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（总课时04）§1.3勾股定理的应用
一.选择题：
1．如图1，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
2．如图2，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
3．如图3，在圆柱的截面ABCD中，AB=，BC=12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为( ）．A．10 B．12 C．20 D．14
4．如图4将根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是( )A．h≤17cm B．h≥8cm C．7cm≤h≤16cm D．15cm≤h≤16cm
5．如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=3,AC=4的垂直平分线DE交AB于点D，交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）A． B． C． D．
二.填空题:6．如图6，在一次测绘活动中，某同学站在点A处观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向160米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为________米．
7．如图7，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积．若S1＝81，S2＝225，则S3＝_____．
8．把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图8方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积为 cm2。
9．在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高__米．
10．如图，E为矩形ABCD边AB上一点，AB=14，CE=13，DE=15，CF⊥DE于点F，连结AF、BF．则△ABF的面积为_____．
三.解答题：
11．上午6：00时，甲船从M港出发，以80km/h和速度向东航行。半小时后，乙船也由M港出发，以相同的速度向南航行。上午8：00时，甲、乙两船相距多远？要求画出符合题意的图形.
12．明朝数学家程大位在《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地。送行二步与人起，五尺人高曾记。仕女佳人蹴，终朝笑语欢嬉。良工高士素好奇，算出索长有几？”翻译成现代文为：如图，秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB=10尺），踏板升高到点B位置，此踏板高地五尺（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度.
13．如图，O在等边△ABC内，∠AOB=100°，∠BOC=x，将△BOC绕点C顺时针旋转60°，得△ADC，连接OD．（1）△COD的形状是　 　；（2）当x=150°时，△AOD的形状是　 　；此时若OB=3，OC=5，求OA的长；（3）当x为多少度时，△AOD为等腰三角形．
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（总课时04）§1.3勾股定理的应用
一.选择题：
1．如图1，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（ C ）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
2．如图2，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ B ）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
3．如图3，在圆柱的截面ABCD中，AB=，BC=12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为( A ）．A．10 B．12 C．20 D．14
4．如图4，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是( C )A． B． C． D．
5．如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=3,AC=4的垂直平分线DE交AB于点D，交BC的延长线于点E，则CE的长为（B）A． B． C． D．
二.填空题:
6．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A处观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向160米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为_200_米．
7．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积．若S1＝81，S2＝225，则S3＝_144_．
8．把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图8方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积为5.1cm2。
9．如图9,在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高15米．
10．如图10，E为矩形ABCD边AB上一点，AB=14，CE=13，DE=15，CF⊥DE于点F，连结AF、BF．则△ABF的面积为36.96．
三.解答题：
11．上午6：00时，甲船从M港出发，以80km/h和速度向东航行。半小时后，乙船也由M港出发，以相同的速度向南航行。上午8：00时，甲、乙两船相距多远？要求画出符合题意的图形.
解：如图所示，∵甲船从港口出发，以80km/h的速度向东行驶，
∴MA=80×2=160（km），∵半个小时后，乙船也由同一港口出发，以相同的速度向南航行，∴MB=80×1.5=120（km），∴（km），∴上午8：00时，甲、乙两船相距200km.
12．明朝数学家程大位在《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地。送行二步与人起，五尺人高曾记。仕女佳人蹴，终朝笑语欢嬉。良工高士素好奇，算出索长有几？”翻译成现代文为：如图，秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB=10尺），踏板升高到点B位置，此踏板高地五尺（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度.
