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专题22　　电场能的性质
题型 选择题 命题趋势和备考策略
高考考点 电势高低及电势能大小的比较； 电场中电场强度和电势差的关系； 电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题 电场中的图像问题； 电场力做功与功能关系； 【命题规律】 近3年新高考卷对于本节内容的考查共计31次，主要考查： 电势高低及电势能大小的比较； 电场中电场强度和电势差的关系； 电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题； 电场中的图像问题； 电场力做功与功能关系； 【备考策略】 熟练理解并掌握点电荷周围的电场和电势的分布情况，掌握电场线和等势面的特点；理解带电粒子在电场中运动的能量变化，并利用功能关系解决能量问题；理解电场中的图像所表达的物理含义，并能分析图线的变化处理粒子的运动和能量变化情况；掌握在匀强电场中利用电场力做功的计算方法和能量变化情况。 【命题预测】 本节内容即可单独命题，也可与运动学、动力学和磁场等知识结合在一起，本节内容在高考中题型难度覆盖较广，及可靠查电荷的平面运动情况，空间运动也是近今年的常考范围。2024年考生可适当加大本节内容的刷题量。
新高考 2023 广东卷9题、山东卷11题、浙江卷12题、湖北卷3题、辽宁卷9题、海南卷12题、全国乙卷20题、上海卷8题、
2022 天津卷2题、福建卷3题、重庆卷8题、海南卷8题、江苏卷9题、浙江卷9题、广东卷8题、河北卷6题、湖南卷2题、全国乙卷20题、浙江春招11题
2021 江苏卷10题、海南卷11题、湖北卷8题、辽宁卷6题、天津卷8题、北京卷9题、山东卷6题、浙江卷1题、广东卷6题、全国乙卷19题、全国甲卷19题、河北卷10题
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知识梳理
一、电势能、电势、电势差、等势面 2
二、电场线、电势、电势能、等势面之间的关系 3
三、公式E＝的理解 3
四、静电感应和静电平衡 3
考点突破
考点一　电场能的性质的理解 4
角度1：根据带电粒子的运动轨迹判断运动、受力和电势高低 4
角度2：等量异种电荷周围电势、电势能高低的判断 6
角度3：不等量电荷周围电势、电势能高低的判断 8
考点二　电势差与电场强度的关系 9
考点三　静电场中图象问题 13
角度1：E-x图像分析 13
角度2：φ-x图像分析 14
角度3：Ep-x图像分析 15
考点四　电场中的功能关系 18
微专题突破
一、两个等量异种点电荷电场 20
二、两个等量同种点电荷电场 22
考点过关
【素质基础练】 24
【能力提高练】 30
【高考通关练】 38
一、电势能、电势、电势差、等势面
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功与路径无关，只与初、末位置有关．
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离．
②WAB＝qUAB，适用于任何电场．
2．电势能
(1)定义：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功．
(2)静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.
(3)电势能的相对性：电势能是相对的，通常把电荷离场源电荷无穷远处的电势能规定为零，或把电荷在大地表面的电势能规定为零．
3．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值．
(2)定义式：φ＝.
(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．
4．电势差
(1)定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力所做的功与移动电荷的电荷量的比值．
(2)定义式：UAB＝.
(3)电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA.
