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人教版数学九年级综合复习学案
——第二十四章 圆
一、知识点练
知识点1 等弧 等弦 等圆心角
1. 如图,在 中， ， ，则 的度数为( B )
第1题图
A. B. C. D.
2. 如图，在 中， ， ,则 的度数为110 .
第2题图
知识点2 垂径定理
3. 如图，在 中,半径 于点 .已知 , ,则弦 的长为( D )
第3题图
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 如图，在半径为13的 中, 为弦 的中点,若 ,则 的长为10.
第4题图
知识点3 圆周角定理
5. 如图, 是 的直径, , 是 上两点， ,则 ( C )
第5题图
A. B. C. D.
6. 如图, 为 的直径，半径为5, ,则 6.
第6题图
知识点4 点与圆、直线与圆的位置关系
7. 的半径为 ,点 到圆心 的距离为 ,则点 与 的位置关系为( C )
A. 点 在圆上 B. 点 在圆外 C. 点 在圆内 D. 无法确定
8. 如图，已知 , 为边 上任意一点，以点 为圆心、 为半径作 .当 6 时， 与 相切.
第8题图
知识点5 三角形的内心、外心
9. 如图,点 为 的内心, ,则 125 .
第9题图
10. 已知直角三角形的两直角边分别为6,8,则它的外接圆的半径为5.
知识点6 正多边形与圆
11. 正八边形的中心角的度数为 .
12. 如图, 是正六边形 的外接圆, ,则正六边形 的半径为2，边心距长为 .
知识点7 弧长、扇形面积及圆锥
13. 圆心角为 的扇形的半径为4，则这个扇形的面积为 ,所对的弧长为 .
14. 如图，扇形的半径为3, 的长为6,则扇形面积为9.
15. 圆锥的高为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为 ，全面积为 .
二、重点练习
重点一 圆的相关性质
16. 如图，在 中，半径 垂直于弦 ，点 为垂足.
（1） 若 ，求 的度数；
解： ， ， .
， .
（2） 若 ， ，求 的半径.
[答案] ， .设 的半径为 ，则 ， 在 中， ， ,解得 .
即 的半径为5.
17. 如图， 是 的直径，弦 ， ， 的平分线交 于点 ，连接 .
（1） 求直径 的长；
解： 是 的直径， .由勾股定理得 .
（2） 求阴影部分的面积（结果保留 ）.
[答案]如图，连接 .
， 平分 ， ， . 直径 ， 半径 阴影部分的面积 .
18. 如图，在 中，点 是内心，延长 交三角形的外接圆于点 ，连接 ， .求证: .
证明：如图，连接 点 是 的内心， ， ， ， ，且 ， ， ， .
重点二 切线的性质和判定
19. 如图， 为 的切线， 为切点，过 上一点 作 于点 ， 交 于点 ， 平分 .
（1） 求 的度数；
解： 为 的切线， 为切点， ， . ， ， 平分 ， ，
， .
（2） 若 的半径为 ，求 的长.
[答案]如图，过点 作 于点 .
，
是等边三角形， ， 四边形 是矩形， ， .
即 的长为1.
20. 如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ，点 在 上，以 为直径的 经过点 .
（1） 求证: 是 的切线；
解：证明：如图，连接 .
是 的平分线， ， ， .而 ， ，即 .
为 的半径， 是 的切线.
（2） 若 是劣弧 的中点，且 ，试求阴影部分的面积.
[答案]如图，连接 ， ， ，设 的半径为 .
是劣弧 的中点， 是弦 的中垂线，
， ， ， ， 是 的中垂线，既 , 互相垂直平分，四边形 为菱形，
， ， 是等边三角形， ， . ， ， .
21. 如图， 是 的直径， 是 延长线上一点，点 在 上，且 ， .
（1） 求证: 是 的切线；
解：证明：如图，连接 .
是 的直径， . ， . ， . ， 是等边三角形，
， .
即 .又 为 的半径， 是 的切线.
（2） 过点 作 ，分别交 ， 于点 ， ，若 ，求 和 的长.
[答案] ， ， ， . ， ,
. ， ， ， ， , .
重点三 切线长定理的应用
22. 如图， 为 的直径， 与 相切于点 ， 与 相切于点 ，点 为 延长线上一点，且 .