解设OB=OA=x尺，∵EC=BD=5，AC=1∴EA=EC-AC=5-1=4，OE=(x-4)尺．
在Rt△OBE中，根据勾股定理，得，解得，x=14.5．
∴OA的长度为14.5尺．
13．如图，O在等边△ABC内，∠AOB=100°，∠BOC=x，将△BOC绕点C顺时针旋转60°，得△ADC，连接OD．（1）△COD的形状是　 　；
（2）当x=150°时，△AOD的形状是　 　；此时若OB=3，OC=5，求OA的长；
（3）当x为多少度时，△AOD为等腰三角形．
解：（1）△COD是等边三角形，∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°∴CO=CD∴△COD是等边三角形．故答案为：等边三角形；
（2）当α=150°时，△AOD是直角三角形．∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC
∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC=150°由（1）△COD是等边三角形∴∠ODC=60°∴∠ADO=150°﹣60°=90°当α=150°时，△AOD是直角三角形．由旋转知，AD=OB=3，∵△COD是等边三角形，∴OD=OC=3，在Rt△AOD中，根据勾股定理得，OA2=OD2+AD2=34；故答案为：直角三角形；
（3）∵∠AOB=100°，∠BOC=x，∴∠AOC=260°﹣x．∵△OCD是等边三角形，∴∠DOC=∠ODC=60°，
∴∠ADO=x﹣60°，∠AOD=200°﹣x，①当∠DAO=∠DOA时，2（200°﹣x）+x﹣60°=180°，解得：x=160°
②当∠AOD=ADO时，200°﹣x=x﹣60°，解得：x=130°，③当∠OAD=∠ODA时，200°﹣x+2（x﹣60°）=180°，
解得：x=100°∴x=100°，x=130°，x=160°△AOD为等腰三角形．
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（总课时04）§1.3勾股定理的应用
【学习目标】能运用勾股定理解决生活中与直角三角形有关的问题；【学习重难点】勾股定理的应用.
【导学过程】
一.知识回顾:
1.简述勾股定理,勾股定理的逆定理及勾股数.
①勾股定理:______________________________________________.
②勾股定理的逆定理:________________________________________________________________________
③勾股数：___________________________________.
二.探究新知：
引例1.如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面上圆的周长等于18厘米，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3).
（1）中A→B的路线长为：．
（2）中A→B的路线长为：>AB．
（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB．
（4）中A→B的路线长为：AB．
蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论）
结论：（1）圆柱的侧面展开图是_______，点B的位置应在长方形的边A′C的____处，点A到点B的最短距离为线段____的长度.
（2）解决曲面上两点之间的距离最短问题的思路是：把立体图形展开为_______，
（3）将曲面两点间最短距离问题转化为平面内______________问题.
引例2.小亮随身只带卷尺想要检测雕塑底座正面的AD，BC是否与底边AB垂直.他量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，点B，D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？
小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
三.典例与练习：
例1.如图1所示，有一圆柱，它的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁想吃到离上底面外部1cm处的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？
练习1.如图2是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE＝3m，CD＝1m，试求滑道AC的长.
例2.如图3所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5cm，3cm，4cm．在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物．已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是0.8cm/s，问蚂蚁能否在11秒内获取到食物？
练习2.如图4，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．
四.课堂小结：
1.在寻求最短路径时，往往把空间图形展开为平面图形，再利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
2.若长方体长、宽、高分别为a，b，c，且a＞b＞c，如图5则沿正方体表面从点A到点B的最短路径是：____________.
五.分层过关：
1．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160m，再向东直走80m后，可到神仙百货，则阿虎向西直走（ ）米后，他与神仙百货的距离为340m？
A． 100 B． 180 C． 220 D． 260
2.如图6，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____．
3.如图7，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端？
4.如图8小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米,当它把绳子的下端拉开6米后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度.
5.如图9，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A-C-B-A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
d
A′
A′
A′’
A′
(1))
(2))
(3))
(4))
A’
A’
A’
C
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（总课时04）§1.3勾股定理的应用
【学习目标】能运用勾股定理解决生活中与直角三角形有关的问题；【学习重难点】勾股定理的应用.
【导学过程】
一.知识回顾:
1.简述勾股定理,勾股定理的逆定理及勾股数.
①勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
②勾股定理的逆定理:如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
③勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
二.探究新知：
引例1.如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面上圆的周长等于18厘米，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3).
（1）中A→B的路线长为：．
（2）中A→B的路线长为：>AB．
（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB．
（4）中A→B的路线长为：AB．
蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论）
结论：（1）圆柱的侧面展开图是长方形，点B的位置应在长方形的边A′C的中点处，点A到点B的最短距离为线段AB的长度.
（2）解决曲面上两点之间的距离最短问题的思路是：把立体图形展开为平面图形，
（3）将曲面两点间最短距离问题转化为平面内两点间最短距离问题.
