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人教版数学九年级综合复习学案
——第二十三章 旋转
一、知识点练
知识点1 旋转的概念及三要素
1. 有下列现象:①时针的转动;②摩天轮的转动;③地下水位逐年下降;④传送带上的机器人，其中属于旋转的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
2. 将如图所示的图案以圆心为中心顺时针旋转 后得到的图案为( )
A. B. C. D.
3. 如图， 是 绕某一点旋转后得到的图形,点 在 的延长线上, .
第3题图
（1） 旋转中心是点 .
（2） , .
4. 如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心 旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是( )
第4题图
A. B. C. D.
知识点2 旋转的性质
5. 如图,将 绕着点 顺时针旋转，得到 ,若 ， ，则旋转角度是( )
第5题图
A. B. C. D.
6. 如图，在 中, , , ,将 绕点 顺时针旋转 得到 ,则 .
第6题图
知识点3 中心对称
7. 下列图形中， 与 成中心对称的是( )
A.
B.
C.
D.
知识点4 中心对称图形
8. 下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
平行四边形 等边三角形 等腰三角形 直角三角形
9. （教材补充例题）如图是中心对称图形的是 .
知识点5 关于原点对称的点的坐标
10. 在平面直角坐标系中,点 关于原点的对称点 的坐标是( )
A. B. C. D.
11. 在平面直角坐标系中,点 的坐标为 ，点 的坐标是 .若点 与点 关于原点 对称，则 .
12. （RJ九上改编）如图，在平面直角坐标系中，若将 以某点为旋转中心，旋转得到 ，则旋转中心的坐标是 .
二、重点练习
13. 如图,将 绕直角顶点 顺时针旋转 ，得到 ,连接 .
（1） 若 ，求 的度数；
（2） 若 ， ,求 的周长与面积.
14. 如图，将 绕点 旋转得到 ,且 , , 三点在同一条直线上.求证: 平分 .
15. 如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形， 的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
（1） 以坐标原点 为对称中心，画出与 成中心对称的 ;写出 的坐标；
（2） 绕点 逆时针旋转 得到 画出图形；
（3） 求 的面积；
（4） 在 轴上求作点 ,使 的值最小.
16. 如图,将一个钝角三角形 （其中 ）绕点 顺时针旋转得到 ,使得点 落在 的延长线上的点 处,连接 .
（1） 写出旋转角的度数;
（2） 求证: .
17. 如图,在 中， ,点 , 分别在 , 上,且 ,连接 ,将线段 绕点 按顺时针方向旋转 后得到 ，连接 .
（1） 求证: ;
（2） 若 ,求证: .
18. 如图,在 中, ,将 绕点 沿顺时针方向旋转得到 ,连接 , ,并交于点 .
（1） 求证: ;
（2） 若 , ,当四边形 是平行四边形时,求 的长.
19. 如图,在 中， , , ， 是边 上的任意两点,且 ，则 , , 之间有怎样的数量关系，并说明理由.
20. 如图, 是等边 内一点， , ,将 绕点 按顺时针方向旋转 得 ，连接 .
（1） 求证: 是等边三角形;
（2） 求 的度数;
（3） 探究:当 为多少度时， 是等腰三角形
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人教版数学九年级综合复习学案
——第二十三章 旋转
一、知识点练
知识点1 旋转的概念及三要素
1. 有下列现象:①时针的转动;②摩天轮的转动;③地下水位逐年下降;④传送带上的机器人，其中属于旋转的是( A )
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
2. 将如图所示的图案以圆心为中心顺时针旋转 后得到的图案为( D )
A. B. C. D.
3. 如图， 是 绕某一点旋转后得到的图形,点 在 的延长线上, .
第3题图
（1） 旋转中心是点 ;
（2） , 40 .
4. 如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心 旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是( B )
第4题图
A. B. C. D.
知识点2 旋转的性质
5. 如图,将 绕着点 顺时针旋转，得到 ,若 ， ，则旋转角度是( D )
第5题图
A. B. C. D.
6. 如图，在 中, , , ,将 绕点 顺时针旋转 得到 ,则 .
