求c的取值范围． 本题考查函数与方程、方程根的讨论、求字母系数的范围，体现分类讨论的数学思想，培养学生的代数论证、分析推理能力． 在定义域为[m，n]的函数f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0)的最值的考查！
关键是从开口方向和对称轴的位置入手，研究函数的单调性和最值．对含参数的问题，要注意数与形结合、分类讨论．2、转化为二次函数或二次方程 转化为二次函数或二次方程在近几年考题中出现比较多．问题：某建筑的主体支架如图所示，根据要求AB至少长2.8米，C为AB的中点，B到D的距离比CD少0.5米，?BCD＝60?，已知建造支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长度，使得建造成本最低？考查基本不等式求函数的最值．3、“双勾”函数建模和一元化思想是解决问题的关键！4.指数函数、对数函数与幂函数问题：已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0， a≠1)．
（1）证明函数的图象在y轴的一侧；
（2）判断函数的单调性，并证明．要注意对a进行讨论！幂函数是新课程新增内容！
注意难度的控制！
要熟记5种幂函数的图象与性质．5、分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．
一般考查分段函数的图象、性质和应用．在填空题、解答题中，尤其是应用题有所涉及．问题：在同一平面直角坐标系中，函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称．现将y＝g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示)，则f(x)的表达式为 ． 主要题型：
（1）判断分段函数的奇偶性；
（2）求分段函数的函数值；
（3）作分段函数的图象；
（4）求分段函数的解析式；
（5）求分段函数的最值．三．重视函数与其它核心知识的联系
函数、方程、不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题．函数与其它知识的交汇点也是高考命题的热点．函数的思想是灵魂．建议：在整个二轮复习过程中，应不断渗透函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和化归与转化的思想．尤其要注意利用函数的单调性证明不等式、判断方程的根、求函数的最值和参数的讨论等问题．利用函数研究方程、不等式、数列、解析几何等的综合问题．要力争拿第（1）（2）问的分，对好生源的学校要加强综合解题能力培养，争取拿高分．１、函数与方程
　用函数的观点看待方程，可以用动态的观点看方程，把方程看成函数变化过程中的一个特殊状态，方程的根是函数的零点，解方程f(x)=0就是求函数y=f(x)的零点，及利用二分法、导数等工具求方程的近似解（新增内容）．　问题：已知函数f(x)＝2x－x2．则方程f(x)＝0在[－1，0]内有几个实数根？方法一：利用导数判断f(x) ＝2x－x2单调性，再判断f(0) f(1) 的符号；方法二：利用函数y ＝2x与 y＝－x2的图象，数与形结合；问题：已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，函数y＝f(x)在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围．说明：分离参变量，转化为求新函数的值域． 2．函数与数列
数列是特殊的“函数”．因为它的“定义域”一般是自然数集或其子集，而自然数是离散的，因此，数列通常称为离散函数，数列作为离散“函数”，在数学中有重要地位．
注重联系：等差数列与一次函数、二次函数；等比数列与指数函数．说明：利用反比例函数的性质研究数列的最值．问题：数列{an}的前n项和为Sn，且满足3Sn＝4016＋an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设f(n)表示该数列的前n项的积，n取何值时，f(n)有最大值？问题：数列{an}的前n项和为Sn，且满足3Sn＝4016＋an．
（2）设f(n)表示该数列的前n项的积，n取何值时，f(n)有最大值？所以当n≤10时，|f(1)|＜ |f(2)| ＜ … ＜ |f(10)| ；当n≥11时，|f(11)|＞ |f(12)| ＞ … ．而 f(10) ＜ 0， f(11) ＜ 0， f(12) ＞ f(9) ＞ 0，n=12时，f(n)有最大值．
说明：研究数列单调性必须研究对应函数的性质！也要注意数列本身的特点！3．函数与不等式
用函数的观点看不等式——运动变化、数形结合、
几何直观．利用函数的思想解决问题是关键！ 问题：过点M(2，1)作直线l与x轴、y轴的正半轴 分别交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值．x当且仅当a=2b，a＝4，b＝2时取“＝”．当a＝4，b＝2时，Smin＝4．∵a＞0, b＞0, ∴b＞1. 另解：由题意直线斜率存在，设直线l的方程是y－1＝k(x－2).＝4.4．函数与解析几何
平面曲线是函数概念的重要背景，它们有差异，但仍有紧密联系．例如：从函数的角度看，一元二次函数的图象是抛物线，体现的是变量之间的对应关系；从方程和曲线的角度看，抛物线是由“到定点和定直线等距”这一几何特征确定的曲线．我们要关注这种联系，注重从不同角度体现数形结合思想．说明：利用二次函数解决最小值问题．四．函数应用题依然是高考命题的热点之一，在复习中要注重学生建立函数模型和阅读理解能力的加强．建议：加强建立数学模型能力的培养，对如何选择自变量、确定目标函数及定义域、解立数学模型、回到实际问题等进行有针对性的指导和练习．在二轮复习中应该重点突破．
第一：认真审题、确切理解题意、明确问题的实际背景，将实际问题抽象为数学问题；
第二：合理选择变量，寻找它们之间的关系，建立相应的函数、方程等；
第三：注意化归等思想方法的渗透．如何建模？
如何利用函数的性质、不等式等知识与方法解决数学问题？
如何阅读理解题意？
问题：一辆中型客车的营运总利润y (单位：万元)与营运年数x(x∈N)的变化关系如下表所示：
则客车的运输年数为 时，该客车的年平均利润最大．主要问题：审题不到位！问题：某大型企业的员工每天用餐消耗大米4000 kg，该企业采购大米的市场价格为每千克3元，企业仓库最多能储存56000 kg的大米，一次采购大米不超过32000 kg，需付运费196元；一次采购大米超过32000 kg，而不超过56000 kg时，需付运费256元．大米的保管费用为每天1000 kg 2元（该企业规定不使用当天采购的大米）．设企业一次采购的大米可供员工用餐的天数为x，企业平均每天所付的大米费用（包括买米费、运费、保管费）为y元．
（1）试写出y与x的函数关系；
（2）该企业一次采购多少天所需的大米，能使平均每天所付的大米费用最少？分段函数的应用！建模是难点！关注分式函数的性质和基本不等式使用的条件！
函数是导数的研究对象．导数是研究函数的通用、有效、简便的工具．用导数研究函数性质、进一步理解函数概念和性质的联系，是对函数概念理解的又一次上升．特别关注以三次函数为载体的导数问题．五．关注函数与导数的综合题 利用导数研究函数的性质是近几年高考中常见的题型，主要是函数的极值、单调性和最值，要关注导数与其它知识的综合，使导数与其它知识和方法融合在一起，不断提高学生的综合解决问题能力．高考常见的内容和题型是：
（1）简单的函数求导和利用导数求曲线的切线斜率；
（2）利用导数求函数的单调区间，应用导数求函数的极值和最值；
（3）应用导数解决实际问题．
用导数解决函数中的最值问题、不等式问题或与几何问题相结合等．建议：在复习函数的单调性时，可以将定义法与导数法结合起来，解决实际问题中的最优化问题时，可以将基本不等式与导数结合起来，开拓学生的解题角度，在复习时要充分利用教材，渗透利用导数解决函数问题方法的训练，使知识和方法系统化．注意规范得分．1.关于导数的几何意义关注切线的斜率！问题：曲线y＝x3＋x＋1在点(1，3)处的切线方程 ．问题：已知f(x)＝2x3＋ax，g(x)＝bx2＋c的图象都经过点P(2，0)，且在点P处有公切线，求函数f(x)和g(x)的解析式．2．利用导数研究函数的性质
利用导数求函数的单调区间、极值和最值．问题：函数f(x)＝xlnx(x>0)的单调递增区间是 ． 本题主要考查初等函数求导、导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性等基础知识，是中等题．本题是《考试说明》题型示例．问题：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则f(2)＝______．解：因为f’(x)＝3x2＋2ax＋b，所以f’(1) ＝0．
所以3＋2a＋b＝0，1＋a＋b＋a2＝10.
解得a＝4或－3．
当a＝4时，b＝5，满足题意，f(2)＝18;
当a＝－3时，b＝3，但f’(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，不符合题意，舍去．一定要检验！可导函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件是f ’(x0)＝0．说明：利用二次方程根与系数关系构造三次函数，再用导数研究函数最值和数列的单调性．利用导数研究两个函数的关系时，可以构造一个新函数．（江苏05）已知a∈R，函数f(x)＝x2|x－a|．
（1） 当a＝2时，求使f(x)＝x成立的x的集合；
（2） 求函数y＝f(x)在区间[1，2]上的最小值．解含绝对值的方程，要通过分类讨论，将绝对值符号 去掉，转化为二次方程．问题：（江苏05）已知a∈R，函数f(x)＝x2|x－a|．
（2） 求函数y＝f(x)在区间[1，2]上的最小值．要去掉绝对值符号！
分类讨论！
标准？判断极值点是否在区间内是解题的关键所在！
再分类讨论！
标准？确定最小值需要比较两个函数值得大小！又分类讨论！标准？主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力． 3．应用导数解决实际问题问题（07重庆）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
根据题意选择自变量，建立目标函数，再利用导数求目标函数的最值，注意定义域的确定．08高考预测一、填空题
考查内容：函数的基本概念与性质、导数的概念与应用；
题量：2－3题，分值10到15分；
难度：低档、中档题为主．二、解答题
考查内容：函数的基本概念与性质，函数与其它知识的交汇（函数思想的渗透）、函数的应用、函数与导数的结合等；函数与方程将是考查的重点内容之一，尤其代数论证能力的考查．
题量：1－2题，分值14到16分左右；
难度：难题（一般区分度较好，重在考查代数论证的能力）．
“函数与导数”专题二轮复习课时安排建议：
第一课时 函数的图象与性质
第二课时 二次函数、指数与对数函数
第三课时 函数的综合应用（1）
第四课时 函数的综合应用（2）
第五课时 导数及其应用1.1 函数的图象与性质
【专题回顾】
1．函数f(x)＝＋的定义域是 ．
2．已知函数f(x)＝则f(f(－2))的值是 ．
3．函数f(x)＝x＋＋1的值域是 ．
4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x2，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)的表达式是 ．
5．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(x)＜f(1)的实数x的取值范围是 ．
6．设f(x)(x∈R)是以3为周期的奇函数，且f(1)＝3，则f(2)的值是 ．
答案:：1．[－2，0)∪(0，＋∞) 2．4 3．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 4．f(x)＝－x－x2
5．(1，＋∞) 6．－3
【经典例题】
例1 如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间(，1)上是增函数，求f(2)的取值范围．
解：f (x)＝(x－)2＋5－．
∵函数f (x)在区间(，1)上是增函数，∴≤，∴a≤2．
∴f (2)＝4－2 (a－1)＋5＝11－2a≥7，∴f (2)∈[7，＋∞）．
说明：本题主要考查二次函数单调性．
例2 已知函数f (x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．
（1）判断函数f (x)的奇偶性；
（2）若f (x)在区间[2，＋∞)是增函数，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝0时，f (x)＝x2 (x≠0)，∵f (－x)＝f (x)，∴f (x)是偶函数；
当a≠0时，f (－1)＝1－a，f (1)＝1＋a．
∵1－a≠1＋a，∴1－a≠－(1＋a)，∴f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
综上可知：当a＝0时，f (x)是偶函数；当a≠0时，f (x)是非奇非偶函数．
（2）x2＞x1≥2，f (x1)－f (x2)＝(x12＋)－(x22＋)＝[ x1x2(x1＋x2)－a]，
由x2＞x1≥2，得x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0．
要使f (x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f (x1)－f (x2)＜0，
即x1x2(x1＋x2)－a＞0恒成立，则a≤16．
另解（导数法）：f，(x)＝2x－，要使f (x)在区间[2，＋∞)是增函数，只需当x≥2时，f，(x)≥0恒成立，即2x－≥0，则a≤2x3∈[16，＋∞）恒成立，故当a≤16时，f (x)在区间[2，＋∞)增函数．
例3 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(－x＋5)＝f(x－3)，且方程f(x)＝x有等根．
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m，n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．
解：（1）因为二次函数f(x)＝ax2＋bx满足条件f(－x＋5)＝f(x－3)，所以函数f(x)图象的对称轴是直线x＝1．所以－＝1，即b＝－2a．因为方程f(x)＝x有等根，即ax2－(2a＋1)x＝0有等根．
所以△＝(2a＋1)2＝0，即a＝－，b＝1．所以f(x)＝－x2＋x．
（2）假设存在实数m，n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．
①当m＜n＜1时，f(x)在[m，n]上单调递增，f(m)＝3m，f(n)＝3n，所以m，n是－x2＋x＝3x的两根．
