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浙教版九年级上册
第三章
第三章 圆的基本性质章末复习
-----------直角对直径
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知:CO是Rt △ ABC斜边AB上的中线，求证:CO= AB.
证明:延长CO至E，使OE=CO，连结BE，AE.
∵CO是Rt △ ABC斜边AB上的中线
∴AO=OB
∴四边形ACBE是平行四边形
∵∠ACB=900
∴四边形ACBE是矩形
∴AB=CE=2CO
A
B
C
O
∟
E
=
=
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
（矩形对角线相等且平分）
∴CO=
.
900的圆周角所对的弦是直径
法1：
法2：
构造矩形
构造圆
不在同一条直线上的三个点确定一个圆
温故知新
已知点C为 一动点，且∠ACB=90o，AB=2，动
点C在运动过程中所经过的路径是什么？
线段AB上方
线段AB外
线段AB上方
C
A
B
C
A
B
O
O
模型二：直角对直径
已知AB为定线段，（长度和位置不变），
C为动点，且∠ACB=90°，
由直径所对的角是直角，
可以推出动点C的轨迹为：
以AB为直径的圆上的任意一点（除去A、B两点）。
O
1．如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若∠ADB＝∠ACB＝90°，则下面结论不一定正确的是（　　）
A．DC＝CB
B．∠DAC＝∠DBC
C．∠BCD+∠BAD＝180°
D．点A、C、D到点O的距相等
解：∵点O为AB的中点，∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴D，C在以O为圆心，AB为直径的圆上，如图，
∵ A、B、C、D四点共圆
∴∠DAC＝∠DBC，∠BCD+∠BAD＝180°，
点A、C、D到点O的距离相等，
当∠DAC＝∠BAC时，DC＝CB，而题目中未给出．
故选：A．
夯实基础，稳扎稳打
2．如右图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，
P为矩形内一点，∠APB＝90°，连接PD，
求PD的最小值
解：如图，以AB为直径作⊙O，连接OD在矩形ABCD内部交⊙O于点P，则此时PD有最小值．
∴PD＝OD﹣OP＝13﹣5＝8，
即PD的最小值为8．
矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，
∴OP＝AO＝5，∠BAD＝90°，
∴OD= =13
.
O
谁是定线段，谁是定角，谁是动点
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝4，CB＝6，
点D是AC边上的动点，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，
求AE的最小值
解：如图，取BC中点F，连接AE、EF．
∵CE⊥BD，∠BEC＝90°，
∴点E在以BC长为直径的圆周上上运动，
当点A、E、F在同一直线上时，AE最短．
∵CA＝4，CB＝6，∴BF＝3，
∴AF=5，∴AE＝AF﹣BF＝5﹣3＝2，
即AE的最小值为2．
P
E
谁是定线段，谁是定角，谁是动点
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，
求线段PB的最小值
解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠PCB＝90°，
∵∠PAC＝∠PCB，∴∠CAP+∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，
在Rt△CBO中，∠OCB＝90°，BC＝3，OC＝2，
∴OB= =
.
∴PB＝OB﹣OP=
.
∴PB最小值为
.
O
谁是定线段，谁是定角，谁是动点
连续递推，豁然开朗
5．如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，求线段DP的最小值
O
P
OP=1
OD=
.
PD
.
点P的路径是一段以AB为直径的弧
△ABE ≌△DAF
∠APB=900
6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，求CP的最小值
O
P
-2
7．如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB=4，当∠APB=900时，连接PD，求线段PD的最小值。
点P在以AB为直径的圆弧上
O
P
PD最小值=
OP=2
∠ACB=1200
∠DBC=300
∠ABD=900
BD=4
.
8.如图，AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CE⊥AD，垂足为E，连接BE，则BE的最小值是_______________.
P
E
9．如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P,M是线段BC上任意一点，求MD+MP的最小值　
如图，作点D关于BC的对称点D'，连接PD'
D'
O
P的轨迹为以AB为直径的四分之一圆弧上
MD+MP的最小值:
P
G
思维拓展，更上一层
10．如图，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点P是BC上的一个动点，连接AP，
把△PAB沿着AP翻折到△PB'C（点B'在矩形的内部），连接B'C，B'D．点P在整个运动过程中，若存在唯一的位置使得△B'CD为直角三角形，求a,b之间的数量关系
　
O
a>0,b>0
B'
如图，以CD为直径作 ，当点A到 的最小距离等于AB时，
使得△为直角三角形且唯一，
谢谢
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