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人教版数学九年级综合复习学案
——第二十八章 锐角三角函数
一、知识点练
知识点1 三角函数的定义
1. 在 中， ， ， ， 的值是( )
A. B. C. D.
2. 在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角 的三角函数值( )
A. 也扩大3倍 B. 缩小为原来的
C. 都不变 D. 有的扩大，有的缩小
知识点2 由三角函数值求边、角
3. 如图， 的顶点在正方形网格的格点处，则 的值为 .
第3题图
4. 如图，在 中， ，若 ， ，则 的长是( )
第4题图
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 某楼梯的侧面如图所示，已测得 的长约为 ， 约为 ，则该楼梯的高度 可表示为( )
A. B. C. D.
知识点3 特殊角的三角函数值
6. 计算： .
7. 若 ， 为锐角，则 .
8. 若 ， 均为锐角，且 ，则 .
知识点4 解直角三角形（求出所有未知边、角）
9. 在 中， ， ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，求出直角三角形的其他元素.
10. 如图，在 中， ， ， ， 是边 上的高线.
（1） 求 的长；
（2） 求 的面积.
知识点5 解直角三角形的应用
11. 如图，无人机与亮亮的水平距离是 ，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为 ，若亮亮身高 ，则无人机距离地面的高度为 .（结果带根号即可）
第11题图
12. 如图，创新小组要测量公园内一棵树 的高度，其中一名小组成员站在距离树 的点 处，测得树顶 的仰角为 ，已知测角仪的架高 ，则这棵树的高度为 .
第12题图
13. 如图，将一根橡皮筋两端固定在点 ， 处，拉展成线段 ，拉动橡皮筋上的一点 ，当 是顶角为 的等腰三角形时，已知 ，则橡皮筋被拉长了( )
第13题图
A. B. C. D.
二、重点练习
14. 如图，在平面直角坐标系内， 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 在第一象限内， ， .求：
（1） 点 的坐标；
（2） 的值.
15. 如图，小李从西边山脚的点 走了 后到达山项 ，已知 ，东边山坡的坡度 .
（1） 求山顶 离地面的高度；
（2） 求 ， 的距离.
16. 如图，楼房 的前方竖立着旗杆 .小亮在 处观察旗杆顶端 的仰角为 ，在 处观察旗杆顶端 的俯角为 ，楼高 为 .求旗杆 的高度.
17. 如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到 ）.参考数据： ， .
18. 文物探测队探测出某建筑物下面有地下文物，为了准确测出文物所在的具体位置，他们在文物上方建筑物的一侧地面上相距 的 , 两处，用仪器测文物 ，探测线与地面的夹角分别为 和 .
（1） 求 的度数；
（2） 求 的长.
19. 如图，有一段斜坡 长为 ，坡角 ，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为 .
参考数据
0.087 0.208
0.996 0.978
0.087 0.213
（1） 求坡高 ；
（2） 求斜坡新起点 与原起点 的距离.（精确到 ）
20. 为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 的速度向正东方向航行，在 处测得灯塔 在北偏东 方向上，继续航行 到达 处，此时测得灯塔 在北偏东 方向上.
（1） 求 的度数；
（2） 已知在灯塔 的周围 内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全
21. “湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳地标性建筑之一，摩天轮采用了世界首创的鱼鳍状异形大立架，有28个进口轿厢，每个轿厢可容纳25人.小亮在桥厢 处看摩天轮的圆心 处的仰角为 ，看地面 处的俯角为 （如图所示， 垂直于地面），若摩天轮的半径为 ，则此时小亮到地面的距离 为 .（结果保留根号）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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人教版数学九年级综合复习学案
——第二十八章 锐角三角函数
一、知识点练
知识点1 三角函数的定义
1. 在 中， ， ， ， 的值是( D )
A. B. C. D.
2. 在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角 的三角函数值( C )
A. 也扩大3倍 B. 缩小为原来的
C. 都不变 D. 有的扩大，有的缩小
知识点2 由三角函数值求边、角
3. 如图， 的顶点在正方形网格的格点处，则 的值为 .
第3题图
4. 如图，在 中， ，若 ， ，则 的长是( A )
第4题图
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 某楼梯的侧面如图所示，已测得 的长约为 ， 约为 ，则该楼梯的高度 可表示为( A )
A. B. C. D.
知识点3 特殊角的三角函数值
6. 计算： .