解得m＝－4，n＝0；
②当m≤1≤n时，3n＝，解得n＝，不符合题意；
③当1＜m＜n时，f(x)在[m，n]上单调递减，所以f(m)＝3n，f(n)＝3m．
即－m2＋m＝3n，－n2＋n＝3m．相减得到－(m2－n2)＋(m－n)＝3(n－m)．
因为m≠n，所以－(m＋n)＋1＝－3．m＋n＝8．将n＝8－m代入－m2＋m＝3n，
得到－m2＋m＝3(8－m)，无解．
所以m＝－4，n＝0时，f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．
说明：本题综合考虑二次函数的单调性和最值，注意分类讨论．
例4 已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
（1）如果函数y＝x＋(x＞0)的值域是[6，＋∞)，求b的值；
（2）研究函数y＝x2＋(常数c＞0)在定义域内的单调性；
（3）对函数y＝x＋和y＝x2＋(常数c＞0)作出推广，使它们是你推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）．
解：（1）因为x＞0，所以y＝x＋≥2＝2＝6，即b＝log29．
（2）设0＜x1＜x2，y2－y1＝x22＋－x12－＝(x22－x12)(1－)．
当≤x1＜x2时，y2＞y1，函数y＝x2＋在[，＋∞)上是增函数；
当0＜x1＜x2≤，y2＜y1，函数y＝x2＋在(0，]上是减函数．
因为函数y＝x2＋是偶函数，所以函数y＝x2＋在(－∞，－]上是减函数，在[－，0)上是增函数．
（3）可以推广为研究函数y＝xn＋(常数a＞0，n是正整数)的单调性．
当n是奇数时，函数y＝xn＋在[，＋∞)和(－∞，－]上是增函数，在(0，]和[－，0)上是减函数；
当n是偶数时，函数y＝xn＋在[，＋∞)和[－，0)上是增函数，在(0，]和(－∞，－]上是减函数．
说明：本题研究函数的的单调性，从简单的函数入手，利用定义研究问题．再利用归纳推理，将结论进行推广，体现从特殊到一般的数学思想方法，培养学生的分析问题、解决问题的能力．
【练习与反馈】
1．函数f(x)图象如图，则f(x)的解析式为 ．
f(x)＝
2．设函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝ ．－1
3．已知函数y＝ax3(a是常数)是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是 ．(－∞，0)
4．函数y＝loga(－ax)在[0，1]上是增函数，则实数a的取值范围是 ．(0，)
5．已知函数f(x)＝x2＋2x与g(x)＝－x2＋2x．若函数m(x)＝g(x)－n f(x)＋1在区间[－1，1]上是增函数，求实数n的取值范围．
解：m(x)＝g(x)－n f(x)＋1＝－(n＋1)x2＋2(1－n)x＋1．
因为函数m(x)＝g(x)－n f(x)＋1在区间[－1，1]上是增函数，所以
①当n＝－1时，m(x)＝4x＋1在区间[－1，1]上是增函数，所以n＝－1；
②当n≠－1时，函数m(x)图象的对称轴方程是x＝．
当n＋1＜0时，≤－1，解得n＜－1；当n＋1＞0时，≥1，解得－1＜n≤0．
综合①②，n≤0，即n∈(－∞，0]．
课件16张PPT。数 列南京市第六十六中学 杨东福
2008年1月31日一、教学要求二、考试要求三、题型示例：四、2007年各地数列考查特点五、复习教学建议：一、教学要求二、考试要求（C）等比数列，等差数列（A）数列的有关概念三、题型示例：四、2007年各地数列考查特点2．数列大题考查方向可以归纳为以下几类：按背景分类（1）以应用题为背景．（2）以定义为背景（3）以导数或函数、方程为背景(广东)按条件分类(1)给出的条件是递推关系（湖南）(2)给出的条件是等差或等比数列（福建）按结论分类 一般的有2-3问，第一问是一个简单题（求待定系数的值，求前几项，证明一个结论，求通项），第一问的解答对第二问的证明或求解会产生影响；第二问大都与不等式有关对等差（等比）数列定义及递推数列的考查仍很热，此类题的特征表现为：1.给出的数列是等差（等比数列），在此基础上研究新的数列的有关性质;一般地，高考数列大题具有以下特点：五、复习教学建议：客观题要确保在高三数学二轮复习中坚持以学生练习为主,妥善处理好练习与讲评的关系帮助学生在关键点处和所突破解题的习惯解题的第一个想法化简、变形方法的联想 数列（第3课时）
【方法再现】
1．已知是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于 ．
2．数列中，，，又数列为等差数列，则 ．
3．若公比为的等比数列的首项且满足．求的值．
4．已知函数定义在正整数集上，且对于任意的正整数，都有，且，则 ．
5． 《莱因德纸草书》 ( Rhind Papyrus )是世界上最古老的数学著作之一． 书中有一道这样的题目: 把100个面包分给5个人, 使每个所得成等差数列, 且使最大的三份之和的是较小的两份之和, 则最小的一份的量为 ．
【典型例题】
例1．已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项
解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2), ②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列，∴a1≠3；
当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3.
例2.已知函数的图象过点A（4，）和B（5，1）
（1）求函数的解析式；
（2）记，是正整数，是数列的前项和，解关于的不等式；
（3）对于（２）中的与，整数96是否为数列中的项?若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.
解：（1）由＝a·b4，1＝a·b5，得b＝4，a＝，故f（x）＝4x．
（2）由题意an＝log2（·4n）＝2n－10，Sn＝（a1＋an）＝n（n－9），anSn＝2n（n－5）（n－9）．
由anSn≤0，得（n－5）（n－9）≤0，即5≤n≤9.故n＝5，6，7，8，9．
（3）a1S1＝64，a2S2＝84，a3S3＝72，a4S4＝40．当5≤n≤9时，anSn≤0．当n≥10时，anSn≥a10S10＝100．
因此，96不是数列｛anSn｝中的项．
又 a3－a2=a2－a1=5, 所以数列为等差数列．
例3．在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.
（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（2）若“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（3）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
解：（1），，，.
（2）略；
（3）.
例4. 某公司全年的纯利润为元，其中一部分作为奖金发给位职工.奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由1至排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金.
（1）设为第位职工所得奖金额，试求，并用、和表示；（不必证明）
（2）证明，并解释此不等式关于分配原则的实际意义.
解：（1）第1位职工的奖金a1＝，第2位职工的奖金a2＝（1－）b，第3位职工的奖金a3＝（1－）2b，……，第k位职工的奖金ak＝（1－）k－1b．
（2）ak－ak＋1＝（1－）k－1b＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则．
【反馈练习】
1．在等差数列中，已知则等于
2．已知数列满足，则= ．
3．在数列中，，且，则 ．
4．递增数列1，5，7，11，13，17，19，.它包含所有既不能被2整除，又不能被3整除的正整数，则此数列的第100项为 .
5．已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.
（1）求q的值；
（2）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
2008届高三数列复习讲座
一、教学要求
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。
理解数列的通项公式的意义。
2．理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。
能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等差数列与一次函数的关系。
3．理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。
能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等比数列与指数函数的关系。
探索并、等比数列的通项公式和前n项和公式。
数列教学，要注意的问题：
（1）教学中，应使学生了解数列是一种特殊函数。
（2）会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式。
（3）教学中，要掌握数列中各量之间的基本关系。但训练要控制难度和复杂程度，避免繁琐的计算、人为技巧化的难题。
（4）等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系。这样做，即突出了问题意识，也有助于学生理解数列的本质。
二、考试要求：
（A）数列的有关概念
（C）等比数列，等差数列
三、题型示例：
1．已知数列的前项的和，第项满足，则（中等题）
2．已知是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项的和．
（1）若（是大于2的正整数），求证：；
（2）若（是某个正整数），求证是整数，且数列中的每一项都是数列中的项；
（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．（难题）
四、2007年各地数列考查特点
1．各地高考数列试题基本上都是一小一大，小题以考查等差（比）数列的通项公式，前项和为主，知识点以2-3个为多，解题方法大都是通法（解方程或解方程组），题目为容易题或中等题，在27个题中仅有8题的背景或问题不是等差（比）数列问题
（1）（安徽文）3．等差数列的前项和为，若，，则
（2）（北京文理）10．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．
（3）（福建理）2．数列的前项和为，若，则等于
（4）（福建文）2．等比数列中，，则等于
（5）（广东文理）13．已知数列的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 ．
（6）（海南、宁夏理）4．已知是等差数列，，其前10项和，
则其公差
（7）（海南、宁夏文）6．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于
（8）（海南、宁夏文）16．已知是等差数列，，其前5项和，则其公差　　　　．
（9）（湖北理）6．若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则甲是乙的 条件
（10）（湖北理）8．已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是 个
（11）（湖南理）15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．
第1行　　　　　 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
（12）（湖南文）4．在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为
（13）（江西理）14．已知数列对于任意，有，若，则
（14）（江西文）14．已知等差数列的前项和为，若，则 ．
（15）（辽宁文理）4．设等差数列的前项和为，若，，则
（16）（全国Ⅰ理）（15）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．
（17）（全国Ⅱ文）14．已知数列的通项，则其前项和 ．
（18）（陕西理）5．各项均为正数的等比数列 的前项和为为，若，，则等于
（19）（陕西文）5．等差数列的前项和为，若，，则等于
（20）（天津理）8．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则
（21）（重庆理）1．若等比数列的前项和且，则等于
（22）（重庆理）7．若是与的等比中项，则的最大值为
（23）（重庆理）14．设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则______．
（24）（重庆文）1．在等比数列中，，则公比为
（25）（重庆文）11．设是和的等比中项，则的最大值为
（26）（2005江苏）（3）在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则
（27）（2006江苏）（15）对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　 　
2．数列大题考查方向可以归纳为以下几类：
按背景分类
（1）以应用题为背景
(安徽文理21)．（本小题满分14分）
某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，．以表示到第年末所累计的储备金总额．
（Ⅰ）写出与的递推关系式；
（Ⅱ）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．
（2）以定义为背景
（上海理）20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．
（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，
．依次写出的每一项；
（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；
（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和．
（上海文）20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．
例如，数列与数列都是“对称数列”．
（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；
（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；
