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人教版数学九年级综合复习学案
——第二十一章 一元二次方程
一、知识点练
知识点1 一元二次方程的有关概念
1. 下列方程是一元二次方程的是( C )
A. B. C. D.
知识点2 一元二次方程的一般形式
2. 将一元二次方程 化为一般形式，正确的是( D )
A. B. C. D.
知识点3 一元二次方程的根（解）
3. 关于 的一元二次方程 的一个根是0，则 的值为( A )
A. B. 1 C. 1或 D. 0
4. 是关于 的一元二次方程 的解，则 ( A )
A. B. C. D.
知识点4 一元二次方程根的判别式：
5. 方程 的根的情况是( A )
A. 有两个不相等的实数根 B. 无实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有一个实数根
6. 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值是 .
知识点5 一元二次方程的解法
7. 方程 的根是( C )
A. B. C. ， D.
知识点6 一元二次方程根与系数的关系
8. 如果 ， 是一元二次方程 的两个实根，那么 ， .
9. 已知 是方程 的一个根，则方程的另一个根是8， 的值为 .
知识点7 一元二次方程的应用
类型一 增长率、病毒传染问题
10. 某电动自行车厂三月份的产量为1 000辆.由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1 210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为( D )
A. B. C. D.
11. 有一人患了新冠流感，经过两轮传染后共有400人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( B )
A. 18人 B. 19人 C. 20人 D. 21人
类型二 互赠、握手问题
12. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手.这次会议到会的人数是12人.
类型三 面积问题
13. 如图，某校劳动实践课程试验园地是长为 ，宽为 的矩形，为方便活动，需要在园地中间开辟一横两纵共三条等宽的小道．如果园地余下的面积为 ，则小道的宽为多少？设小道的宽为 ，根据题意，可列方程为( A )
A. B.
C. D.
类型四 销售问题
14. 某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个.商店要想平均每天销售这种玩具盈利2 400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价 元，可列方程为 .
类型五 数字问题
15. 连续两个相邻的奇数的乘积为35，则这两个奇数为7,5或 ， .
二、重点练习
重点一 解一元二次方程
16. 解一元二次方程：
（1） ；
解： , , .
（2） ；
解： , ， 或 ， , .
（3） ；
解： , , 或 , , .
（4） .
解： , , , 或 , , .
重点二 根的判别式、根与系数的关系
17. 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
（1） 求 的取值范围；
解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ，解得 .
（2） 若方程的一个根为2，求另一个根.
[答案]若方程的一个根为2，设方程的另一个根为 ，则 ，解得 .故方程的另一个根为 .
18. 已知关于 的一元二次方程 .
（1） 求证：对于任意实数 ，方程都有实数根；
解：证明：在方程 中， ， 对于任意实数 ，方程都有实数根.
（2） 当 为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.
[答案]设方程的两个根分别为 , 方程的两个根互为相反数， ，解得 当 时，方程的两个根互为相反数.
重点三 一元二次方程的应用
19. 如图，在宽为 、长为 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要 ，则修建的路宽应为多少米？
解：设修建的路宽应为 .可列出方程 ，整理得 ，解得 ， （不符合题意，舍去）.答：修建的路宽为 .
20. 如图是一张长 、宽 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成底面积是 的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长.
解：设剪去的正方形的边长为 .依题意得 ，解得 或 （舍去）.
答：剪去的正方形的边长为 .
21. 如图，利用一面墙（墙长 ），用总长度为 的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍 ，且中间共留两个 宽的小门，设篱笆 长为 .
（1） ；（用含 的代数式表示）
（2） 若矩形鸡舍 的面积为 ，求篱笆 的长；
[答案]依题意，得 ，整理得 ，解得 ， .当 时， ，不符合题意，舍去；当 时， ，符合题意.
答：篱笆 的长为 .
（3） 矩形鸡舍 的面积是否有可能达到 ？若有可能，求出相应 的值；若不可能，则说明理由.
[答案]不可能.理由如下：依题意，得 ，整理得 .
，
方程没有实数根， 矩形鸡舍 的面积不可能达到 .