（1） 求证: 为 的切线；
解：证明：如图，连接 ， .
， ， ，
， .又 与 相切于点 ， ， ，即 .又 为 的半径， 为 的切线.
（2） 若 ， ，求线段 的长.
[答案]如图，过点 作 于点 ，则四边形 是矩形， ， . ， ， 分别切 于点 ， ， ， ， .设 为 ，则 ， .在 中， ，解得 .即线段 的长为 .
23. 如图，在平行四边形 中， 是对角线 上一点，以点 为圆心， 长为半径的 与边 相切于点 ，且 .
（1） 求证: 是 的切线；
解：证明：如图，连接 ， .
与边 相切于点 ， .在 和 中， ，
,即 .
为 的半径， 是 的切线.
（2） 若 ， ，求 的半径.
[答案] ， ， ， ， . ， ， .设 ，则 ， ，解得 ，即 的半径为 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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——第二十四章 圆
一、知识点练
知识点1 等弧 等弦 等圆心角
1. 如图,在 中， ， ，则 的度数为( )
第1题图
A. B. C. D.
2. 如图，在 中， ， ,则 的度数为 .
第2题图
知识点2 垂径定理
3. 如图，在 中,半径 于点 .已知 , ,则弦 的长为( )
第3题图
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 如图，在半径为13的 中, 为弦 的中点,若 ,则 的长为 .
第4题图
知识点3 圆周角定理
5. 如图, 是 的直径, , 是 上两点， ,则 ( )
第5题图
A. B. C. D.
6. 如图, 为 的直径，半径为5, ,则 .
第6题图
知识点4 点与圆、直线与圆的位置关系
7. 的半径为 ,点 到圆心 的距离为 ,则点 与 的位置关系为( )
A. 点 在圆上 B. 点 在圆外 C. 点 在圆内 D. 无法确定
8. 如图，已知 , 为边 上任意一点，以点 为圆心、 为半径作 .当 时， 与 相切.
第8题图
知识点5 三角形的内心、外心
9. 如图,点 为 的内心, ,则 .
第9题图
10. 已知直角三角形的两直角边分别为6,8,则它的外接圆的半径为 .
知识点6 正多边形与圆
11. 正八边形的中心角的度数为 .
12. 如图, 是正六边形 的外接圆, ,则正六边形 的半径为 ，边心距长为 .
知识点7 弧长、扇形面积及圆锥
13. 圆心角为 的扇形的半径为4，则这个扇形的面积为 ,所对的弧长为 .
14. 如图，扇形的半径为3, 的长为6,则扇形面积为 .
15. 圆锥的高为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为 ，全面积为 .
二、重点练习
重点一 圆的相关性质
16. 如图，在 中，半径 垂直于弦 ，点 为垂足.
（1） 若 ，求 的度数；
（2） 若 ， ，求 的半径.
17. 如图， 是 的直径，弦 ， ， 的平分线交 于点 ，连接 .
（1） 求直径 的长；
（2） 求阴影部分的面积（结果保留 ）.
18. 如图，在 中，点 是内心，延长 交三角形的外接圆于点 ，连接 ， .求证: .
重点二 切线的性质和判定
19. 如图， 为 的切线， 为切点，过 上一点 作 于点 ， 交 于点 ， 平分 .
（1） 求 的度数；
（2） 若 的半径为 ，求 的长.
20. 如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ，点 在 上，以 为直径的 经过点 .
（1） 求证: 是 的切线；
（2） 若 是劣弧 的中点，且 ，试求阴影部分的面积.
21. 如图， 是 的直径， 是 延长线上一点，点 在 上，且 ， .
（1） 求证: 是 的切线；
（2） 过点 作 ，分别交 ， 于点 ， ，若 ，求 和 的长.
重点三 切线长定理的应用
22. 如图， 为 的直径， 与 相切于点 ， 与 相切于点 ，点 为 延长线上一点，且 .
（1） 求证: 为 的切线；
（2） 若 ， ，求线段 的长.
23. 如图，在平行四边形 中， 是对角线 上一点，以点 为圆心， 长为半径的 与边 相切于点 ，且 .
（1） 求证: 是 的切线；
（2） 若 ， ，求 的半径.
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