（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．
（3）以导数或函数、方程为背景
（广东文理）21．（本小题满分14分）
已知函数，是方程的两个根（），是的导数，设，．
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数，都有；
（3）记，求数列的前项和．
（湖南理）21．（本小题满分13分）
已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；
（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增．
（辽宁理）21．（本小题满分12分）
已知数列，与函数，，满足条件：
，.
（I）若，，，存在，求的取值范围；
（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，（用表示）．
（四川文）（22）(本小题满分14分)
已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,N +），其中为正实数.
（Ⅰ）用xx表示xn+1；
（Ⅱ）若a1=4，记an=lg，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；
（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.
（浙江理）（21）（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（I）求，，，；
（II）求数列的前项和；
（Ⅲ）记，
，
求证：．
（浙江文）19．（本题14分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（I）求，，，及（）（不必证明）；
（II）求数列的前项和．
（4）没有背景，就是数列问题
按条件分类
给出的条件是递推关系
给出的条件是等差或等比数列
按结论分类
一般的有2-3问，第一问是一个简单题（求待定系数的值，求前几项，证明一个结论，求通项），第一误码的解答对第二问的证明或求解会产生影响；第二问大都与不等式有关
（北京文理）15．（本小题共13分）
数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；
（II）求的通项公式．
（福建理）21．（本小题满分12分）
等差数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项与前项和；
（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
（福建文）21．（本小题满分12分）
数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）求数列的前项和．
（湖北文）20．（本小题满分13分）
已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列．
（I）证明：；
（II）若，证明数列是等比数列；
（III）求和：．
（湖南文）20．（本小题满分13分）
设是数列（）的前项和，，且，，．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．
（江苏）20．（本题满分16分）
已知是等差数列，是公比为的等比数列，，，记为数列的前项和．
（1）若（是大于的正整数），求证：；（4分）
（2）若（是某个正整数），求证：是整数，且数列中的每一项都是数列中的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．（4分）
（江西理）22．（本小题满分14分）
设正整数数列满足：，且对于任何，有．
（1）求，；
（3）求数列的通项．
（江西文）21．（本小题满分12分）
设为等比数列，，．
（1）求最小的自然数，使；
（2）求和：．
（辽宁文）20．（本小题满分12分）
已知数列，满足，，且（）
（I）令，求数列的通项公式；
（II）求数列的通项公式及前项和公式．
（全国Ⅰ文理）（22）（本小题满分12分）
已知数列中，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列中，，，
证明：，．
（全国Ⅰ文）（21）（本小题满分12分）
设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
（全国Ⅱ理）21．（本小题满分12分）
设数列的首项．
（1）求的通项公式；
（2）设，证明，其中为正整数．
（全国Ⅱ文）17．（本小题满分10分）
设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．
（山东理）（17）（本小题满分12分）
设数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
（山东文）18．（本小题满分12分）
设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的等差数列．
（2）令求数列的前项和．
（陕西理）22．（本小题满分12分）
已知各项全不为零的数列的前项和为，且，其中．
（I）求数列的通项公式；
（II）对任意给定的正整数，数列满足（），，求．
（陕西文）20．（本小题满分12分）
已知实数列是等比数列，其中，且，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）数列的前项和记为，证明：．
（天津理）21．（本小题满分14分）
在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（天津文）（20）（本小题满分12分）
在数列中，，，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
（重庆文理）21．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）
已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：
．
（2006江苏）（21）（本小题满分14分）
　　　设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），
　　　证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）
（2005江苏）23。设数列的前项和为，已知，且，其中A，B为常数。
求A与B的值；
证明数列为等差数列；
证明不等式对任意正整数都成立。
五、复习教学建议：
1．数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求不是很高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式、导数等知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.
2.对等差、等比数列的性质也有所考查。但并不是刻意去考查，用通法仍能解决，且不太复杂。对此类客观题，在掌握通法的前提下，要求学生掌握一点简捷方法是有效的
3.在大题中对等差（等比）数列定义及递推数列的考查仍然很热，此类题有三个特点：（1）给出的数列是等差（等比数列），在此基础上研究新的数列的有关性质；（2）给出的数列不是等差（等比）数列，但构造的新数列是等差（等比）数列；（3）给出的递推关系中隐含的是等差（等比）关系。一般来说，此类题中有1~2问具有以下特点：（1）用到等差（等比）数列定义证明是等差（等比）数列；（2）求待定系数的值；（3）通过简化递推关系，得出是一个等差（等比）数列。
因此，在对此类题的复习中，要加强1~2问的训练，确保1~2问的得分率
4.数列问题对运算、化简、变形等要求较高，
2008年高三立体几何二轮复习建议
南京一中 孔凡海
第一部分：重温“考试说明”
1．江苏省普通高中数学课程标准教学要求
立体几何初步
（1）空间几何体
直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构。
能画出简单空间图形（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型；能使用纸板等材料制作简单空间图形（例如长方体、圆柱、圆锥等）的模型，会用斜二测法画出它们的直观图。
了解空间图形的两种不同表示形式（三视图和直观图），了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系。
会画某些简单实物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，直观图的尺寸、线条等不作严格要求）。
（2）点、线、面之间的位置关系
理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系。了解如下可以作为推理依据的4条公理、3条推论和1条定理：
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
◆公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
◆公理3：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
了解空间线面平行、垂直的有关概念；能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系；理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的判定定理：
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
◆一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
并能用图形语言和符号语言表述这些判定定理（这4条定理的证明，这里不作要求）。
理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的性质定理：
◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
能用图形语言和符号语言表述这些性质定理，并能加以证明。
能运用上述4条公理、3条推论和9条定理证明一些空间位置关系的简单命题。
了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角的概念；了解点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念（上述角与距离的计算不作要求）。
2．2008江苏高考数学科考试说明
空间想象能力是对空间图形的观察、分析、抽象的能力。考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合。
内? 容
要? 求
A
B
C
14．空间几何体
柱、锥、台、球及其简单组成体
√
?
?
三视图与直视图
√
?
?
柱、锥、台、球的表面积和体积
√
?
?
15．点、线、面之间的位置关系
平面及其基本性质
√
?
?
直线与平面平行、垂直的判定与性质
?
√
?
两平面平行、垂直的判定与性质
?
√
?
3．命题走向
（1）占分比重：
立体几何在高考中的占分比重，随课程内容的变化有所下降，2002年前全国的试卷中，一般有三小一大，约26分，占全卷的17.4%，2003年江苏自主命题仍延续三小一大，约26分；而2004年江苏立几一般“一小一大”共17分，仅占11.3%，2005年年江苏“一小一大”共19分，约占12.7%，2006年是“两大一小”，33分，占全卷的22%（其中一题是以立几为背景的应用题），2007年又恢复为“一小一大”共17分，占11.3%。这与立体几何所占的学时比例（36/324）基本相当。
由于立体几何内容与方法较多，又是考查空间想象能力的重要途径，我们认为题量“一小一大”较为合理。
预测2008年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：题目难易适中，立足于棱柱、棱锥和正方体，以多面体为依托，把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的性质和判定作为重点。
过去立几解答题的基本模式是“一题三问，一证两算，以算为主”；2008年的文理合卷中肯定淡化空间角与距离的计算，代之以“平行、垂直关系的证明或探求”，难度上有所降低，此类题由旧题改造的可能性很大。
解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点，又分散了难点，试题既包含了一定量的证明步骤，也包含了计算部分，能较全面地考查逻辑推理能力，空间想象能力和运算能力，同时还应注意利用前面的结论、图形等分析后面的结论。估计这种命题的特点还将保持下去。
线线、线面、面面的平行与垂直问题，重点考查直线与直线、直线与平面的位置关系，这类题既可考查多面体的概念和性质，又能考查空间的线面关系，并将论证与计算有机地结合在一起，可以比较全面的考查学生的能力。
估计2008年的立几解答题的模式可能是“一题三问，二证一探索”
第二部分：复习建议
1．复习规划
立体几何二轮复习，建议两个课时：
第一课时，空间几何体（包括三视图，直观图，展开与折叠，表面积和体积）；第二课时，空间的平行与垂直（点、线、面之间的位置关系，线与线、线与面、面与面平行与垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题，并会规范地写出解题过程）
2、地位：兵家必争
虽然近年来立体几何试题在命题思路和方法上不时有些出人意外之处，但总体上还是保持了稳定，所以复习备考工作有章可循，有法可依。特别是立体几何试题难度中等，大题分步设问，层次分明，使得不同层次的学生都可得到一定的分数，因而立体几何成为历年数学高考中的“兵家必争之地”。估计立几大题会放在解答题的第一或第二题的位置。必须拿全分。
2、该部分内容宽度、厚度的把握
（1）依纲靠本，控制难度.
从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本。我们在复习备考中，一定要依纲靠本，控制好题目的难度，不出偏题、怪题。
立体几何由于文、理教学内容的不同，考试要求也相应地发生了变化，文科只考必修的内容即：要求掌握简单的几何体的画法(三视图、直观图)；点线面之间的位置关系；即只有定性分析(位置关系)，而无定量分析(求角和距离等)。
在立体几何里，垂直是热点，中点是常考，正方体是基本的模型。
（2）网络完备，主干突出
立体几何的复习要让学生建立起完整的知识网络，要突出这门学科的主干。如转化思想是统帅立体几何的数学思想，所以要让学生牢固树立以下的思维脉络：
立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：