22. 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售.已知这种干果的售量 （单位： ）与每千克降价 （单位：元） 之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1） 求 与 之间的函数关系式；
解：设一次函数关系式为 .当 时， ；当 时， ,则 解得 故 与 之间的函数关系式为 .
（2） 若商贸公司要想获利2 090元，则这种干果每千克的售价应定为多少元？
[答案]由题意得 ，整理得 ，解得 , 让顾客得到更大的实惠， ，则 .答：商贸公司要想获利2 090元，则这种干果每千克的售价应定为51元.
23. 如图，在 中， ， ， .若点 从点 出发沿边 向点 以 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，两点同时出发.
（1） 问几秒后， 的面积为
解：设经过 ， 的面积为 ，则 ， .由题意，得 ，整理得 ，解得 ， .答：经过 或 时， 的面积为 .
（2） 的面积能否为 若能，求出点移动的时间；若不能，请说明理由.
[答案]不能.理由如下：设经过 ， 的面积为 ，则 ， .由题意得 ，整理得 ，
的面积不能为 .
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——第二十一章 一元二次方程
一、知识点练
知识点1 一元二次方程的有关概念
1. 下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
知识点2 一元二次方程的一般形式
2. 将一元二次方程 化为一般形式，正确的是( )
A. B. C. D.
知识点3 一元二次方程的根（解）
3. 关于 的一元二次方程 的一个根是0，则 的值为( )
A. B. 1 C. 1或 D. 0
4. 是关于 的一元二次方程 的解，则 ( )
A. B. C. D.
知识点4 一元二次方程根的判别式：
5. 方程 的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 无实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有一个实数根
6. 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值是 .
知识点5 一元二次方程的解法
7. 方程 的根是( )
A. B. C. ， D.
知识点6 一元二次方程根与系数的关系
8. 如果 ， 是一元二次方程 的两个实根，那么 ， .
9. 已知 是方程 的一个根，则方程的另一个根是 ， 的值为 .
知识点7 一元二次方程的应用
类型一 增长率、病毒传染问题
10. 某电动自行车厂三月份的产量为1 000辆.由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1 210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为( )
A. B. C. D.
11. 有一人患了新冠流感，经过两轮传染后共有400人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )
A. 18人 B. 19人 C. 20人 D. 21人
类型二 互赠、握手问题
12. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手.这次会议到会的人数是 人.
类型三 面积问题
13. 如图，某校劳动实践课程试验园地是长为 ，宽为 的矩形，为方便活动，需要在园地中间开辟一横两纵共三条等宽的小道．如果园地余下的面积为 ，则小道的宽为多少？设小道的宽为 ，根据题意，可列方程为( )
A. B.
C. D.
类型四 销售问题
14. 某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个.商店要想平均每天销售这种玩具盈利2 400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价 元，可列方程为 .
类型五 数字问题
15. 连续两个相邻的奇数的乘积为35，则这两个奇数为 .
二、重点练习
重点一 解一元二次方程
16. 解一元二次方程：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
重点二 根的判别式、根与系数的关系
17. 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
（1） 求 的取值范围；
（2） 若方程的一个根为2，求另一个根.
18. 已知关于 的一元二次方程 .
（1） 求证：对于任意实数 ，方程都有实数根；
（2） 当 为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.
重点三 一元二次方程的应用
19. 如图，在宽为 、长为 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要 ，则修建的路宽应为多少米？
20. 如图是一张长 、宽 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成底面积是 的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长.
21. 如图，利用一面墙（墙长 ），用总长度为 的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍 ，且中间共留两个 宽的小门，设篱笆 长为 .
（1） ；（用含 的代数式表示）
（2） 若矩形鸡舍 的面积为 ，求篱笆 的长；
（3） 矩形鸡舍 的面积是否有可能达到 ？若有可能，求出相应 的值；若不可能，则说明理由.
22. 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售.已知这种干果的售量 （单位： ）与每千克降价 （单位：元） 之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1） 求 与 之间的函数关系式；
（2） 若商贸公司要想获利2 090元，则这种干果每千克的售价应定为多少元？
23. 如图，在 中， ， ， .若点 从点 出发沿边 向点 以 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，两点同时出发.
（1） 问几秒后， 的面积为
（2） 的面积能否为 若能，求出点移动的时间；若不能，请说明理由.
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