5．等势面
(1)定义：电场中电势相等的各点组成的面．
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功．
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
④任意两个等势面都不相交．
二、电场线、电势、电势能、等势面之间的关系
1．电场线与电场强度：电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向．
2．电场线与等势面：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面．
3．电场强度大小与电势：无直接关系，零电势可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高．
4．电势能与电势：正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能大．
三、公式E＝的理解
1．只适用于匀强电场．
2．d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．
3．电场强度的方向是电势降低最快的方向．
四、静电感应和静电平衡
1．静电感应
当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，“近端”出现与施感电荷异种的感应电荷，“远端”出现与施感电荷同种的感应电荷．这种现象叫静电感应．
2．静电平衡
(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体处于静电平衡状态．
(2)处于静电平衡状态的导体的特点
①导体内部的场强处处为零；
②导体是一个等势体，导体表面是等势面；
③导体表面处的场强方向与导体表面垂直；
④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上；
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷．
考点一　电场能的性质的理解
1．电势高低的四种判断方法
(1)依据电场线方向：沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)依据电场力做功：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．
(3)电荷的正负：取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．
(4)依据电势能的高低：正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
2．电势能高低的四种判断方法
(1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大．
(2)电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大．
(3)公式法：由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大，Ep的负值越小，电势能越大．
(4)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大时，电势能减小，反之电势能增大．
角度1：根据带电粒子的运动轨迹判断运动、受力和电势高低
【典例1】（2023·全国·统考高考真题）在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】A．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，A正确；
B．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有

可见与电场力的受力特点相互矛盾，B错误；
C．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，C错误；
D．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，D错误；
故选A。
1．某点速度方向即为该点轨迹的切线方向．
2．从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负．
3．结合轨迹、速度方向与电场力的方向，确定电场力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等．
【变式】（2023·全国·高三模拟考试）如图所示，在两个点电荷、产生的电场中，实线为其电场线分布，虚线为电子（不计重力）从A点运动到B点的运动轨迹，则下列判断正确的是（　　）
A．电子经过A点的加速度比经过B点的加速度小 B．的电荷量小于的电荷量
C．电子在A点的电势能大于在B点的电势能 D．两个点电荷连线中点O的场强为零
【答案】B
【详解】A．A点电场线较B点密集，则A点场强较B点大，电子经过A点的加速度比经过B点的加速度大，故A项错误；
B．由电场线的分布可知，的电荷量小于的电荷量，故B项正确；
C．由电子的运动轨迹可知，带正电，也带正电，则A点的电势高于B点的电势，电子在A点的电势能小于在B点的电势能，故C项错误；
D．由于两电荷带电荷量不等，则两个点电荷连线中点O的场强不为零，故D项错误。
故选B。
角度2：等量异种电荷周围电势、电势能高低的判断
【典例2】（2022·河北·统考高考真题）如图，真空中电荷量为和的两个点电荷分别位于点与点，形成一个以延长线上点为球心，电势为零的等势面（取无穷处电势为零），为连线上的一点，S为等势面与直线的交点，为等势面上的一点，下列说法正确的是（　　）
