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（总课时01）§1.1探索勾股定理 （1）
一.选择题：
1．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800，则斜边长为 （ ）
A．80 B．30 C．90 D．120
2．一个长方形抽屉长12厘米，宽9厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（　　）
A．15厘米 B．13厘米 C．9厘米 D．8厘米
3．在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　）
A．84 B．24 C．24或84 D．42或84
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝10cm，a：b＝3：4，则△ABC的周长（　　）
A．12cm B．20cm C．24cm D．48cm
5．如图1的阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个大正方形，则阴影部分的面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
二.填空题：
6．如图2，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EF=_______
．
7．如图3，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=_____.
8．在直线上依次摆着七个正方形(如图4)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2-S3-S4＝___．
9．如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___cm2．
10．如图6，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等_____．
三.解答题:
11．如图7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，沿AF折叠三角形使得点C落在AB边上的点D处，求CF的长．
12．已知，如图8，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点.
（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）求证：2CD2=AD2+DB2.
13．如图9，长方形ABCD中，AB＝5，AD＝12，E为AD边上一点，DE＝4，动点P从点B出发，沿B→C→D以2个单位/s作匀速运动，设运动时间为t．⑴ 当t为 s时，△ABP与△CDE全等；⑵如图10，EF为△AEP的高，当点P在BC边上运动时，EF的最小值是 ；
⑶ 当点P在EC的垂直平分线上时，求出t的值．
图3
图1
图2
图5
图6
图4
图7
图8
图9
图10
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（总课时01）§1.1探索勾股定理 （1）
一.选择题：
1．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800，则斜边长为 （ B ）
A．80 B．30 C．90 D．120
2．一个长方形抽屉长12厘米，宽9厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（　A　）
A．15厘米 B．13厘米 C．9厘米 D．8厘米
3．在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　C　）
A．84 B．24 C．24或84 D．42或84
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝10cm，a：b＝3：4，则△ABC的周长（　C　）
A．12cm B．20cm C．24cm D．48cm
5．如图1的阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个大正方形，则阴影部分的面积是（　B　）
A．16 B．25 C．144 D．169
二.填空题：
6．如图2，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EF=__5cm_．
7．如图3，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=3
解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：AB=10，由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C．
∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°．设DC=x，则BD=8-x．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2=BD2，即42+x2=（8-x）2．解得：x=3．∴CD=3．
8．在直线上依次摆着七个正方形(如图4)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2-S3-S4＝__-2___．
9．如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___49__cm2．
10．如图6，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等_____．
三.解答题:
11．如图7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，沿AF折叠三角形使得点C落在AB边上的点D处，求CF的长．
解：由折叠的性质可知：CF＝DF，AD=AC=3设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，
∴＝5，在Rt△BDF中，DF2+BD2＝BF2，即x2+（5－3）2＝（4﹣x）2
解得x＝1.5．∴CF＝1.5．
12．已知，如图8，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点.
（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）求证：2CD2=AD2+DB2.
证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，
易证：△AEC≌△BDC（SAS）；
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45度.∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴AD2+AE2=DE2.由（1）知AE=DB，∴AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2.
13．如图9，长方形ABCD中，AB＝5，AD＝12，E为AD边上一点，DE＝4，动点P从点B出发，沿B→C→D以2个单位/s作匀速运动，设运动时间为t．
⑴ 当t为 s时，△ABP与△CDE全等；
⑵如图10，EF为△AEP的高，当点P在BC边上运动时，EF的最小值是 ；
⑶当点P在EC的垂直平分线上时，求出t的值．
解：⑴当△ABP与△CDE全等时，BP=DE=4∴，
⑵如图示，依题意得：当P点运动到C点时，EF最小，∵AB＝5，AD＝12，
∴由勾股定理可得：
根据 ，可得
即：∴
⑶∵点P在EC的垂直平分线上∴ PC＝PE
A．如图，当点P在BC上时，过点P作PF⊥AD于点F
则PF＝5，AF＝BP＝2t，PC＝12－2t，EF＝8－2t
Rt△PFE中，
∴ 解得：.