由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
证明平行，一般利用平行四边形或三角形中位线
证明线线垂直时应优先考虑，三垂线定理及其逆定理
例如06年天津高考：如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．
（1）证明//平面；
（2）设，证明平面．
证明：（1）取CD中点M，连结OM.
在矩形ABCD中，，又，
则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.
又平面CDE，切EM平面CDE，∵FO∥平面CDE
（2）连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，
　又OM⊥CD　　且EM∩OM=M，　∴CD⊥平面EOM，　从而CD⊥EO
∵　.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.
，所以EO⊥平面CDF.
（3）理据充分，规范答题
从近年立体几何解答题的答题情况来看，学生“会而不对，对而不全”的问题比较严重，很值得引起我们的重视。因此，在平时的训练中，我们就应当培养学生规范答题的良好习惯，
用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
①有关三垂线定理问题
很多教师说，整个高中立体几何就是“三垂线定理”。尽管说得过分些，但从另外一个角度说明，“三垂线定理”在整个高中“立体几何”中的地位和作用。确实，“三垂线定理”是整个立体几何内容的一个典型代表，处在整个立体几何知识的枢纽位置，综合了很多知识内容：直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行。
? 三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑.应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用的方法之一。
三垂线定理及其逆定理的本质就是线面垂直，使用时务必加上“线面垂直”。
例3：如图3，在正方体中，
求证：
（1）；
（2）面
例4：如图4，在长方体中，
，，点E在棱上移
动，试问与的位置关系怎样？为什么？
（答案：永远保持互相垂直）
②有关平面几何的证明问题
立几中凡涉及平面几何的问题，一定严格按照初中平面几何的证明要求，不能跳步骤。
平行线分线段成比例
在立几中，四边相等的四边形为菱形，这样证明不行，必须先证共面或平行四边形。
③正方体、棱柱等有哪些可直接用而不须交代证明的性质
（4）重视想象，识图画图
空间想象能力是对空间图形的观察、分析、抽象的能力。考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合。
2008年对空间想象能力的要求进一步提高，试题会有直接对空间想象能力的考查；
立体几何是培养学生空间想象力的数学分支。在具体要求上，要把握好以下三点：
①、培养学生识图、想图、画图的能力（包括规范图形和非规范图形）；
②、培养学生将概念、性质灵活应用于图形的能力，要把文字语言、符号语言和图形语言有机结合起来；
③、培养学生对图形的处理能力，会把非标准图形转化为标准图形，对图形的割、补、折、展等高考长考不衰的内容应重点关注。