A．点电势低于点电势 B．点电场强度方向指向O点
C．除无穷远处外，MN直线上还存在两个电场强度为零的点
D．将正试探电荷从T点移到P点，静电力做正功
【答案】B
【详解】A．在直线上，左边正电荷在右侧电场强度水平向右，右边负电荷在直线上电场强度水平向右，根据电场的叠加可知间的电场强度水平向右，沿着电场线电势逐渐降低，可知点电势高于等势面与交点处电势，则点电势高于点电势，故A错误；
C．由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知在N左侧电场强度不可能为零，则右侧，设距离为，根据，可知除无穷远处外，直线MN电场强度为零的点只有一个，故C错误；
D．由A选项分析可知：点电势低于电势，则正电荷在点的电势能低于在电势的电势能，将正试探电荷从T点移到P点，电势能增大，静电力做负功，故D错误；
B．设等势圆的半径为，距离为，距离为，如图所示
根据，结合电势的叠加原理、满足，，解得，
由于电场强度方向垂直等势面，可知T点的场强方向必过等势面的圆心，O点电势
可知，可知T点电场方向指向O点，故B正确。
故选B。
【变式】（2023·全国·高三专题练习）真空中相距为的两个点电荷、，分别固定于轴上，和的两点上，在它们连线上各点的电场强度随变化的关系如图所示，下列判断正确的是（　　）
A．点电荷、一定为同种电荷
B．在轴上，的区域内，有一点电场强度为零
C．点电荷、所带电荷量的绝对值之比为
D．若设无穷远处为电势零点，则处的电势一定为零
【答案】A
【详解】A．若两电荷为异种电荷，则在处电场强度不可能为，所以两电荷为同种电荷，故A正确；
B．两电荷为同种电荷，在轴上，只有一点电场强度为零，即处，故B错误；
C．在处产生的场强为
N在处产生的场强为
由于处场强为零，故有，解得
所以点电荷、所带电荷量的绝对值之比为，故C错误；
D．若设无穷远处为电势能零点，由于电荷从无穷远处到处电场力做功不为零，则处电势不为零，故D错误。
故选A。
角度3：不等量电荷周围电势、电势能高低的判断
【典例3】（2023·海南·统考高考真题）如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中带正电，带负电，为边的四等分点，下列说法正确的是（ ）

A．、两点电场强度相同 B．、两点电势相同
C．负电荷在点电势能比在点时要小 D．负电荷在点电势能比在点时要大
【答案】BC
【详解】A．根据场强叠加以及对称性可知，MN两点的场强大小相同，但是方向不同，选项A错误；
B．因在AB处的正电荷在MN两点的合电势相等，在C点的负电荷在MN两点的电势也相等，则MN两点电势相等，选项B正确；
CD．因负电荷从M到O，因AB两电荷的合力对负电荷的库仑力从O指向M，则该力对负电荷做负功，C点的负电荷也对该负电荷做负功，可知三个电荷对该负电荷的合力对其做负功，则该负电荷的电势能增加，即负电荷在M点的电势能比在O点小；同理可知负电荷在N点的电势能比在O点小。选项C正确，D错误。
故选BC。
【变式】（2023·河北·模拟预测）在A、B两点放置电荷量分别为和的点电荷，其形成的电场线分布如图所示，C为A、B连线上的一点，并且AB间C点的电场强度最小，D是纸面上的另一点，DC连线与AB垂直，已知无穷远电势为零，电荷Q在其周围产生的电势为。则下列说法正确的是（　　）

A．AB间C点电势最低
B．在整个直线AB上不可能存在另一个与C电场强度相同的点
C．AB连线上B的右侧有一点非无穷远电势和电场强度均为零
D．若将另一负电荷从C点移到D点，电荷电势能减小
【答案】B
【详解】A．沿电场线方向电势逐渐降低，C点电势高于其右侧点电势，故不是AB间电势最低的点，A错误；
B．C的电场强度由两个电荷产生的电场同向叠加而成，方向向右，A的左侧电场方向向左故不可能存在，B的右侧两电荷产生电场反向叠加，并且当的电场大于的电场时，电场方向与C相同，但因为此位置相对于A的距离比C相对于A的距离远，所以在此区域产生的电场强度一定小于C处的场强，B正确；
C．B右侧场强为0的点满足，电势为0的点满足，很明显不是同一位置，C错误；
D．由图中电场线分布可知C的电势高于D点；所以负电荷在C点的电势能低，移到D点时电势能增大，D错误。
故选B。
考点二　电势差与电场强度的关系
1．在匀强电场中，不与电场线垂直的同一直线上的距离相同的两点间的电势差相等，相互平行的相等线段的两端点电势差也相等．
2．在匀强电场中，不与电场线垂直的同一条直线上或几条相互平行的直线上两点间的电势差与两点间的距离成正比．如图6所示AC∥PR，则有：＝＝＝.
角度1：非匀强电场中电场强度与电势差的关系
【典例4】（多选）（2022·重庆·高考真题）如图为两点电荷Q、的电场等势面分布示意图，Q、位于x轴上，相邻等势面的电势差为。若x轴上的M点和N点位于等势面上，P为某等势面上一点，则（　　）
A．N点的电场强度大小比M点的大 B．Q为正电荷
C．M点的电场方向沿x轴负方向 D．P点与M点的电势差为
【答案】AD
【详解】A．等差等势线的密度体现场强的大小，由图可知N点的等差等势线比M点更密，则N点的电场强度大小比M点的大，故A正确；
B．沿着电场线电势逐渐降低，由图可知电场线由N指向Q，则Q为负电荷，故B错误；
C．沿着电场线电势逐渐降低，结合各等势线的电势高低关系可知M点的电场方向沿x轴正方向，故C错误；
D．M点与N点等势均为0V，P点与N点的等势线间隔四个，而相邻等势面的电势差为，则P点与M点的电势差为，故D正确。
故选AD。
1．先确定等势线，根据“两点确定一条直线”，找出电场中电势相等的两个点，然后连接成一条等势线；因匀强电场的电势在一条直线上均匀变化，任一线段中点的电势为两端点电势的平均值．