B．当点P在CD上时，PE＝PC＝2t-12，PD＝17－2t
∵∠D＝90°
∴ 解得：
综上所述：当点P在EC的垂直平分线上时，t的值为或
图3
图2
图1
图4
图6
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（总课时01）§1.1探索勾股定理 （1）
【学习目标】掌握勾股定理的内容；【学习重难点】能用勾股定理解决简单的问题.
【导学过程】
一.知识回顾：
1.已知Rt△ABC，∠C=90°，∠B=32°，则∠A=58°.
2.如图1小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是（用割补法）( B )
A. 25 B. 13 C. 9 D. 8.5
二.探究新知：
做一做：1.（1）画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.
（2）再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长.
（3）上面两个三角形的三边长的平方之间有怎样的关系？再画几个直角三角形验证下是否仍然有这种关系？答：两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.观察：图2,SA=_4_，SB=_9_，SC=13；猜想：SA+SB=SC.
图3,SA=_16_，SB=_9_，SC=25；猜想：SA+SB=SC
4.归纳：通过上面的活动，发现：A正方形边长的平方+B正方形边长的平方=C正方形边长的平方.
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果用分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
三.典例与练习：
例1.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
例2.如图7，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，CD⊥AB于点D，
求：（1）AC的长；（2）CD的长．
解：（1）∵∠ACB=90°AB=10cm，BC=6cm∴由勾股定理得：
AC2=AB2-BC2=100-36=64∴AC=8，(2）∵CD⊥AB于点D，∴CD=AC×BC÷AB=4.8.
练习2.如图8，求等腰三角形ABC的面积.
解：如图作CD⊥AB于点D，
则AD=BD=3，由勾股定理得：CD=4∴三角形ABC的面积=12.
例3.如图9,在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x，利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
解：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则有CD＝14﹣x，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解之得：x＝9，∴AD＝12，∴S△ABC＝BC AD＝×14×12＝84．
练习3.如图10,计算四边形ABCD的面积．
解：在Rt△ABD中，BD为斜边，AD＝12，AB＝16，则BD2＝AD2+AB2＝400，∴BD=20，故四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD＝×12×16+×15×20＝96+150＝246．
答：四边形ABCD的面积为246．
四.课堂小结：
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
2.在直角三角形的三条边中，若已知任意两条边的长，都可以求出第三条边的长.
五.分层过关：
1．如图11，若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则下列说法正确的是（C）
A． B． C． D．
2．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（A）
A．斜边长为5 B．三角形的周长为25 C．斜边长为25 D．三角形的面积为20
3．如图12，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（C）
A． B． C． D．
4.如图13，在长方形纸片ABCD中，AB=8，AD=6,把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则AF的长为（A）A．6.25cm B．7.5cm C．7cm D．6.5cm
5.如图14,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABEF,ACPQ,BDMC,记四块阴影部分的面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4等于（C）A．14 B．16 C．18 D．20
6.老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水而刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？
解:设河水的深度为h米．由勾股定理得：h2+1.52=（h+0.5）2
h2+2.25=h2+h+0.25，h=2答：河水的深度为2米．
思考题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5，AB＝1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，当BP＝　 　时，△ADP是等腰直角三角形．（请直接写出答案）
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并加以证明．
（3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，请画出图形，并求线段B′D的长度．（参考定理：若直角△ABC中，∠C是直角，则BC2+AC2＝AB2）
解：（1）当BP＝4时，CP＝BC﹣BP＝5＝4＝1，∵AB＝1，∴AB＝PC，∵AB⊥BC，DP⊥AP，CM⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠APB+∠DPC＝90°＝∠PDC+∠DPC，∴∠APB＝∠PDC，易得：△APB≌△PDC（AAS），∴AP＝DP，又∵∠APD＝90°∴△ADP是等腰直角三角形，故答案为：4；
（2）PB和PC的数量关系：PB＝PC，
证明：如图2，延长线段AP、DC交于点E，∵DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠EDP．
∵DP⊥AP，∴∠DPA＝∠DPE＝90°．易得：△DPA≌△DPE（ASA），∴PA＝PE．∵AB⊥BP，CM⊥CP，
∴∠ABP＝∠ECP＝90°．易得：∴△APB≌△EPC（AAS），∴PB＝PC；
（3）如图，连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，则∠B'FC＝∠C＝90°，∵△PDC是等腰三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC＝45°，又∵DP⊥AP，∴∠APB＝45°，∵点B关于AP的对称点为点B′，