例1 如图是一个奖杯的三视图，请你画出它的直观图，并求出这个奖杯的体积。
例2．长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为（C）
A.1+ B.2+ C.3 D.2
解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.
答案：C
例3（06年江西）如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 10　
解：将正三棱柱沿侧棱CC1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论．
例4．(2007广东·文) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD ;
(1)
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为
, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,
AB边上的高为
因此
注重培养学生的空间想象能力，画出简单空间图形的三视图与直观图，且会把三视图、直观图还原成空间图形。
例5．(宁夏?理?8题) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　B　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
例6．（06年山东）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为（C）
(A) (B)　　 (C) (D)
解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选C．
例7．（05年全国高考）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为（A）
　A B C D
解：分别取AD、BC的中点M、G，分别过点M、G作MN⊥EF、GH⊥EF，垂足分别为N、H，连AN、ND、BH、HC．原几何体可分割为左三棱锥E－AND，右三棱锥F－BHC，直三棱柱AND－BHC。
易求得该多面体的体积为，故选A．
从能力上，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：
（1）会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线（面），作出图形要直观虚实分明；
（2）会识图——根据题目所给的图形，想象出立体的形状和有关的线面关系；
（3）会析图——对图形进行必要的分解、组合；
（4）会复图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；
（5）强调数学思想方法
化归思想是立体几何中最常见、最重要的数学思想方法，在解答问题时，往往需要定理之间的相互转化，这当中，一个定理的结论，常常又是后续定理的前提条件。在对问题的证明或计算时，一般需要将立体图形化归为平面图形，把新的问题情景纳入到原有的认知结构中去，用我们熟悉的平面几何知识或三角方法解答。立体几何中，平面与空间图形间的变换（如把平面图形折叠、旋转成空间图形，把空间图形展开成平面图形，把空间图形切割、补形与换底等），要善于运用“转化”和“降维”的思想方法，通过点、线、面之间的平行与垂直关系，最终将问题归结到某个平面内，使问题容易解决。
例8（2005年上海）有两个相同的直三棱柱，高为 ，底面三角形的三边长分到为3a、4a、5a(a>0),用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是________________.
分析和解 这两个相同的直三棱柱各有5个面，但是拼合的方法却有7种，由于底面三角形是直角三角形，所以拼合底面的方法只有一种，而每个侧面都有两种不同的拼合方法，拼成后的三棱柱或四棱柱，其俯视图如图所示。
如果拼合成四棱柱，俯视图有（2），（4），（6），（7）四种，由于粘合的面积越大，四棱柱的表面积越小，所以表面积最小的四棱柱当属（6），（7）两种，且其表面积都是
。
如果拼合成三棱柱，俯视图有（1），（3），（5）三种，计算可知对应的三棱柱的表面积分别为：12a2+48,24a2+36,24a2+32。
为使S最小，只须满足24a2+28＜12a2+48,解得a。
要考虑所有可能的情形必须分类，第一类是“摞”成一个三棱柱，全面积为12a2+48；第二类是使长为3a的两个面重合拼成三棱柱或四棱柱，全面积为24a2+36；第三类是使长为4a的两个面重合拼成三棱柱或四棱柱，全面积为24a2＋32；第四类是使长为5a的两个面重合拼成三棱柱或四棱柱，全面积为24a2+28。只需解不等式24a2+28＜12a2＋48，便可得到所求的a的取值范围。这一过程中，应用穷举法，以保证分类不重不漏，依据全面积的大小，有效地整合出一个不等式是两个关键步骤，恰恰体现了先“分”后“合”，有“分”有“合”的思想。
例9．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且这个圆锥的体积为.求圆锥的表面积．（　）
例10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器中放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面和球面正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
解：如图，已知圆O是球的大圆，它切于△ABC，又球的半径为r，
则OD＝r，AD＝r，AB＝AC＝BC＝2r，CD＝3r，
∴V圆锥CMN∶V圆锥CAB＝((((ME2(CE)∶((((AD2(CD)＝CE3∶CD3．
由题设可知，V圆锥CMN＝V圆锥CAB－V球O＝((AD2(CD－(r3＝(r3．
∴(r3∶3(r3＝CE3∶(3r)3，∴CE＝r．即取出球后，水面的高度为r．
例11．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是A1B1 中点．
（1）求证C1D ⊥平面A1B ；
（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。
分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。
（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置。
（1）证明：如图，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，
∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。
又 D 是A1B1 的中点，∴ C1D ⊥A1B1 。
∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，
∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。
（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 ⊥平面C1DF ，点F 即为所求。
事实上，∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，
∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，∴ AB1 ⊥平面C1DF 。
点评：本题（1）的证明中，证得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。
第三部分：二轮复习示例
空间的平行与垂直
一、教学目标：
1．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题，并会规范地写出解题过程。
2．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题，并会规范地写出解题过程。
3．初步掌握“立几”中“探索性”“发散性”等问题的解法
4．提高立体几何综合运用能力，能正确地分析出几何体中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合和变形。
二、教学重点：
掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定与性质，会利用上述知识论证和解决有关问题。
三、教学过程：
1．一轮回顾
1．已知直线a、b、l及平面M、N。给出下列四个命题
①若a∥M，b∥M，则a∥b
②若a∥M，b⊥a，则b⊥M
③若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M
④若a⊥M，a∥N，则M⊥N
其中真命题的序号是______④_______.（将所有正确结论的序号都写上）
2．已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；
③四面体中最多可以有四个面是直角三角形；
④若mα且l⊥β， 且α∥β则ml
其中正确命题的是 ①③④ 。
3．如图，两个正方形和所在平面互相垂直，设、分别是和的中点，那么① ；② 面；③ ；④ 、异面
其中正确结论的序号是__①②③___________.
4．在正方体中，为底面的中心，、、、分别为棱、、、的中点，请写出一个与垂直的正方体的截面_________（或或）.（截面以给定的字母表示，不必写出所有情况）
5．如图，四棱锥中，为正方形，底面，那么在该图中，互相垂直的平面有___________对.
6．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题：
若，，则；
若，，则；
③若，，，则；
④若m、n是异面直线，，，，，则，
其中真命题是 ①和④
2．典型例题
例1．在棱长为的正方体中。
（1）求证：面；
（2）求证：面面；
（3）求证：面；
（4）求证：面面；
（5）求三棱锥的体积。
例2．如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，
（1）求证：四点共面；
（2）若点在上，，点在上，
，垂足为，求证：面
解：（1）证明：在DD上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFDN是平行四边形，所以DF//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又
BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以
CN//BE，所以DF//BE，所以四点共面。
（2）因为所以∽MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB，且EM在平面ABBA内，所以面
例3．（2006天津文，19）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。
（I）证明平面；
（II）证明平面OEF⊥平面
（II）设证明平面
证明：
（I）取CD中点M，连结OM。
在矩形ABCD中， 又
则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。