2．电场线跟等势线一定垂直，作出等势线的垂线即得电场线．
3．比较电势的高低，即沿着电场线的方向，电势逐渐降低；根据电势高低在电场线上标出箭头，表示电场的方向．
【变式】（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P为正电荷。P、Q两点附近电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间电势差相等，a、b、c、d为电场中的4个点。下列说法正确的是（　　）

A．P、Q两点处的电荷带同种电荷
B．c点与d点场强方向相同，电势也相同，a点电场强度小于b点电场强度
C．一负电子从c点到b点电场力做正功
D．负电子在a点电势能比在b点的电势能大
【答案】B
【详解】A．由等势面作出电场线，如图所示
可知P、Q两点处的电荷带异种电荷，故A错误；
B．根据点电荷场强决定式以及场强的叠加原理可知，c点与d点场强方向相同，因为c点与d点在同一等势面上，所以c点与d点电势也相同，又因b点等差等势面比a点密集，可知b点场强较大，即a点电场强度小于b点电场强度，故B正确；
C．电场线从高电势面指向低电势面，所以c点电势高于b点电势，由可知，c点电势能低于b点电势能，所以一负电子从c点到b点电场力做负功，故C错误；
D．因为a点电势高于b点电势，由可知电子在a点电势能比在b点的电势能小，故D错误。
故选B。
角度2：匀强电场中电场强度与电势差的关系
【典例5】（多选）（2021·海南·高考真题）如图，在匀强电场中有一虚线圆，和是圆的两条直径，其中与电场方向的夹角为，，与电场方向平行，a、b两点的电势差。则（　　）
A．电场强度的大小 B．b点的电势比d点的低
C．将电子从c点移到d点，电场力做正功 D．电子在a点的电势能大于在c点的电势能
【答案】AD
【详解】A．根据
可得电场强度的大小，选项A正确；
B．沿电场线电势逐渐降低，可知b点的电势比d点的电势高，选项B错误；
C．将电子从c点移到d点，因电子所受的电场力与位移反向，可知电场力做负功，选项C错误；
D．因a点的电势低于c点电势，则电子在a点的电势能大于在c点的电势能，选项D正确。
故选AD。
【变式】（2024·湖南·校联考二模）有一匀强电场的方向平行于平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，其中a、b、c三点电势分别为0、、，有一电荷量为的点电荷在该电场中运动，下列判断正确的是（　　）

A．y轴为一等势面
B．电荷在该电场中受到的电场力的大小为
C．电荷在该电场中受到的电场力的方向与x轴的夹角为
D．将该点电荷从a点移到b点，其电势能增加
【答案】B
【详解】A．坐标原点O点的电势为，，所以y轴不是等势面，故A错误；
BC．y方向的电场强度
x方向的电场强度
匀强电场中的电场强度
电荷在该电场中受到的电场力的大小为
电场力的方向与x轴的夹角满足
解得，故B正确，C错误；
D．根据，故将该点电荷从a点移到b点，其电势能减少，故D错误。
故选B。
考点三　静电场中图象问题
几种常见图象的特点及规律
v－t图象 根据v－t图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化
φ－x图象 ①电场强度的大小等于φ－x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零；②在φ－x图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向；③在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断
E－t图象 根据题中给出的E－t图象，确定E的方向，再在草稿纸上画出对应电场线的方向，根据E的大小变化，确定电场的强弱分布
E－x图象 ①反映了电场强度随位移变化的规律；②E＞0表示场强沿x轴正方向，E＜0表示场强沿x轴负方向；③图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定
Ep－x图象 ①反映了电势能随位移变化的规律；②图线的切线斜率大小等于电场力大小；③进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况
角度1：E-x图像分析
【典例6】（2023·湖北·模拟预测）已知均匀带电球体在其外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同，而均匀带电球売在其内部任意一点形成的电场强度为零。如图甲所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴。理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化关系如图乙所示，静电力常量为k，则（　　）

A． x2处场强大小为
B．均匀带电球体为等势体
C． x1处电势低于R处电势
D．假设将试探电荷沿x轴移动，则从x1移到R处和从R移到x2处电场力做功相同
【答案】A
【详解】A．计算x2处的电场强度时，可把带电球体等效为位于原点的点电荷，则x2处场强大小为
x2与x1的电场强度相等，R以内x处
所以x2处场强大小为，故A正确；
BC．由题图乙可知，球内部由O到球表面区间电场强度均匀增大，所以内部电场为非匀强电场，x轴上O点右侧的电场方向始终是向右的，沿着电场的方向电势逐渐减小，可知x1处电势高于R处电势，故BC错误；
D．E－x 图像与x轴所围面积表示电势差，由题图乙可知两处面积不相等，所以x1处与球表面、球表面与x2处的电势差不同，则将试探电荷沿x轴从x1移到R处和从R移到x2处电场力做功不相同，故D错误。
故选A。
