资源简介

第四讲 基本不等式（学生）
教学目标：
1.掌握基本不等式及其原理，并能够利用基本不等式求代数式的最值。
2. 掌握基本不等式求最值的常用方法，能够利用基本不等式解决实际应用以及恒成立问题。
一、知识点讲解
1、两个不等式
重要不等式：,（当且仅当时取号）.
常见变形公式：、
基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.
常见变形公式： ；
【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2、由基本不等式引申出的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
3、利用基本不等式求最值
（1）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.
①一正：各项均为正数；
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.
（2）积定和最小，和定积最大
①设x,y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.
②设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2.
③已知a，b，x，y为正实数，
若ax＋by＝1，则有＋＝＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
若＋＝1，则有x＋y＝＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2
4.常用方法
应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“定积”及保证能取到等号，此时往往需要采用拆项、补项、平方、平衡系数、"1 "的整体代入、消元化归部分分式等变形技巧，选择合理的变形技巧可以使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果．
必须会的方法：
方法1：配凑法 方法2 : “1”的整体带入 方法3：消元法
其他方法：万能K值法、齐次化类型、多次运用基本不等式类型、因式分解双换元、待定系数法等等.....
三、精讲精练
A组 基础训练
1．（2022 南通期中）若x＞0，y＞0，且xy＝10，则2x+5y的最小值为（　　）
A．20 B．10 C． D．
2．（2022 玄武区校级期中）若x＞0，y＞0，且x+y＝18，则的最大值为（　　）
A．9 B．18 C．36 D．81
3.已知x，y均为正数，且满足x+2y＝4，则xy的最大值为（　　）
A． B．2 C． D．
4.（2020 荆州期末）已知0＜x＜1，则x（3﹣3x）的最大值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022 南阳月考）已知x＞1，则y＝x取得最小值时x的值为（　　）
A．3 B．2 C．4 D．5
y（x＞0）的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7.（多选题）已知，，且，则（　　）
A． B．
C． D．
8.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.已知，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
10.设，且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
11.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．
12.已知关于的不等式的解集为或
（1）求，的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
B组 培优提升
13.若x＞3，则的最小值为 （　　）
A．4 B．5 C．16 D．17
14．（2022 丹东期末）若x＞1，则函数的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．9
15．（2021 诸暨市校级期中）若﹣1＜x＜1，则y有（　　）
A．最大值﹣1 B．最小值﹣1 C．最大值1 D．最小值1
16．（2022 深圳校级月考）已知x，y为正实数，则的最小值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
17．（2021 开福区校级月考）设x，y为正实数，则M的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
18.已知正实数x，y满足x+2y＝xy，则x+y的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
19.已知正实数a，b满足2a+4b﹣ab＝0，则a+2b的最小值为（　　）
A． B．16 C． D．8
20．（2021 永城市期末）设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
21．（2022 安徽模拟）若实数a，b满足，则的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
22．（2022 魏县校级期中）若对x＞0，y＞0有（x+2y）（）≥m恒成立，则m的取值范围是（　　）
A．m≤8 B．m＞8 C．m＜0 D．m≤4
23.已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
24.已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 ．
25.已知m+2n＝2，且m＞﹣1，n＞0．
（1）求的最小值； （2）求的最小值．
课后作业
1．已知a＞0，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021 张家界期末）设0＜x，则函数y＝x（3﹣2x）的最大值是（　　）
A． B． C．2 D．
3.（2023春·陕西·高二校联考期中）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
4.（2022 十堰月考）已知，，且2a+b＝2，则的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
5.当时，不等式恒成立，则a的取值范围是 ．
6．（多选）已知、，，则下列说法正确的是（ ）
A．， B．的最小值为8
C．的最小值为3 D．的最小值为4
7.设，若恒成立，则k的最大值为___________.
8.已知a，b，c都是正实数．
(1)若，求证：；
(2)若，求a+b+c的最小值．
第四讲 基本不等式（教师）
教学目标：
1.掌握基本不等式及其原理，并能够利用基本不等式求代数式的最值。
2. 掌握基本不等式求最值的常用方法，能够利用基本不等式解决实际应用以及恒成立问题。
一、知识点讲解
1、两个不等式
重要不等式：,（当且仅当时取号）.
常见变形公式：、
基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.
常见变形公式： ；
【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2、由基本不等式引申出的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
3、利用基本不等式求最值
（1）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.
①一正：各项均为正数；
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.
（2）积定和最小，和定积最大
①设x,y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.