第6题图
知识点3 中心对称
7. 下列图形中， 与 成中心对称的是( D )
A.
B.
C.
D.
知识点4 中心对称图形
8. 下列图形是中心对称图形的是( A )
A.
平行四边形
B.
等边三角形
C.
等腰三角形
D.
直角三角形
9. （教材补充例题）如图是中心对称图形的是①②③.
知识点5 关于原点对称的点的坐标
10. 在平面直角坐标系中,点 关于原点的对称点 的坐标是( D )
A. B. C. D.
11. 在平面直角坐标系中,点 的坐标为 ，点 的坐标是 .若点 与点 关于原点 对称，则 6.
12. （RJ九上改编）如图，在平面直角坐标系中，若将 以某点为旋转中心，旋转得到 ，则旋转中心的坐标是 .
二、重点练习
13. 如图,将 绕直角顶点 顺时针旋转 ，得到 ,连接 .
（1） 若 ，求 的度数；
解： 绕其直角顶点 按顺时针方向旋转 后得到 ， ， 是等腰直角三角形， .则 .
（2） 若 ， ,求 的周长与面积.
[答案] 的周长为 ，面积为8.
14. 如图，将 绕点 旋转得到 ,且 , , 三点在同一条直线上.求证: 平分 .
证明： 将 绕点 旋转得到 ， , ， , 平分 .
15. 如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形， 的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
（1） 以坐标原点 为对称中心，画出与 成中心对称的 ;写出 的坐标；
解：如图， 为所求作.
点 .
（2） 绕点 逆时针旋转 得到 画出图形；
[答案] 如图.
（3） 求 的面积；
[答案] 的面积 .
（4） 在 轴上求作点 ,使 的值最小.
[答案]如图，点 即为所求作.
16. 如图,将一个钝角三角形 （其中 ）绕点 顺时针旋转得到 ,使得点 落在 的延长线上的点 处,连接 .
（1） 写出旋转角的度数;
解： ， ， 旋转角为 .
（2） 求证: .
证明：由题意可知 ， ， .由（1）知， ， 是等边三角形， ， ， ，
， .
17. 如图,在 中， ,点 , 分别在 , 上,且 ,连接 ,将线段 绕点 按顺时针方向旋转 后得到 ，连接 .
（1） 求证: ;
证明：由旋转的性质得， ， . ， ，
.在 和 中，
.
（2） 若 ,求证: .
[答案] ， . ， . ， .
18. 如图,在 中, ,将 绕点 沿顺时针方向旋转得到 ,连接 , ,并交于点 .
（1） 求证: ;
解：证明： 由旋转的性质得 ，且 ， ， ，
，即 .
在 和 中，
.
（2） 若 , ,当四边形 是平行四边形时,求 的长.
[答案] 四边形 是平行四边形， ， .又 ， ， .由勾股定理得 . ， .
19. 如图,在 中， , , ， 是边 上的任意两点,且 ，则 , , 之间有怎样的数量关系，并说明理由.
解： .理由如下：将 绕点 逆时针旋转 ，得 ,如图，连接 .
由旋转可知， ， ， . ， .
在 和 中，
， ， ， ， ， ， ， .
20. 如图, 是等边 内一点， , ,将 绕点 按顺时针方向旋转 得 ，连接 .
（1） 求证: 是等边三角形;
解：证明： 绕点 按时针方向旋转 得到 ， ， ，且 ， 是等边三角形.
（2） 求 的度数;
[答案] 为等边三角形, ， . , ， . 绕点 旋转 得到 ， ， , .
（3） 探究:当 为多少度时， 是等腰三角形
[答案] 由（1）知 是等边三角形， .由（2）知 .当 时， ， .当 时， ， .当 时， ， .综上所述,当 ， 或 时， 是等腰三角形.
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