资源简介

3.1 椭圆 学案
知识点一　椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝ (常数)且2a F1F2|.
知识点二　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
a，b，c的关系
设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4 B．5 C．8 D．10
椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　)
＋＝1 B.＋＝1
＋＝1 D.＋＝1
已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值为________．
若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．
已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（多选题）对于曲线，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线不可能是椭圆
B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件
D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件
题型一　求椭圆的标准方程
【例1】求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，且椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
两焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，且椭圆经过点
(－，).
经过P1(，1)，P2(－，－)两点；
(4)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)．
(5)过点(－3,2)且与椭圆 ＋＝1有相同的焦点．
题型二　与椭圆有关的轨迹问题
【方法点拨】
解椭圆有关的动点轨迹问题主要有以下两种思路：
(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.
(2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量.
【例2】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．
【变式训练】
已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．
如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.
若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（ ）
B．
D．
如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是 ．
知识点三　椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝ ，长轴长＝
焦点 (±c，0) (0，±c)
焦距 |F1F2|＝2c
对称性 对称轴： 　对称中心：
离心率 e＝∈
离心率常见形式，e＝＝.
你能运用三角函数的知识解释，为什么e＝越大，椭圆越扁平？e＝越小，椭圆越接近于圆吗？
椭圆的几何性质的挖掘
(1)椭圆的通径：
过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为=.
说明：无论焦点在x轴上还是在y轴上，椭圆的通径长均为.
(2)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆的焦半径
a.焦半径定义：椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径.
b.焦半径公式：
已知点P在椭圆上，且，分别是左(下)、右(上)焦点，
当焦点在x轴上时，=a+，=a-；当焦点在y轴上时，=a+，=a-.
题型一　根据椭圆方程研究其几何性质
已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　)
A．8 B．7 C．5 D．4
椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)
A．5、3、0.8 B．10、6、0.8
C．5、3、0.6 D．10、6、0.6
设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．
题型二　根据椭圆几何性质求其标准方程
【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是10，离心率是.
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
(3)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
【变式训练】
1.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．
3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
题型三　椭圆的离心率问题
探究1 定义法求椭圆的离心率
【例2】椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是________．
探究2 构造齐次方程
【例3】设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
B. C. D.
探究3 求椭圆离心率的取值范围
【例4】若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，求椭圆的离心率e的取值范围．
【变式训练】
1.焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
2.设F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．（0， ] B．(0，] C.[，1) D.[，1)
3. 已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4. （多选题）设椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的动点，则（ ）
A．
B．C的离心率为
C．面积的最大值为
D．C上有且只有4个点P，使得是直角三角形
5. 设，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，，，则椭圆的离心率_________.
6. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且若以点为圆心，为半径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为________.
知识点四　直线与椭圆的位置关系
1．点与椭圆的位置关系
(1)点与椭圆的位置关系：
(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：
点在椭圆外+>1;
点在椭圆内+<1;
点在椭圆上+=1.
2．直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆的三种位置关系
类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.
(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：
>0直线与椭圆相交有两个公共点;
=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;
<0直线与椭圆相离无公共点.
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ>0
相切 一解 Δ=0
相离 无解 Δ<0
【方法技巧】
设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则线段AB叫做直线l被椭圆截得的弦，线段AB的长度叫做弦长，此时有以下弦长公式成立：
|AB|＝·，
或|AB|＝·.
推导如下：
由两点间的距离公式，得|AB|＝，
将y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b代入上式，
得|AB| ＝
＝
＝|x1－x2|，
而|x1－x2|＝，
所以|AB|＝·，
同理可得
|AB|＝|y1－y2|＝·
直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2. 直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　)
A．2 B．± C．±2 D．±2
3.若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．
4. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A． B． C． D．
5. 已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
题型一　直线与椭圆的位置关系
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
2．直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________.