②设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2.
③已知a，b，x，y为正实数，
若ax＋by＝1，则有＋＝＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
若＋＝1，则有x＋y＝＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2
4.常用方法
应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“定积”及保证能取到等号，此时往往需要采用拆项、补项、平方、平衡系数、"1 "的整体代入、消元化归部分分式等变形技巧，选择合理的变形技巧可以使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果．
必须会的方法：
方法1：配凑法 方法2 : “1”的整体带入 方法3：消元法
其他方法：万能K值法、齐次化类型、多次运用基本不等式类型、因式分解双换元、待定系数法等等.....
三、精讲精练
A组 基础训练
【题型1】积定和最小
1．（2022 南通期中）若x＞0，y＞0，且xy＝10，则2x+5y的最小值为（　　）
A．20 B．10 C． D．
【解答】因为x＞0，y＞0，且xy＝10，
则，当且仅当2x＝5y时等号成立，
即y＝2，x＝5时2x+5y取最小值20，
故选：A．
【题型2】和定积最大
2．（2022 玄武区校级期中）若x＞0，y＞0，且x+y＝18，则的最大值为（　　）
A．9 B．18 C．36 D．81
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+y＝18，
则9，当且仅当x＝y＝9时取等号．
故选：A．
【题型3】换元法或者凑配法
3.已知x，y均为正数，且满足x+2y＝4，则xy的最大值为（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：∵x，y为正数，x+2y＝4，
∴（当且仅当x＝2y时等号成立），
故选：B．
4.（2020 荆州期末）已知0＜x＜1，则x（3﹣3x）的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设y＝x（3﹣3x），则y＝﹣3（x2﹣x）＝﹣3（x）2
∵0＜x＜1当x时，函数取得最大值：．
故选：C．
5．（2022 南阳月考）已知x＞1，则y＝x取得最小值时x的值为（　　）
A．3 B．2 C．4 D．5
【解答】解：因为x＞1，则y＝xx﹣111，
当且仅当x﹣1，即x＝3时取等号．故选：A．
y（x＞0）的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：当x＞0时，yx14﹣1＝3，
当且仅当x即x＝2时取等号，此时函数取得最小值3．
故选：C．
7.（多选题）已知，，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据公式即可判断选项正确，选项B，C错误；
根据不等式可判断选项D正确.
【详解】因为，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
即，所以，故选项正确，选项B,C错误；
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，当且仅当时等号成立，因为，
所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确.
故选：AD.
8.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为对任意，不等式，
即不等式恒成立，
因为，可得，当且仅当时，即等号成立，
所以，所以.
故选：D.
9.已知，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】直接使用基本不等式可得.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值是.
故选：C
10.设，且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
11.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．
【详解】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，
当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．
（2）由已知得x+2y＝30，
又∵（） （x+2y）＝55+29，
∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．
∴的最小值是．
12.已知关于的不等式的解集为或
（1）求，的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根且，
所以，解得，即．
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
依题意有，即，
得，即，
所以的取值范围为．
B组 培优提升
13.若x＞3，则的最小值为 （　　）
A．4 B．5 C．16 D．17
【解答】解：因为x＞3，所以x﹣3＞0，
所以4（x﹣3）12≥212＝16，
当且仅当4（x﹣3），即x时，等号成立，所以的最小值为16．
故选：C．
14．（2022 丹东期末）若x＞1，则函数的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．9
【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，
∴函数x＝x2＝x﹣13≥23＝7，
当且仅当x﹣1，即x＝3时取等号，∴的最小值为7，故选：C．
15．（2021 诸暨市校级期中）若﹣1＜x＜1，则y有（　　）
A．最大值﹣1 B．最小值﹣1 C．最大值1 D．最小值1