角度2：φ-x图像分析
【典例7】（2021·山东·高考真题）如图甲所示，边长为a的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为的点电荷；在区间，x轴上电势的变化曲线如图乙所示。现将一电荷量为的点电荷P置于正方形的中心O点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零。若将P沿x轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是（　　）
A．，释放后P将向右运动 B．，释放后P将向左运动
C．，释放后P将向右运动 D．，释放后P将向左运动
【答案】C
【详解】对y轴正向的点电荷，由平衡知识可得
解得
因在区间内沿x轴正向电势升高，则场强方向沿x轴负向，则将P沿x轴正向向右略微移动后释放，P受到向右的电场力而向右运动。
故选C。
角度3：Ep-x图像分析
【典例8】（多选）（2023·安徽·校联考模拟预测）已知试探电荷在场源点电荷的电场中所具有电势能表达式为，其中为静电力常量，为试探电荷与场源点电荷间的距离，且规定无穷远处的电势能为0。真空中有两个点电荷和，分别固定在坐标轴和的位置上。一带负电的试探电荷在轴上各点具有的电势能随变化关系如图所示，其中试探电荷在A、两点的电势能为零，A点的坐标是点为点电荷右边电势能最小的点，则下列说法正确的是（　　）

A．为正电荷，为负电荷
B．点电荷与电量之比为
C．点对应轴位置的坐标是
D．两点电荷在轴上电场强度相同的点的位置为
【答案】AC
【详解】A．由图可知，带负电的试探电荷在0~15间的电势能逐渐增大，可知为正电荷，为负电荷，故A正确；
B．由图可知，A点的电势能为0，则有，解得点电荷与电量之比为，故B错误；
C．根据电势能的计算公式，可知图象的斜率代表电场力，则C点的电场力为0，有
解得，故C正确；
D．根据点电荷产生的电场公式有，解得cm，故D错误；
故选AC。
【变式1】（多选）（2024·四川巴中·统考模拟预测）有一电场在x轴上各点的电场强度分布如图所示。现将一带正电的粒子（不计重力）从O点静止释放，仅在电场力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则关于该电场在x轴上各点的电势φ、带电粒子的动能、电势能以及动能与电势能之和随x变化的图像，正确的是（　　）

A． B．C． D．
【答案】BD
【详解】A.带正电的粒子（不计重力）从O点静止释放，仅在电场力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则电场力方向沿x轴正方向，电场线方向沿x轴正方向。沿电场线方向电势降低，A错误；
C.电场力做正功，动能增加，电势能减小，C错误；
B.由图像斜率大小代表电场力大小，斜率正负代表电场力方向，由图可知，场强先减小后增大，方向一直为正方向，电场力
先减小后增大，一直为正方向，与题中电场强度沿x轴变化一致，B正确；
D.由能量守恒，动能与电势能之和不变，D正确。
故选BD。
【变式2】（2021·全国·统考模拟预测）空间存在着平行于x轴方向的静电场，A、M、O、N、B为x轴上的点，OA＜OB，OM=ON，AB间的电势φ随x的分布为如图．一个带电粒子在电场中仅在电场力作用下从M点由静止开始沿x轴向右运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．粒子可能带正电 B．粒子一定能通过N点
C．粒子从M向O运动过程所受电场力逐渐增大 D．AO间的电场强度小于OB间的电场强度
【答案】B
【详解】A．由图可知，AB两点电势相等，O点的电势最高，A到O是逆电场线，粒子仅在电场力作用下，从M点由静止开始沿x轴向右运动即逆电场线方向运动，故粒子一定带负电，A错误；
B．由图可知，AB两点电势相等，M点的电势小于N点的电势，故M到O电场力做的功大于O到N电场力做的功，所以粒子能通过N点，故B正确；
C．由于AO的斜率不变，即AO之间的电场强度不变，所以粒子从M向O运动过程电场力不变，故C错误；
D．由于OA＜OB，所以OA之间的电势变化快于OB之间的电势的变化，即AO间的电场强度大于OB间的电场强度，故D错误；
故选B。
【变式3】（2023·湖北·模拟预测）一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O~x2段是关于直线x=x1对称的曲线，x2~x3段是直线，则下列说法正确的是（　　）
A．x1处电场强度最小，但不为零
B．粒子在O~x2段做匀变速运动，x2~x3段做匀速直线运动
C．在O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2=φ0>φ3
D．0~x2段的电场强度大小、方向均不变
【答案】C
【详解】A．Ep-x图像的斜率表示粒子所受电场力F，根据F=qE可知x1处电场强度最小，为零，故A错误；
B．O~x1段，场强减小，电势能减小，带负电粒子做加速度减小的加速运动，x1~x2段，场强增大，电势能增大，粒子做加速度增大的减速运动，x2~x3段，场强不变，电势能增大，粒子做匀减速直线运动，故B错误；
C．带负电的粒子在O、x1、x2、x3处电势能Ep0、Ep1、Ep2、Ep3的关系为Ep1由，可知φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2=φ0>φ3，故C正确；
D．O~x1段，电场方向水平向左，x1~x3电场方向水平向右，故D错误。
故选C。
考点四　电场中的功能关系
1．电场力做功的计算
(1)由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcos α.