题型二　直线与椭圆的相交弦问题
探究1 求弦长
【例1】过椭圆＋＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为(　　)
A．5 B．6 C. D．7
【变式训练】
1. (多选)已知直线y＝3x＋2被椭圆＋＝1(a>b>0)截得的弦长为8，下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是(　　)
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－2 D．y＝－3x
2. 椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆方程．
题型三　中点弦问题
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.
设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)，
得，
①-②可得+=0，
设线段AB的中点为，当时，有+=0.
因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦
中点轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标
为，则弦AB所在直线的斜率为，即.
【例3】过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程．
【变式训练】
已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，若P为线段中点，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，则下列不正确的是（ ）.
A．椭圆的焦点坐标为，
B．椭圆C的长轴长为4
C．直线的方程为
D．
3. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为（1，-1），则弦长|AB|=（　　）
A． B． C． D．
设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直；
B．若直线方程为，则.
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若点M坐标为，则直线方程为；
题型四　椭圆中的面积问题
已知直线与椭圆相交于，两点，椭圆的两个焦点分别是，，线段的中点为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
已知椭圆的左 右焦点分别是，，过的直线与椭圆C交于A，B两点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
3. 过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知A，F分别是椭圆C：的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为，若的周长为6，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【练习】
1.已知椭圆＋＝1的弦AB的中点为(－1，－1)，则弦AB的长为(　　)
A. B. C. D.
2. 已知椭圆＋＝1，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.
3.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，k为何值时⊥？此时|AB|的值是多少．
知识点五　椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形，如图所示.
焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得
.
③设，，
则
探究1 求椭圆焦点三角形的内角或边长
【例3】
(1)椭圆＋＝1的两焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，求△ABF2的周长；
(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，求∠F1PF2的大小．
【方法技巧】
关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．
探究2 求焦点三角形的面积
【例4】已知点P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
【方法技巧】
若本题以小题形式出现，则也可用焦点三角形的面积公式速解；记∠F1PF2＝θ，则S△F1P F2＝b2tan.
已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
设为椭圆上一点，，为左、右焦点，且，则（ ）
为锐角三角形
B．为钝角三角形
C．为直角三角形
D．，，三点构不成三角形
探究3 几何最值问题
【例5】已知椭圆C：＋＝1内有一点M(2,3)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，求：
(1)|PM|－|PF1|的最大值与最小值；
(2)|PM|＋|PF1|的最大值与最小值．
解决椭圆最值问题的常见思路
1．与焦半径(椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径)乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义(两个焦半径的和为定值2a)，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件．
2．与|PF1|，|PF2|(P为椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦点)的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解．
【变式训练】
设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上任一点，∠PF2F1为直角，则＝________.
已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
3.已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|·|PF2|的最大值是________．
4.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．13
，分别为椭圆的左 右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（ ）
A．； B．；
C．； D．；
（多选题）已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（ ）
的最大值为5
B．
C．存在点，使
D．的最大值为
9. （多选题）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得
B．的最小值为
C．，则的面积为9
D．直线与直线斜率乘积为定值
【大题专练】
已知椭圆的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点，点B在椭圆C上，求线段长度的最大值.
已知两点、，曲线C上的动点P满足．
(1)求曲线C的方程；
(2)曲线C上是否存在点M使 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
已知椭圆 ，直线l：与椭圆交于两点，且点位于第一象限.
(1)若点是椭圆的右顶点，当时，证明：直线和的斜率之积为定值；
(2)当直线过椭圆的右焦点时，轴上是否存在定点，使点到直线 的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
已知椭圆C：，长轴是短轴的3倍，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.
(1)设的斜率分别为，求的值;
(2)求证：点在定直线上.
已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值
已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值．
已知椭圆C：的离心率为，左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且PM⊥PN，求的最大值．
已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为．
(1)求椭圆C的焦距；
(2)若，求椭圆C的方程．
已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程：
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点），证明直线过定点.
已知椭圆C：的离心率为，左顶点坐标为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点，问：直线BM，BN的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由．

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