解：原式 .
7. 若 ， 为锐角，则 .
8. 若 ， 均为锐角，且 ，则 90 .
知识点4 解直角三角形（求出所有未知边、角）
9. 在 中， ， ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，求出直角三角形的其他元素.
解：在 中， ， ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，由 ，可得 ， ， .故这个直角三角形的其他元素为 ， ， .
10. 如图，在 中， ， ， ， 是边 上的高线.
（1） 求 的长；
解： ， .在 中， ， ， ， .
（2） 求 的面积.
[答案] ， ， ， ， ， .
知识点5 解直角三角形的应用
11. 如图，无人机与亮亮的水平距离是 ，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为 ，若亮亮身高 ，则无人机距离地面的高度为 .（结果带根号即可）
第11题图
12. 如图，创新小组要测量公园内一棵树 的高度，其中一名小组成员站在距离树 的点 处，测得树顶 的仰角为 ，已知测角仪的架高 ，则这棵树的高度为11 .
第12题图
13. 如图，将一根橡皮筋两端固定在点 ， 处，拉展成线段 ，拉动橡皮筋上的一点 ，当 是顶角为 的等腰三角形时，已知 ，则橡皮筋被拉长了( C )
第13题图
A. B. C. D.
二、重点练习
14. 如图，在平面直角坐标系内， 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 在第一象限内， ， .求：
（1） 点 的坐标；
解：如图，过点 作 轴，垂足为 .
在 中， ， ， ， ， 点 的坐标为 .
（2） 的值.
[答案] 点 的坐标为 ， ， 在 中， ， ， 的值为 .
15. 如图，小李从西边山脚的点 走了 后到达山项 ，已知 ，东边山坡的坡度 .
（1） 求山顶 离地面的高度；
解：如图，过点 作 于点 .
在 中， ， ，
.
答：山顶 离地面的高度为 .
（2） 求 ， 的距离.
[答案]在 中， ， ，即 ，解得 .
由勾股定理，得 .
答： , 的距离为 .
16. 如图，楼房 的前方竖立着旗杆 .小亮在 处观察旗杆顶端 的仰角为 ，在 处观察旗杆顶端 的俯角为 ，楼高 为 .求旗杆 的高度.
解：如图，过点 作 ，垂足为 .
由题意,得 ， ， .
设 .
在 中， .
在 中， .
, ， ，
解得 .
.
答：旗杆 的高度为 .
17. 如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到 ）.参考数据： ， .
解：在 中， ， , ， .
四边形 是矩形， ， .
在 中， , ，
.
答：该坝的坝高和坝底宽分别为 和 .
18. 文物探测队探测出某建筑物下面有地下文物，为了准确测出文物所在的具体位置，他们在文物上方建筑物的一侧地面上相距 的 , 两处，用仪器测文物 ，探测线与地面的夹角分别为 和 .
（1） 求 的度数；
解：由题意可得 .
（2） 求 的长.
[答案]如图，过点 作 于点 ，
可得 .
. .
， ， ，解得 .
答： 的长为 .
19. 如图，有一段斜坡 长为 ，坡角 ，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为 .
参考数据
0.087 0.208
0.996 0.978
0.087 0.213
（1） 求坡高 ；
解：在 中，
.
答：坡高 为 .
（2） 求斜坡新起点 与原起点 的距离.（精确到 ）
[答案]在 中，
.
在 中， ， .
答：斜坡新起点 与原起点 的距离为 .
20. 为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 的速度向正东方向航行，在 处测得灯塔 在北偏东 方向上，继续航行 到达 处，此时测得灯塔 在北偏东 方向上.
（1） 求 的度数；
解：如图，过点 作 于点 .
， ，
.
（2） 已知在灯塔 的周围 内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全
[答案] 由（1）可知 ， .
在 中， .
,
海监船继续向正东方向航行是安全的.
21. “湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳地标性建筑之一，摩天轮采用了世界首创的鱼鳍状异形大立架，有28个进口轿厢，每个轿厢可容纳25人.小亮在桥厢 处看摩天轮的圆心 处的仰角为 ，看地面 处的俯角为 （如图所示， 垂直于地面），若摩天轮的半径为 ，则此时小亮到地面的距离 为 .（结果保留根号）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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