又平面CDE，且平面CDE，
平面CDE。
（II）由（I）和已知条件，四边形EFOM为平行四边形。
平面EFOM
而，平面
故，平面EFOM⊥平面即平面OEF⊥平面
（III）连结FM。
由（I）和已知条件，在等边中，
且
因此平行四边形EFOM为菱形，从而。
平面EOM，从而
而所以平面
由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.
平行问题的转化：
面面平行线面平行线线平行；
主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．?
垂直问题的转化：
面面垂直线面垂直线线垂直；
主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．?
例4．如图，在直四棱柱中，
已知，．
（1）求证：；
（2）设是上一点，试确定的位置，使平面
，并说明理由．
解．（1）证明：在直四棱柱中，
连结，
，
四边形是正方形．
．
又，，
平面，
平面，
．
平面，
且，
平面，
又平面，
．
（2）连结，连结，
设，
，连结，
平面平面，
要使平面，
须使，
又是的中点．
是的中点．
又易知，
．
即是的中点．
综上所述，当是的中点时，可使平面．
【解析】本题主要考查立体几何中的主干知识，如线而平行、线面垂直等，考查空间想象能力、推理论证能力，本题属中等题。
四、小结：
1.直线与平面的平行、垂直是空间线线、线面与面面的位置关系的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面平行、垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。
常用定理:①线面平行;;
②线线平行:;;;
③面面平行:;;
④线线垂直:;所成角900；(三垂线);逆定理?
⑤线面垂直:;;;
⑥面面垂直：二面角900; ;
2．立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：

