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人教版数学九年级综合复习学案
——第二十七章 相似
一、知识点练
知识点1 比例线段
1. 下面四组线段中，成比例的是( A )
A. ， ， ， B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
知识点2 比例的性质
2. 已知 ，且 .下列各式正确的是( B )
A. B. C. D.
知识点3 平行线分线段成比例定理
3. 如图，已知 ，若 ， ， ，则 的长为( A )
A. 4 B. 4.5 C. 5.5 D. 6
知识点4 相似的概念
4. 下列图形中，不一定是相似图形的是( C )
A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形
C. 两个矩形 D. 两个圆
5.下列说法正确的是( A )
A. 有一个角等于 的两个等腰三角形相似
B. 两个矩形一定相似
C. 有一个角等于 的两个等腰三角形相似
D. 相似三角形一定不是全等三角形
知识点5 相似的性质
6. 如图， ，且 ， ，则 的长为( A )
A. 6 B. 9 C. 3 D. 4
知识点6 相似形的周长与面积
7. 若两个相似三角形的周长之比为 ，则它们的面积之比为( A )
A. B. C. D.
8. 如图，在 中， ， ， 分别是边 ， ， 上的点， ， ，且 ，则 ( B )
A. B. C. D.
知识点7 相似的判定
9. 如图， ， 分别是 的边 ， 上的点，连接 .下列条件不能判定 与 相似的是( D )
A. B. C. D.
知识点8 相似三角形的应用
10.如图，小树 在路灯 的照射下形成树影 .若树高 ，树影 ，树与路灯的水平距离 ，则路灯的高度 为 .
知识点9 位似
11. 如图，以点 为位似中心，把 放大为原图形的2倍得到 ，以下说法错误的是( C )
A. B. ， ， 三点在同一直线上
C. D.
二、重点练习
12. 如图，在 与 中，点 在边 上， ， .
（1） 添加一个条件后，能判定 与 相似，这个条件可以是 （添加一个即可），并证明；
解： .证明： ， ，
.又 ，
.
也可添加 或 或 .
（2） 在（1）中，若 ， ， 为 的中点，求 的长.
[答案]在 中， 是 的中点， ， ，即 , .
13.如图，在 中， ， ，垂足为 .
（1） 求证： ；
解：证明： ， 于点 ，
.又 ，
.
（2） 已知 ， .求 的长度.
[答案] .
，
， ， .
14. 如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点 ， 为 的中点，连接 交 于点 .且 .
（1） 求证： ；
解：证明： 四边形 是平行四边形， ， , ， .
（2） 求 的长.
[答案] 为 的中点， ， ， . ， ， ， ， ， ，即 的长为6.
15. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， .
（1） 画出 关于 轴对称的图形 ；
解：如图， 为所求作.
（2） 以原点 为位似中心，位似比为 ，在 轴的左侧，画出 放大后的图形 ；
[答案]如图， 为所求作.
（3） 填空：直接写出点 的坐标 ； 与 的周长比是 .
16. 如图， ， ， 分别与 相切于 ， ， 三点， 是 的直径.
（1） 连接 ， ，若 ， ，求 的长；
解： ， ， 分别与 相切于 ， ， 三点， ， ， 平分 ， 平分 ， ， .易知 ， ， ， ， .
（2） 若 ， ， .请画出 关于 的函数图象.
[答案] ， . ， ， ，
，即 ， .如图.
17. 如图，在 中， ， ，在边 上取点 ，使 ，构造正方形 ， 交 于点 ，作 交 于点 ，交 于点 .
（1） 求证： ；
解：证明： 在正方形 中， ， , .
, , .
在 和 中,
， .
（2） 若 ， ，求 的长.
[答案] ， , 设 ，则 .
, ,
, , ， 在正方形 中， , ， , , ， .在 中，由勾股定理得 ,
故 的长为 .
18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 是平行四边形， ，连接 .若 ， 的长是关于 的一元二次方程 的两个根，且 .
（1） 直接写出： 4， 3；
（2） 若 为 轴上的点，且 .求此时点 的坐标.
[答案]如图，设点 的坐标为 ，则 ， ， ， ， ， 点 的坐标为 或 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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一、知识点练
知识点1 比例线段
1. 下面四组线段中，成比例的是( )
A. ， ， ， B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
知识点2 比例的性质
2. 已知 ，且 .下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
知识点3 平行线分线段成比例定理
3. 如图，已知 ，若 ， ， ，则 的长为( )
A. 4 B. 4.5 C. 5.5 D. 6
知识点4 相似的概念
4. 下列图形中，不一定是相似图形的是( )
A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形
C. 两个矩形 D. 两个圆
5.下列说法正确的是( )
A. 有一个角等于 的两个等腰三角形相似
B. 两个矩形一定相似
C. 有一个角等于 的两个等腰三角形相似
D. 相似三角形一定不是全等三角形
知识点5 相似的性质
6. 如图， ，且 ， ，则 的长为( )
A. 6 B. 9 C. 3 D. 4
知识点6 相似形的周长与面积
7. 若两个相似三角形的周长之比为 ，则它们的面积之比为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在 中， ， ， 分别是边 ， ， 上的点， ， ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
知识点7 相似的判定
9. 如图， ， 分别是 的边 ， 上的点，连接 .下列条件不能判定 与 相似的是( )
A. B. C. D.
知识点8 相似三角形的应用
10.如图，小树 在路灯 的照射下形成树影 .若树高 ，树影 ，树与路灯的水平距离 ，则路灯的高度 为 .
知识点9 位似
11. 如图，以点 为位似中心，把 放大为原图形的2倍得到 ，以下说法错误的是( )
A. B. ， ， 三点在同一直线上
C. D.
二、重点练习
12. 如图，在 与 中，点 在边 上， ， .
（1） 添加一个条件后，能判定 与 相似，这个条件可以是 （添加一个即可），并证明；
（2） 在（1）中，若 ， ， 为 的中点，求 的长.
13.如图，在 中， ， ，垂足为 .
（1） 求证： ；
（2） 已知 ， .求 的长度.
14. 如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点 ， 为 的中点，连接 交 于点 .且 .
（1） 求证： ；
（2） 求 的长.
15. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， .
（1） 画出 关于 轴对称的图形 ；
（2） 以原点 为位似中心，位似比为 ，在 轴的左侧，画出 放大后的图形 ；
（3） 填空：直接写出点 的坐标 ； 与 的周长比是 .
16. 如图， ， ， 分别与 相切于 ， ， 三点， 是 的直径.
（1） 连接 ， ，若 ， ，求 的长；
（2） 若 ， ， .请画出 关于 的函数图象.
17. 如图，在 中， ， ，在边 上取点 ，使 ，构造正方形 ， 交 于点 ，作 交 于点 ，交 于点 .
（1） 求证： ；
（2） 若 ， ，求 的长.
18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 是平行四边形， ，连接 .若 ， 的长是关于 的一元二次方程 的两个根，且 .
（1） 直接写出： ， ；
（2） 若 为 轴上的点，且 .求此时点 的坐标.
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