(2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场．
(3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk.
(4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB.
2．几种功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变；
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变；
(3)除重力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化．
(4)所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化．
【典例9】（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板长为L（不考虑边界效应）。t=0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为；平行M板向下的粒子，刚好从N板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则（　　）
A．M板电势高于N板电势 B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度 D．粒子从N板下端射出的时间
【答案】C
【详解】A．由于不知道两粒子的电性，故不能确定M板和N板的电势高低，故A错误；
B．根据题意垂直M板向右的粒子，到达N板时速度增加，动能增加，则电场力做正功，电势能减小；则平行M板向下的粒子到达N板时电场力也做正功，电势能同样减小，故B错误；
CD．设两板间距离为d，对于平行M板向下的粒子刚好从N板下端射出，在两板间做类平抛运动，有，
对于垂直M板向右的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，在电场中加速度相同，有，联立解得，，故C正确，D错误；
故选C。
（多选）（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校考三模）如图所示，一质量为m、带正电的液滴，在水平向右的匀强电场中运动，运动轨迹在竖直平面内，A、B为其运动轨迹上的两点，已知该液滴在A点的速度大小为，方向与竖直方向的夹角为，它运动到B点时速度大小仍为，方向与竖直方向的夹角为，则液滴从A运动到B的过程（　　）

A．液滴在水平方向和竖直方向的分位移相等 B．重力势能增加
C．电势能增加 D．机械能增加
【答案】AD
【详解】A．将液滴的运动分解，水平方向满足
竖直方向满足，联立解得，A正确；
B．竖直方向由位移速度公式可得
则重力势能增加量为，B错误；
CD．电场力对液滴做正功，电场力做的功为
液滴在水平方向做匀加速直线运动
联立解得，液滴的电势能减少，机械能增加，C错误，D正确。
故选D。
一、两个等量异种点电荷电场
1．电场特征
(1)两个等量异种点电荷电场电场线的特征是：电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于负电荷；有三条电场线是直线．如图所示．
(2)在两电荷连线上，连线的中点电场强度最小但是不等于零；连线上关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相同，都是由正电荷指向负电荷；由连线的一端到另一端，电场强度先减小再增大．以两电荷连线为x轴，关于x＝0对称分布的两个等量异种点电荷的E－x图象是关于E轴(纵轴)对称的U形图线，如图甲所示．
甲　　　　　　　　乙
(3)在两电荷连线的中垂线上，电场强度以中点处最大；中垂线上关于中点对称的任意两点处场强大小相等，方向相同，都是与中垂线垂直，由正电荷指向负电荷；由中点至无穷远处，电场强度逐渐减小．以两电荷连线中垂线为y轴，关于y＝0对称分布的两个等量异种点电荷在中垂线上的E－y图象是关于E轴(纵轴)对称的形图线，如图乙所示．
2．电势特征
(1)沿电场线，由正电荷到负电荷电势逐渐降低，其等势面如图所示．若取无穷远处电势为零，在两电荷连线上的中点处电势为零．
(2)中垂面是一个等势面，由于中垂面可以延伸到无限远处，所以若取无穷远处电势为零，则在中垂面上电势为零．
(3)若将两电荷连线的中点作为坐标原点，两电荷连线作为x轴，则两个等量异种点电荷的电势φ随x变化的图象如图所示．
【典例10】(多选)某静电场中的一条电场线与x轴重合，其电势的变化规律如图21所示．在O点由静止释放一电子，电子仅受电场力的作用，则在－x0～x0区间内(　　)
图21
A．该静电场是匀强电场
B．该静电场是非匀强电场
C．电子将沿x轴正方向运动，加速度逐渐减小
D．电子将沿x轴正方向运动，加速度逐渐增大
答案　BC