∴∠BPB'＝90°，∠APB＝45°，BP＝B'P，∴△ABP为等腰直角三角形，四边形B'PCF是矩形，∴BP＝AB＝1＝B'P，PC＝5＝1＝4＝B'F，CF＝B'P＝1，∴B'F＝4，DF＝4﹣1＝3，∴Rt△B'FD中，B'D＝5，故线段B′D的长度为5．
图1
A
B
C
D
E
F
G
H
3.思考：如何求SC？答：图2,∵四边形EFGH的面积=25，
∴SC=25-3-3-3-3=13.
图3，同理可得：SC=25
图3
图2
图5
图6
练习1.观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足
图3
图4
解：图5不滿足
图6不滿足
解：图3中正方形的面积=325;图4中的x=8
图7
D
图8
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图10
图11
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图14
图13
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（总课时01）§1.1探索勾股定理 （1）
【学习目标】掌握勾股定理的内容；【学习重难点】能用勾股定理解决简单的问题.
【导学过程】
一.知识回顾：
1.已知Rt△ABC，∠C=90°，∠B=32°，则∠A=_____.
2.如图1小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是（用割补法）( )
A. 25 B. 13 C. 9 D. 8.5
二.探究新知：
做一做：1.（1）画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.
（2）再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长.
（3）上面两个三角形的三边长的平方之间有怎样的关系？再画几个直角三角形验证下是否仍然有这种关系？答：______________________________.
2.观察：图2,SA=____，SB=____，SC=__；猜想：____=___.
图3,SA=____，SB=____，SC=___；猜想：_____=___
4.归纳：通过上面的活动，发现：____________________________________________________
勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的_____.
如果用分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么_________.
三.典例与练习：
例1.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
例2.如图7，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，CD⊥AB于点D，
求：（1）AC的长；（2）CD的长．
解：____________________________________________________________
________________________________________________________________.
练习2.如图8，求等腰三角形ABC的面积.
_______________________________________________________________.
例3.如图9,在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x，利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
解：_______________________________________________________________
_______________________________________________________
__________________________________________________________________
练习3.如图10,计算四边形ABCD的面积．
解：______________________________________________________________
___________________________________________________________________
____________________________________________________________________.
四.课堂小结：1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
2.在直角三角形的三条边中，若已知任意两条边的长，都可以求出第三条边的长.
五.分层过关：
1．如图11，若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为5 B．三角形的周长为25 C．斜边长为25 D．三角形的面积为20
3．如图12，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（）A． B． C． D．
4.如图13，在长方形纸片ABCD中，AB=8，AD=6,把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则AF的长为（）A．6.25cm B．7.5cm C．7cm D．6.5cm
5.如图14,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABEF,ACPQ,BDMC,记四块阴影部分的面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4等于（）
A．14 B．16 C．18 D．20
6．如图15老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水而刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？
解:
思考题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5，AB＝1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，当BP＝　 　时，△ADP是等腰直角三角形．（请直接写出答案）
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并加以证明．
（3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，请画出图形，并求线段B′D的长度．（参考定理：若直角△ABC中，∠C是直角，则BC2+AC2＝AB2）
解：
图1
A
B
C
D
E
F
G
H
3.思考：如何求SC？答：_____________________________.
图3
图2
练习1.观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足
图5
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图4
解：_________
解：_______________________________________
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