【解答】解：∵﹣1＜x＜1，
∴﹣2＜x﹣1＜0，0＜1﹣x＜2，
y [（1﹣x）] 21，
（当且仅当1﹣x，即x＝0时，等号成立）
故选：A．
16．（2022 深圳校级月考）已知x，y为正实数，则的最小值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：因为x，y为正实数，令t，则t＞0，
所以tt+222＝6，
当且仅当t+2，即t＝2时取等号，此时上式取得最小值6．
故选：A．
17．（2021 开福区校级月考）设x，y为正实数，则M的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为x，y为正实数，
所以M，
当且仅当，即x＝3y时取等号，故M的最小值为3．
故选：C．
形如类型的构造
18.已知正实数x，y满足x+2y＝xy，则x+y的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：∵正实数x，y满足x+2y＝xy，∴1，
∴x+y＝（x+y）（）＝33+23，
当且仅当x2＝2y2 时，等号成立，则x+y的最小值为3+2，故选：D．
19.已知正实数a，b满足2a+4b﹣ab＝0，则a+2b的最小值为（　　）
A． B．16 C． D．8
【解答】解：因为正实数a，b满足2a+4b﹣ab＝0，即1，
则a+2b＝（a+2b）（）816，
当且仅当且1，即b＝4，a＝8时取等号．
故选：B．
“1”的变换02
20．（2021 永城市期末）设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵m+n＝2，
∴（m+1）+（n+1）＝4，
∴（）[m+1）+（n+1）][5]（5+2]，
当且仅当且m+n＝2，即m，n时取等号，
故选：B．
21．（2022 安徽模拟）若实数a，b满足，则的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【解答】解：∵，∴2a﹣1＞0，b﹣1＞0，
∴（2a﹣1）+（b﹣1）＝1，
∴2
＝（）[（2a﹣1）+（b﹣1）]+2
4≥24＝6，
当且仅当，即a，b时等号成立，
∴的最小值为6，
故选：A．
22．（2022 魏县校级期中）若对x＞0，y＞0有（x+2y）（）≥m恒成立，则m的取值范围是（　　）
A．m≤8 B．m＞8 C．m＜0 D．m≤4
【解答】解：对x＞0，y＞0有（x+2y）（）≥m恒成立 ．
∵x＞0，y＞0，
∴（x+2y）（）＝48，当且仅当x＝2y＞0时取等号．
∴m≤8．
故选：A．
23.已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.
【详解】，等式恒成立，
，
由于，所以，，
，
当且仅当时，即时取等号.
，，故的最小值为1.
故选：.
24.已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，得.
因为，所以，所以，
则，
当且仅当时，等号成立，故.
因为恒成立，
所以，解得或.
25.已知m+2n＝2，且m＞﹣1，n＞0．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
【解答】解：（1）因为m+1+2n＝3，，
所以
＝，
当且仅当，且m+2n＝2，即m＝0，n＝1时等号成立，
则的最小值为3．
＝
＝＝
＝，
因为m+1+2n+2＝5，所以，
所以原式＝
＝＝，
当且仅当，且m+2n＝2，即，时等号成立，
则的最小值为．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
课后作业
1．已知a＞0，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵a＞0，∴a1≥21＝5，
当且仅当a＝2时，等号成立；故a1的最小值为5，故选：D．
2．（2021 张家界期末）设0＜x，则函数y＝x（3﹣2x）的最大值是（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】∵0＜x，∴3﹣2x＞0．
∴函数y＝x（3﹣2x），当且仅当x时取等号．
∴函数y＝x（3﹣2x）的最大值是．故选：D．
3.（2023春·陕西·高二校联考期中）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为，
由基本不等式可得，可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.
4.（2022 十堰月考）已知，，且2a+b＝2，则的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【解答】因为2a+b＝2，所以（4a﹣1）+（2b﹣1）＝2，
则，
当且仅当，即，b＝1时，等号成立．故选：C．
5.当时，不等式恒成立，则a的取值范围是 ．
【详解】由可得，
因为，
当且仅当，即时取等号，
因为恒成立，所以.
6．（多选）已知、，，则下列说法正确的是（ ）
A．， B．的最小值为8
C．的最小值为3 D．的最小值为4
【详解】因为，所以且a > 0，可得.
又且b > 0，可得，故A正确；
,即，当且仅当时等号成立，故B正确；
因为，所以.
所以,
当且仅当时等号成立，故C错；
将代入，可得
,
当且仅当时等号成立，此时，故D正确.
7.设，若恒成立，则k的最大值为___________.
【答案】
【分析】由基本不等式求得不等式左边的最小值即可得参数范围．
【详解】因为，
所以
当且仅当，即时等号成立．所以．
8.已知a，b，c都是正实数．
(1)若，求证：；
(2)若，求a+b+c的最小值．
【详解】（1）因为a，b，c都是正实数，所以，
，所以，
当且仅当时，等号成立，即．
又因为，所以．
（2）方法一：因为，所以，
所以
，
当且仅当，即，，时等号成立，
所以a+b+c的最小值为．
方法二：因为，所以．
由柯西不等式，得，
即，即，
当且仅当，即，，时等号成立，
所以a+b+c的最小值为．

展开更多......

收起↑