解析　由于电势φ随x的变化不是均匀变化，即不是常数，所以该静电场一定是非匀强电场，且O点电场强度最大，x0处电场强度最小，选项A错误，B正确；由电势变化规律可知，电场线方向指向x轴负方向，在O点由静止释放一电子，电子所受电场力的方向指向x轴正方向，电子将沿x轴正方向运动，且加速度逐渐减小，选项C正确，D错误．
二、两个等量同种点电荷电场
1．电场特征
(1)电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；只有两条电场线是直线．(如图所示)
(2)在两电荷连线上的中点电场强度最小为零；连线上关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是指向中点；由连线的一端到另一端，电场强度先减小到零再增大．
(3)若以两电荷连线中点作为坐标原点，沿两电荷连线作为x轴建立直角坐标系，则关于坐标原点对称分布的两个等量同种点电荷在连线方向上的E－x图象是关于坐标原点对称的图线，两个等量正点电荷的E－x图象如图所示的曲线．
(4)在两等量同种电荷的连线中垂线上，以中点最小为零；中垂线上关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向无穷远处；在中垂线上由中点至无穷远处，电场强度先从零开始增大再减小至零，其间必有一个位置场强最大．若把中垂线作为y轴，沿中垂线方向的E－y图象大致如图所示的曲线．
2．电势特征
(1)两个等量正点电荷电场中各点电势均为正值，两个等量负点电荷电场中各点电势均为负值，两个等量正点电荷电场的等势面如图所示．
(2)在两个等量正点电荷连线上，由连线的一端到另一端电势先降低再升高，中点处电势最低但不为零，电势φ随x变化的图象大致如图所示．
(3)在两个等量正点电荷连线的中垂线上中点处电势最高，由中点至无穷远处逐渐降低至零．若把中垂线作为y轴，沿中垂线方向的φ－y图象大致如图所示的曲线．
【典例11】(多选)某静电场中x轴上的电势随x坐标变化的图象如图所示，φ－x图象关于φ轴对称，a、b两点到O点的距离相等．将一电荷从x轴上的a点由静止释放后电荷沿x轴运动到b点，运动过程中电荷只受电场力作用，则下列说法正确的是(　　)
A．该电荷一定带负电
B．电荷在b点时动能为零
C．从O到b，电荷的电势能减小
D．从a到b，电场力对电荷先做正功，后做负功
答案　BD
解析　此φ－x图象可视为在x轴上关于坐标原点对称的两个等量正点电荷，在它们连线上电势随x坐标变化的图象．由于a、b两点等电势，该电荷一定带正电，由动能定理可知，将该电荷从x轴上的a点由静止释放后沿x轴运动到b点，电荷到b点时动能为零，选项A错误，B正确；电荷从O运动到b，电势升高，电荷的电势能增大，选项C错误；电荷从a运动到b，电势能先减小后增大，电场力对电荷先做正功，后做负功，选项D正确．
考点过关
【素质基础练】
1．（2023·天津·模拟预测）一对等量正点电荷电场的电场线（实线）和等势线（虚线）如图所示，A、B为静电场中两点，其电场强度分别是EA、EB，电势分别是ΦA、ΦB，MN为两正电荷连线的中垂面，下列判断正确的是（　　）
A．EA>EB，ΦA<ΦB
B．若将一试探电荷+q缓慢地由A点移动到B点，则需克服电场力做功
C．若一试探电荷-q以初速度v0，由A点运动到B点，则其电势能最终将变大
D．若在平面MN内释放一试探电荷，其可以在该平面内做匀速圆周运动、简谐运动、匀变速直线运动
【答案】C
【详解】A．由图可知A点的电场线比B点电场线密集，则EA>EB
沿电场线方向电势降低，则ΦA>ΦB，选项A错误；
B．若将一试探电荷+q缓慢地由A点移动到B点，电势能减小，电场力做正功，B错误；
C．若一试探电荷-q以初速度v0，由A点运动到B点，电场力做负功，则其电势能变大，C正确；
D．若在平面MN内释放一试探电荷，其可以在该平面内以O点为圆心做匀速圆周运动，由于力不是随位移均匀变化因此不能做简谐运动、在此平面上受力不能满足做匀变速直线运动；D错误。
故选C。
2．（2022·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）如图，在等边三角形abc中心O处有一带正电的点电荷，d为ac边的中点，则在该点电荷产生的电场中（　　）
A．a、b、c点的电场强度相同
B．a、c、d点的电势差满足
C．电子在a点时的电势能大于在d点的电势能
D．电子在a点时的电势能小于在d点的电势能
【答案】C
【详解】A．a、b、c点的电场强度大小相同，方向不一样，A错误；
B．d点距离点电荷最近，电势最高，三点间满足的电势差关系应为
CD．因为d点的电势最大，因此电子在d点的电势能最小，故a点的电势能大于在d点的电势能，C正确，D错误。
故选C。
3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强电场，在纸面内从正方形的顶点A沿任意方向发射速度相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知经过B点的粒子在B点时的动能是初动能的3倍，经过C点的粒子在C点时的动能是初动能的7倍，则经过D点的粒子在D点时的动能是初动能的（　　）