引例2.小亮随身只带卷尺想要检测雕塑底座正面的AD，BC是否与底边AB垂直.他量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，点B，D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？
小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
解：，∴AD和AB垂直．
小明用20厘米长的刻度尺也可以检测.方法是：在AD边上度量AE=3厘米,在AB边上度量AF=4厘米，再量得EF的长，若EF=5厘，则可得AD边与AB边垂直，否则不两边不互相垂直.同理也可检测BC边与AB边是否互相垂直.
三.典例与练习：
例1.如图1所示，有一圆柱，它的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁想吃到离上底面外部1cm处的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？解：根据题意得，BE=EF-FB=13-1=12cm，因为底面周长为10cm，所以底面半周长为5cm，即AE=5cm，BE=12cm，AB2＝52+122=169cm，AB=13cm.
练习1.如图2是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE＝3m，CD＝1m，试求滑道AC的长.
解：设AC的长为x米，∵AC＝AB，∴AB＝AC＝x米，∵EB＝CD＝1米，
∴AE＝（x﹣1）米，在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，即：x2＝32+（x﹣1）2，
解得：x＝5，∴滑道AC的长为5米。
例2.如图3所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5cm，3cm，4cm．在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物．已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是0.8cm/s，问蚂蚁能否在11秒内获取到食物？
解：确定最短路径:
(1)A1B12=32+(4+5)2=90
(2)A2B22=42+(3+5)2=80
(3)A3B32=52+(3+4)2=74
因此，最短路径为A3B3,∵0.8×11=8.8,且8.82=77.44>74∴蚂蚁能在11s内获取到食物．
练习2.如图4，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．
解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，
BC＝20，AC＝5+5+5＝15，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，即AB2＝202+152，∴AB＝25，
四.课堂小结：
1.在寻求最短路径时，往往把空间图形展开为平面图形，再利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
2.若长方体长、宽、高分别为a，b，c，且a＞b＞c，如图6则沿正方体表面从点A到点B的最短路径是：d2=a2+(b+c)2
五.分层过关：
1．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160m，再向东直走80m后，可到神仙百货，则阿虎向西直走（ C ）米后，他与神仙百货的距离为340m？
A． 100 B． 180 C． 220 D． 260
2.如图7，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_13__．
3.如图8，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端？
解：设这把梯子能够到达的墙的最大
高度是h米，则：根据勾股定理h2＝152-92＝144（米） ∴h＝12（米）∵h=12＞11.7
∴一个长为15米的云梯能够到达墙的顶端。
4.如图9小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米,当它把绳子的下端拉开6米后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度.
解：根据题意画出图形如下所示：
则BC=6m，设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即x2+62=（x+2）2，解得x=8，故AB=8m，即旗杆的高8m．
5.如图10，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A-C-B-A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
解：（1）点P在AC上，∵∠ACB=90°，BC=6，AB=10，∴AC=8，AP=4t，CP=8-4t，
又∵PA=PB，∴，t=；
（2）点P在∠BAC的角平分线上，作PH⊥AB，∴PC=PH=4t-8，PB=14-4t，
可证△ACP≌△AHP， ∴AH=BC=8，∴BH=2，
在Rt△BPH中，，即，t=；
（3）①当PC=BC=6时，此时AP=AC-PC=2，∴t=；
②当PC=BC时，作CH⊥AB，则有PH=BH，由AC﹒BC=AB﹒CH，可得CH=4.8，由勾股定理则有BH=3.6，所以PB=7.2，由已知则有BP=4t-14，由点P运动的时间以及速度，可得BP=4t-14,所以4t-14=7.2，解得；
③当PC=BP时，作CH⊥AB，由AC﹒BC=AB﹒CH，可得CH=4.8，由勾股定理则有BH=3.6，
由点P运动的时间以及速度，可得BP=4t-14, 所以PH=4t-14-3.6=4t-17.6，
由勾股定理可得CH2+PH2=PC2 ，即4.82+（4t-17.6）2=（4t-14）2，解得；
④当BC=BP时，此时BP=4t-14，所以4t-14=6，解得，
综上可知，当t为、、或时，△BCP为等腰三角形．
d
A′
A′
A′’
A′
(1))
(2))
(3))
(4))
A’
A’
A’
在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得AB2=AA′2+A′B2，若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，则AB2=144+81=225∴AB=15．
C
图1
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