3．证明空间线面平行或垂直需注意以下几点：
①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
④三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑.应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用的方法之一。
⑤直线是一维的，平面是二维的，立体空间是三维的。运用降维的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题，可以化难为易，化新为旧，化未知为已知，从而使问题得到解决。平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程。
五．巩固练习
1．已知正方体中，点、分别为、的中点。
（1）求证：、、、四点共面；
（2）证明多面体是棱台。
2．如图，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AE⊥SB，AG⊥SD。
3．已知侧棱垂直于底面的三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，且，、、分别为、、的中点。
（1）求证：面；
（2）求证：面。
4．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为、的中点。
（1）求证：面；
（2）求证：面。
5．如图，四棱锥中，侧面为正三角形，且与底面垂直，已知底面是面积为的菱形，，为的中点，求证：
（1）；
（2）面面。

6．如图，在长方体中，，，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；（2）求证：平面．
（3）能否在面内找一点G，使AF若能，请找出所有可能的位置并证明，若不能，请说明理由。
（1）证明：侧面，
侧面，，
在中，，则有，
，，
又平面．
（2）证明：连、，连交于，
，，四边形是平行四边形，

又平面，平面，
平面．
（3）点G所有可能的位置为中点G与点C的连线段。
证明略
7．如图，已知ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
且AB=FB=2DE．
(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面AFC；
(Ⅱ)问在EF上是否存在一点M，使三棱锥M-ACF是正三棱锥？
若存在，试确定M点的位置；若不存在，请说明理由．
解：(Ⅰ)连结BD, AC，设他们交于点O，连结EO，FO，
∵ABCD是正方形，∴OD⊥AC．
又∵ED⊥平面ABCD，且OD为ED在平面ABCD内的射影
∴EO⊥AC． 同理FO⊥AC，
∴∠EOF就是二面角E—AC—F的平面角．
设DE=, ∵AB=BF=2DE ，
∴OE=，OF=,EF=.
∴EO2 +FO2 =EF 2，即， ∴平面AEC⊥平面AFC．
(Ⅱ)由题意可知△ACF是等边三角形，设点N是△ACF的中心，
则点N一定在OF上，且｜FN｜=2｜NO｜，
在平面EOF内，作OF，且与EF交于M点． 　　　
∵AC⊥OE, AC⊥OF,∴平面，又平面ACF．
∴平面ACF⊥平面，又OF，∴平面ACF．∴三棱锥M-ACF是正三棱锥．
在平面中，由．
可知MN∥EO,又｜FN｜=2｜NO｜，∴｜FM｜=2｜ME｜．
在EF上存在一点M，使三棱锥M-ACF是正三棱锥，且点M是线段EF的靠近E的三等分点
8．如图，四面体C—ABD，CB = CD，AB = AD， ∠BAD = 90°.E、F分别是BC、AC的中点.
（Ⅰ）求证：AC⊥BD；
（Ⅱ）如何在AC上找一点M，使BF∥平面MED？并说明理由；
（Ⅲ）若CA = CB，求证：点C在底面ABD上的射影是线段BD的中点.
解：（Ⅰ）取BD的中点O，连接AO，CO，在△BCD中，
∵BC = DC，∴CO⊥BD，同理AO⊥BD
而AO∩CO = O，∴BD⊥平面AOC，
又平面AOC，∴AC⊥BD.
（Ⅱ）取FC的中点M，连接EM，DM，
∵E是BC的中点，∴BF∥EM，
∵平面MED，∴BF∥平面MED，
∴FC的中点M即为所求.
（Ⅲ）∵△ABD是等腰直角三角形，∠BAD = 90°，
∴AO = BO = DO；∵CA = CB = CD，CO是公共边，
∴△COA≌△COB≌△COD；
∴∠COA=90°，即CO⊥AO，
又CO⊥BD，AO∩BD = O，∴CO⊥平面ABD
即点C在底面ABD上的射影是线段BD的中点 。
课件36张PPT。2008年高三立体几何二轮复习建议南京一中 孔凡海第一部分：重温“考试说明”1．江苏省普通高中数学课程标准教学要求立体几何初步2．2008江苏高考数学科考试说明3．命题走向第二部分：复习建议（答案：永远保持互相垂直）解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.答案：C第三部分：二轮复习示例
空间的平行与垂直
一、教学目标：
1．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题，并会规范地写出解题过程。
2．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题，并会规范地写出解题过程。
3．初步掌握“立几”中“探索性”“发散性”等问题的解法
4．提高立体几何综合运用能力，能正确地分析出几何体中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合和变形。
二、教学重点：
掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定与性质，会利用上述知识论证和解决有关问题。
三、教学过程：
1．一轮回顾
1．已知直线a、b、l及平面M、N。给出下列四个命题
①若a∥M，b∥M，则a∥b
②若a∥M，b⊥a，则b⊥M
③若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M
④若a⊥M，a∥N，则M⊥N
其中真命题的序号是______④_______.（将所有正确结论的序号都写上）
2．已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；
③四面体中最多可以有四个面是直角三角形；
④若mα且l⊥β， 且α∥β则ml
其中正确命题的是 ①③④ 。
3．如图，两个正方形和所在平面互相垂直，设、分别是和的中点，那么① ；② 面；③ ；④ 、异面
其中正确结论的序号是__①②③___________.
4．在正方体中，为底面的中心，、、、分别为棱、、、的中点，请写出一个与垂直的正方体的截面_________（或或）.（截面以给定的字母表示，不必写出所有情况）
5．如图，四棱锥中，为正方形，底面，那么在该图中，互相垂直的平面有___________对.
6．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题：
若，，则；
若，，则；
③若，，，则；
④若m、n是异面直线，，，，，则，
其中真命题是 ①和④
2．典型例题
例1．在棱长为的正方体中。
（1）求证：面；
（2）求证：面面；
（3）求证：面；
（4）求证：面面；
（5）求三棱锥的体积。
例2．如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，
（1）求证：四点共面；
（2）若点在上，，点在上，
，垂足为，求证：面
解：（1）证明：在DD上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFDN是平行四边形，所以DF//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又
BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以
CN//BE，所以DF//BE，所以四点共面。
（2）因为所以∽MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB，且EM在平面ABBA内，所以面
例3．（2006天津文，19）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。
（I）证明平面；
（II）证明平面OEF⊥平面
（II）设证明平面
证明：
（I）取CD中点M，连结OM。
在矩形ABCD中， 又
则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。

又平面CDE，且平面CDE，
平面CDE。
（II）由（I）和已知条件，四边形EFOM为平行四边形。
平面EFOM
而，平面
故，平面EFOM⊥平面即平面OEF⊥平面
（III）连结FM。
由（I）和已知条件，在等边中，
且
因此平行四边形EFOM为菱形，从而。
平面EOM，从而
而所以平面
由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.
平行问题的转化：
面面平行线面平行线线平行；
主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．?
垂直问题的转化：
面面垂直线面垂直线线垂直；
主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．?
例4．如图，在直四棱柱中，
已知，．
（1）求证：；
（2）设是上一点，试确定的位置，使平面
，并说明理由．
解．（1）证明：在直四棱柱中，
连结，
，
四边形是正方形．
．
又，，
平面，
平面，
．
平面，
且，
平面，
又平面，
．
（2）连结，连结，
设，
，连结，
平面平面，
要使平面，
须使，
又是的中点．
是的中点．
又易知，
．
即是的中点．
综上所述，当是的中点时，可使平面．
【解析】本题主要考查立体几何中的主干知识，如线而平行、线面垂直等，考查空间想象能力、推理论证能力，本题属中等题。
四、小结：
1.直线与平面的平行、垂直是空间线线、线面与面面的位置关系的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面平行、垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。
常用定理:①线面平行;;
②线线平行:;;;
③面面平行:;;
④线线垂直:;所成角900；(三垂线);逆定理?
⑤线面垂直:;;;
⑥面面垂直：二面角900; ;
2．立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：

3．证明空间线面平行或垂直需注意以下几点：
①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
④三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑.应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用的方法之一。
⑤直线是一维的，平面是二维的，立体空间是三维的。运用降维的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题，可以化难为易，化新为旧，化未知为已知，从而使问题得到解决。平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程。
五．巩固练习
1．已知正方体中，点、分别为、的中点。
（1）求证：、、、四点共面；
（2）证明多面体是棱台。
2．如图，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AE⊥SB，AG⊥SD。
3．已知侧棱垂直于底面的三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，且，、、分别为、、的中点。
（1）求证：面；
（2）求证：面。
4．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为、的中点。
（1）求证：面；
（2）求证：面。
5．如图，四棱锥中，侧面为正三角形，且与底面垂直，已知底面是面积为的菱形，，为的中点，求证：
（1）；
（2）面面。

6．如图，在长方体中，，，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；（2）求证：平面．
（3）能否在面内找一点G，使AF若能，请找出所有可能的位置并证明，若不能，请说明理由。
（1）证明：侧面，
侧面，，
在中，，则有，
，，
又平面．
（2）证明：连、，连交于，
，，四边形是平行四边形，

