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人教版数学九年级综合复习学案
——第二十五章 概率
一、知识点练
知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件
1. 下列事件中，是随机事件的是( B )
A. 通常加热到 时，水沸腾
B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
C. 任意画一个三角形，其内角和是
D. 明天太阳从东方升起
2. 下列事件是必然事件的是( B )
A. 刻舟求剑
B. 两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递
C. 水溶解金属
D. 受精卵发生了基因突变
知识点2 简单事件的概率
3. 掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则第7次时正面朝上的概率是( C )
A. 1 B. C. D. 0
4. 在一个不透明的箱子里放有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外其余都相同.从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是( C )
A. B. C. D.
5. 盒中有6枚黑棋和 枚白棋，从中随机取1枚棋子，恰好是白棋的概率为 ，则 的值为2.
6. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是 .
第6题图
7. 如图，转盘中的扇形 、扇形 和扇形 的圆心角分别为 ， ， ，让转盘自由转动1次，指针落在 区域的概率是( B )
第7题图
A. B. C. D.
知识点3 用列举法求概率
8. 小明有红、黑、白3件运动上衣和白、黑2条运动短裤，则穿着“衣裤同色”的概率是 .
9. 一只不透明的布袋中装有2个红球、1个黄球、1个蓝球，这些球除了颜色外都相同.搅匀后从中任意摸出2个球（先摸出1个球，不放回，再摸出1个球），求至少有1个红球的概率.
解：列表如下：
红1 红2 蓝 黄
红1 红1红2 红1蓝 红1黄
红2 红2红1 红2蓝 红2黄
蓝 蓝红1 蓝红2 蓝黄
黄 黄红1 黄红2 黄蓝
共有12种等可能的结果，其中摸出2个球中至少有1个红球的占10种，故摸出的2个球至少有1个红球的概率为 .
10. 有4张卡片，正面分别写上1，2，3，4，它们的背面都相同.现将它们背面朝上，先从中任意摸出1张，卡片不放回，再任意摸出1张.
（1） 请用画树状图或列表法表示出所有可能的结果；
解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况.
（2） 求摸出的2张卡片上的数之和大于5的概率.
[答案]根据（1）可得：共有12种等可能的情况，摸出的2张卡片上的数之和大于5的有4种，则摸出的2张卡片上的数之和大于5的概率是 .
知识点4 用频率估计概率
11. 某公司对一批某一品牌的衬衣的质量抽检结果如下表：
抽查件数 50 100 200 300 400 500
次品件数 0 4 16 19 24 30
则从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为0.06.
二、重点练习
重点一 求简单事件的概率
12. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：
（1） 点数为2；
解： （点数为2） .
（2） 点数为奇数；
[答案]点数为奇数的有3种情况，即点数为1，3，5，则 （点数为奇数） .
（3） 点数大于2且小于5.
[答案]点数大于2且小于5的有2种情况，即点数为3，4，则 （点数大于2且小于5） .
13. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和 个黄球，从中随机摸出1个，摸到红球的概率是 ，求 的值.
解：由题意得 ，解得 .经检验， 是原分式方程的解，即 的值为3.
重点二 用列举法求概率
14. 某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型、泡沫型三种型号（分别用 ， ， 依次表示这三种型号）.小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.
（1） 小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 ；
（2） 请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率.
[答案]列表如下：
A B C
A
B
C
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的结果有3种， 小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为 .
15. （人教P138例3）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C，D和 ；丙口袋中有2个相同的小球，它们分别写有字母 和 （A， ， 是元音字母；B，C，D， 是辅音字母）.从三个口袋中各随机取出1个小球.
（1） 取出的3个小球上恰好有2个元音字母的概率是多少
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，取出的3个小球上恰好有2个元音字母的情况有4种. （恰好有2个元音字母） .
（2） 取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少
[答案] 取出的3个小球上全是辅音字母的情况有2种， 取出的3个小球上全是辅音字母的概率是 .
重点三 游戏公平问题
16. 如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘 ， 分成3等份和4等份，并在每一份内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜.如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘.
（1） 利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
解：列表如下：
2 3
1 2 3
2 4 6
3 6 9
由表可知，共有12种等可能的结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的结果有4种，故甲获胜的概率为 .
（2） 这个游戏规则对甲、乙双方公平吗 如果不公平，请修改规则使游戏公平.
[答案] 指针所在区域的数字之积为偶数的概率为 ， 这个游戏规则对甲、乙双方不公平，将转盘 上的数字2改为1，则游戏公平.
重点四 用频率估计概率
17. 在一个不透明的盒子中装有2个白色小球和若干个黄色小球，所有小球除颜色外均相同，摇匀后从盒子中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回，重复大量试验后，发现摸到黄色小球的频率稳定在0.6左右.
（1） 估计盒子中黄色小球的个数；
解：设盒子中黄色小球的个数为 个.
根据题意，得 ，解得 .经检验， 是分式方程的解.
答：估计盒子中黄色小球的个数为3个.
（2） 若从盒子中随机摸出1个小球不放回，摇匀后再摸出1个小球，用列表法或画树状图的方法，求两次摸到小球颜色相同的概率.