又平面，平面，
平面．
（3）点G所有可能的位置为中点G与点C的连线段。
证明略
7．如图，已知ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
且AB=FB=2DE．
(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面AFC；
(Ⅱ)问在EF上是否存在一点M，使三棱锥M-ACF是正三棱锥？
若存在，试确定M点的位置；若不存在，请说明理由．
解：(Ⅰ)连结BD, AC，设他们交于点O，连结EO，FO，
∵ABCD是正方形，∴OD⊥AC．
又∵ED⊥平面ABCD，且OD为ED在平面ABCD内的射影
∴EO⊥AC． 同理FO⊥AC，
∴∠EOF就是二面角E—AC—F的平面角．
设DE=, ∵AB=BF=2DE ，
∴OE=，OF=,EF=.
∴EO2 +FO2 =EF 2，即， ∴平面AEC⊥平面AFC．
(Ⅱ)由题意可知△ACF是等边三角形，设点N是△ACF的中心，
则点N一定在OF上，且｜FN｜=2｜NO｜，
在平面EOF内，作OF，且与EF交于M点． 　　　
∵AC⊥OE, AC⊥OF,∴平面，又平面ACF．
∴平面ACF⊥平面，又OF，∴平面ACF．∴三棱锥M-ACF是正三棱锥．
在平面中，由．
可知MN∥EO,又｜FN｜=2｜NO｜，∴｜FM｜=2｜ME｜．
在EF上存在一点M，使三棱锥M-ACF是正三棱锥，且点M是线段EF的靠近E的三等分点
8．如图，四面体C—ABD，CB = CD，AB = AD， ∠BAD = 90°.E、F分别是BC、AC的中点.
（Ⅰ）求证：AC⊥BD；
（Ⅱ）如何在AC上找一点M，使BF∥平面MED？并说明理由；
（Ⅲ）若CA = CB，求证：点C在底面ABD上的射影是线段BD的中点.
解：（Ⅰ）取BD的中点O，连接AO，CO，在△BCD中，
∵BC = DC，∴CO⊥BD，同理AO⊥BD
而AO∩CO = O，∴BD⊥平面AOC，
又平面AOC，∴AC⊥BD.
（Ⅱ）取FC的中点M，连接EM，DM，
∵E是BC的中点，∴BF∥EM，
∵平面MED，∴BF∥平面MED，
∴FC的中点M即为所求.
（Ⅲ）∵△ABD是等腰直角三角形，∠BAD = 90°，
∴AO = BO = DO；∵CA = CB = CD，CO是公共边，
∴△COA≌△COB≌△COD；
∴∠COA=90°，即CO⊥AO，
又CO⊥BD，AO∩BD = O，∴CO⊥平面ABD
即点C在底面ABD上的射影是线段BD的中点 。
解析几何二轮复习的思考与建议
张志超 南京五中
一.考试内容与要求
必考部分内容
要求
A
B
C
直线的斜率和倾斜角
√
直线方程
√
直线的平行与垂直关系
√
两直线的交点
√
两点间的距离，点线距离
√
圆的标准方程和一般方程
√
直线与圆、圆与圆位置关系
√
空间直角坐标系
√
椭圆标准方程和几何性质
√
双曲线标准方程和几何性质
√
抛物线标准方程和几何性质
√
附加部分内容
曲线与方程
√
抛物线标准方程和几何性质
√
二.对考试内容与要求的思考
从上表中可以看出必考部分有11块，附加题部分有2块。其中直线方程，圆的方程为C级要求，其余有7块为B级要求，4块为A级要求。笔者认为08年江苏数学高考试题解析几何部分可能有两道小题和一道大题。大题可能以直线与圆为背景或者以椭圆为背景。小题可能是一些与基本量有关的问题；附加题可能以抛物线为背景。
鉴于这个认识建议教师在复习中抓好从以下两个方面。
1.在一轮复习的基础上，要进一步夯实基础知识并通过不断的练习加以巩固，对考试内容与要求中的 11＋2个知识点要心知肚明，特别是与这些知识点有关的常用习题及其解题方法要归纳，总结，掌握基本习题的常用解法。
2.要加强对直线和圆的研究与落实，提高综合应用知识的能力。
三.解题方法
1.直线方程有五种形式，它含有两个基本量。求直线方程的常用方法是待定系数法，其步骤为：首先要根据题意适当的选择一种形式，再通过题中的条件，找到含有基本量的方程（组），最后通过解方程（组）求出基本量即可。求直线方程的特殊方法主要是几何法，其步骤为：首先根据题意做出图形；再通过对图形中诸基本量的研究，找到它们之间的关系，并得到方程；最后通过解方程（组）求出基本量。
2.圆的方程有标准方程和一般方程两种形式，它含有三个基本量。求圆的方程常用方法是待定系数法。其步骤为：首先要根据题意适当的选择一种形式，再通过题中的条件，找到含有基本量的方程（组），最后通过解方程（组）求出基本量即可。求圆方程的特殊方法主要是几何法，其步骤为：首先根据题意做出图形；再通过对图形中诸基本量的研究，找到它们之间的关系，并得到方程；最后通过解方程（组）求出基本量。
3.椭圆标准方程有两种形式、双曲线标准方程有两种形式、抛物线标准方程有四种形式。它们含有的基本量椭圆和双曲线有两个，抛物线有一个。常用方法是待定系数法，先定位，后定量。
四．典型案例
1.直线与圆的问题
例题1.若直线与圆相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为_______..
分析：本题的直线方程是y=kx+1,只要求出一个基本量k即可。可以利用题中直线与圆相交的关系，做出图形，再结合图形得到k的方程，最后求出k.。
解：如图，因为∠POQ＝120°，由OP=OQ，得
∠PQO＝30°，所以∠QAO＝60°,∠QBC＝120°。
所以k=tan60°=或k=tan120°=－。
例题2.过点P（1，）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ ．
分析：本题要求的基本量是直线的斜率k，根据条件可以判断点P在圆C的内部，做出图形，结合图形可以得到满足条件，过点P的直线将圆分成两段弧且劣弧所对的圆心角最小时直线与CP垂直。所以可利用直线与CP垂直的关系求出k.
解：如图，当劣弧所对的圆心角最小时，得弦AB最小。因为，所以当直线与CP垂直时，满足条件。由C(2,0), P（1，）,得。
例题3．设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为_______
分析：直线与圆相切问题，有两种解决方法：一是通过方程组去求唯一解。二是利用圆心到直线的距离等于半经去求解。本题可用方法二。
解：由题意可设直线方程为y=x+a,因为直线与圆相切，得，解得。
例题4．设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则___．
分析：直线与圆相交所得弦长的问题，有两种解决方法：一是通过方程组去求两个不同的解，再利用两点间距离公式求解。二是利用圆心到直线的距离d与半经r和半弦长构成的直角三角形去求解。本题可用方法二。
解：因为圆心坐标为（1，2），半经=2，，所以圆心到直线的距离d＝，即，解得a=0。
小结：从以上四个小题的解答中，可以看出解决直线与圆的问题时，用几何法要比代数方法解方程组简捷容易。
2.求基本量的问题
例题5. 已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P，则点P到直线－－1＝0的距离是 ．
解：因为圆心P(2,0)，所以d=.
例题6. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为._____
解：设P为直线上的一点，A为切点，切线长为PA,由条件得圆心C为（3，0），半径为1。所以PA=当PC取最小值=，切线长为PA最小值=
例题7.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 _______.
分析：求离心率的常用方法是找a与c的关系。由题意得。解得
，所以.离心率e=.
例题8.设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为__________.
分析：求双曲线方程常用方法是找到含有基本量的方程组，解方程组即可。
解：由题意，得， .解得，双曲线的方程为
3创新题
例题9 .已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）。直线的倾斜角为弧度，，则的图象大致为
解：由题意得∠POD=θ, ∠POE=,
OH=OEcos()=sinθ,所以d=f(θ)=2sinθ.
例题10．如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与
线段围成图形面积的取值范围是 ．
分析：本题中，线段AB=2是定值，两个半径相等的动圆其半径是一个可以变化的量，当动圆的半径无限变大时，可以发现C点与AB的距离越来越靠近0.那么S的值越来越接近0.当动圆的半径变小时，C点的极端位置在两圆外切时，此时S=2-.故S的范围是.
例题11.如下图所示，每个小方格的边长为1，圆O的中心为O,半径为切点分别为C
点与D点,求线段AC、圆弧CD及线段DB的长度和为_______.
解：根据题意可以得到
，所以圆弧CD=。
线段AC、圆弧CD及线段DB的长度和为
小结：新颖题一直是学生解题的困难所在，其难点在于阅读理解。要引导学生先看懂题，再动手，不要遇难就退。教师要组织一些新颖目，适当地进行一些练习，让学生从中悟出一些方法。
4.综合题
例题12..在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．
解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ． 得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得 ．
设，由成等比数列，得 ，即 ．


由于点在圆内，故
由此得．所以的取值范围为．
本题第1问主要考查了直线与圆的有关知识，第2问综合考查了等比数列，向量的数量积，不等式，方程的有关知识。难度不大综合性较强。
5.练习题
1.设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程。
2..已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（1）求圆的方程；
（2）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．
3.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标
答案
1.法一：由题意，直线AB不能是水平线， 故可设直线方程为：.
又设，则其坐标满足
消去x得
由此得

因此.
故O必在圆H的圆周上.
又由题意圆心H（）是AB的中点，故

由前已证，OH应是圆H的半径，且.
从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.
此时，直线AB的方程为：x=2p.
解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x－2p
又设，则其坐标满足
分别消去x，y得
故得A、B所在圆的方程
明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，
又知A、B中点H的坐标为
故
而前面圆的方程可表示为
故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.
又，
故当k=0时，R2最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p.
解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上
又直径|AB|=
上式当时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.
此时直线AB的方程为x=2p.

展开更多......

收起↑