[答案]列表如下：
白 白 黄 黄 黄
白 （白，白） （黄，白） （黄，白） （黄，白）
白 （白，白） （黄，白） （黄，白） （黄，白）
黄 （白，黄） （白，黄） （黄，黄） （黄，黄）
黄 （白，黄） （白，黄） （黄，黄） （黄，黄）
黄 （白，黄） （白，黄） （黄，黄） （黄，黄）
由表知，共有20种等可能的结果，其中两次摸到小球颜色相同的结果有8种，故两次摸到小球颜色相同的概率为 .
重点五 统计与概率结合
18. 为弦扬中华传统文化，增加学生诗词底蕴，某校组织学生参加“诗词朗诵，传承经典”活动，活动结束后对此次活动中的读书情况随机抽取部分学生进行问卷调查，并将统计结果绘制成如下所示的统计图（不完整）
（1） 补全条形统计图，本次调查的学生有50; 补全条形统计图如下：名；
（2） 若该校八年级共有400名学生，则读书数量为4本的学生大约有多少名
解： （名）.
答：若该校八年级共有400名学生，则读书数量为4本的学生大约有32名.
（3） 已知读书数量为4本的学生中有3名女生，现在准备从读书数量为4本的学生中随机选2名学生进行经验分享，请用列表法或画树状图的方法，求选中的2名学生恰好是2名女生的概率.
[答案]读书数量为4本的学生中有3名女生，则读书数量为4本的学生中有1名男生，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中的2名学生恰好是2名女生的结果有6种， 选中的2名学生恰好是2名女生的概率为 .
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——第二十五章 概率
一、知识点练
知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件
1. 下列事件中，是随机事件的是( )
A. 通常加热到 时，水沸腾
B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
C. 任意画一个三角形，其内角和是
D. 明天太阳从东方升起
2. 下列事件是必然事件的是( )
A. 刻舟求剑
B. 两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递
C. 水溶解金属
D. 受精卵发生了基因突变
知识点2 简单事件的概率
3. 掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则第7次时正面朝上的概率是( )
A. 1 B. C. D. 0
4. 在一个不透明的箱子里放有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外其余都相同.从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是( )
A. B. C. D.
5. 盒中有6枚黑棋和 枚白棋，从中随机取1枚棋子，恰好是白棋的概率为 ，则 的值为 .
6. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是 .
第6题图
7. 如图，转盘中的扇形 、扇形 和扇形 的圆心角分别为 ， ， ，让转盘自由转动1次，指针落在 区域的概率是( )
第7题图
A. B. C. D.
知识点3 用列举法求概率
8. 小明有红、黑、白3件运动上衣和白、黑2条运动短裤，则穿着“衣裤同色”的概率是 .
9. 一只不透明的布袋中装有2个红球、1个黄球、1个蓝球，这些球除了颜色外都相同.搅匀后从中任意摸出2个球（先摸出1个球，不放回，再摸出1个球），求至少有1个红球的概率.
10. 有4张卡片，正面分别写上1，2，3，4，它们的背面都相同.现将它们背面朝上，先从中任意摸出1张，卡片不放回，再任意摸出1张.
（1） 请用画树状图或列表法表示出所有可能的结果；
（2） 求摸出的2张卡片上的数之和大于5的概率.
知识点4 用频率估计概率
11. 某公司对一批某一品牌的衬衣的质量抽检结果如下表：
抽查件数 50 100 200 300 400 500
次品件数 0 4 16 19 24 30
则从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为 .
二、重点练习
重点一 求简单事件的概率
12. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：
（1） 点数为2；
（2） 点数为奇数；
（3） 点数大于2且小于5.
13. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和 个黄球，从中随机摸出1个，摸到红球的概率是 ，求 的值.
重点二 用列举法求概率
14. 某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型、泡沫型三种型号（分别用 ， ， 依次表示这三种型号）.小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.
（1） 小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 ；
（2） 请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率.
15. （人教P138例3）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C，D和 ；丙口袋中有2个相同的小球，它们分别写有字母 和 （A， ， 是元音字母；B，C，D， 是辅音字母）.从三个口袋中各随机取出1个小球.
（1） 取出的3个小球上恰好有2个元音字母的概率是多少
（2） 取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少
重点三 游戏公平问题
16. 如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘 ， 分成3等份和4等份，并在每一份内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜.如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘.
（1） 利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
（2） 这个游戏规则对甲、乙双方公平吗 如果不公平，请修改规则使游戏公平.
重点四 用频率估计概率
17. 在一个不透明的盒子中装有2个白色小球和若干个黄色小球，所有小球除颜色外均相同，摇匀后从盒子中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回，重复大量试验后，发现摸到黄色小球的频率稳定在0.6左右.
（1） 估计盒子中黄色小球的个数；
（2） 若从盒子中随机摸出1个小球不放回，摇匀后再摸出1个小球，用列表法或画树状图的方法，求两次摸到小球颜色相同的概率.
重点五 统计与概率结合
18. 为弦扬中华传统文化，增加学生诗词底蕴，某校组织学生参加“诗词朗诵，传承经典”活动，活动结束后对此次活动中的读书情况随机抽取部分学生进行问卷调查，并将统计结果绘制成如下所示的统计图（不完整）
（1） 补全条形统计图，本次调查的学生有
（2） 若该校八年级共有400名学生，则读书数量为4本的学生大约有多少名
（3） 已知读书数量为4本的学生中有3名女生，现在准备从读书数量为4本的学生中随机选2名学生进行经验分享，请用列表法或画树状图的方法，求选中的2名学生恰好是2名女生的概率.
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