A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．6倍
【答案】C
【详解】根据题意，设电场强度沿AB方向的分量为，沿AD方向的分量为，粒子在A点时的动能为。粒子从A到B的过程，有
粒子从A到C的过程，有
则粒子从A到D的过程，有，解得
故选C。
4．（2023·上海·统考模拟预测）空间中有一电场，电势分布如图所示，现放入一个负点电荷，随后向右移动此电荷，下列电荷电势能随位置变化的图像正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由电势能的表达式得，负点电荷向右移动此电荷，电势能为负值并且逐渐增大，故选C。
5．（2023·四川成都·成都市第二十中学校校考模拟预测）如图所示，虚线为某电场中的三条电场线1、2、3，实线表示某带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，则下列说法中正确的是（　　）
A．粒子在a点的加速度大小大于在b点的加速度大小
B．粒子在a点的电势能大于在b点的电势能
C．粒子在a点的速度大小大于在b点的速度大小
D．a点的电势高于b点的电势
【答案】B
【详解】A．电场线越密处场强越大，电场力越大，粒子的加速度越大，所以粒子在a点的加速度大小小于在b点的加速度大小，A错误；
BCD．粒子受力指向轨迹凹面，大致向右，所以粒子从a点到b点电场力做正功，电势能减小，动能增大，故粒子在a点的速度大小小于在b点的速度大小。因为粒子带负电，受力方向与电场方向相反，所以电场强度方向大致向左，根据沿着电场线方向电势降低，所以a点的电势低于b点的电势，B正确，CD错误。
故选B。
6．（2023·湖南邵阳·统考模拟预测）某电场的电场线分布如图所示。一带正电荷的粒子仅在电场力的作用下从a点沿电场线运动了b点，则下列说法正确的是（　　）

A．电场力对该正电荷做了正功 B．该正电荷电势能增加了
C．该正电荷在a、b两点受到的电场力Fa>Fb D．该正电荷从a到b做加速运动
【答案】B
【详解】AB．正电荷所受电场力的方向与电场强度方向相同，所以将一带正电的粒子从a点移到b点，电场力做负功，电势能增加，故B正确，A错误；
C．根据电场线越密电场强度越大，粒子所受的电场力越大，可知粒子在b点所受的电场力大于在a点所受的电场力，故C错误；
D．带正电的粒子仅在电场力的作用下从a点沿电场线运动了b点，电场力做负功，粒子从a到b做减速运动，故D错误。
故选B。
7．（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）两个点电荷固定于x轴上，将一带负电的试探电荷从足够远处沿x轴负方向移近（位于坐标原点O），在移动过程中，试探电荷的电势能随位置的变化关系如图所示。则下列判断正确的是（　　）

A．M点场强为零，N点电势为零 B．M点电势为零，N点场强为零
C．带正电，带负电，且电荷量较大 D．带负电，带正电，且电荷量较小
【答案】B
【详解】AB．因图像的斜率等于电场力，可知N点场强为零；因M点电势能为零，可知M点电势为零，选项A错误，B正确；
CD．因带负电的试探电荷在Q2附近的电势能为正值，可知带负电，带正电，N点场强为零，根据，可知，选项CD错误。
故选B。
8．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图所示，带电绝缘体球的球心为O，用r表示球内、外各点到球心的距离，其中A、B、C位置离球心的距离分别为、、，用表示球内、外各点电势，其图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．该绝缘体球带负电
B．A点的电场强度小于B点的电场强度
C．B点的电场强度大小为
D．负点电荷在B点的电势能比在C点的电势能小
【答案】D
【详解】A．根据图像可知，离绝缘体球球心越远，电势越低，可知该绝缘体球带正电，故A错误；
B．根据图像的切线斜率绝对值表示电场强度大小，可知A点的电场强度大于B点的电场强度，故B错误；
C．根据图像的切线斜率绝对值表示电场强度大小，可知B点的电场强度大小应满足
故C错误；
D．由图像可知B点的电势大于C点的电势，根据，可知负点电荷在B点的电势能比在C点的电势能小，故D正确。
故选D。
9．（多选）（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）空间中有两个固定点电荷A和B，带电荷量的绝对值分别为QA和QB，以点电荷A、B连线上某点为原点，以点电荷A和B所在的直线为x轴建立直角坐标系，分别作出部分和图像，如图所示，无穷远处电势为零．则下列说法正确的是（　　）
A．A为正点电荷，B为负点电荷，且QA>QB
B．A为负点电荷，B为正点电荷，且QA> QB
C．1是图像，2是图像
D．1是图像，2是图像
【答案】BD
【详解】AB．由于正点电荷周围电势趋于正无穷大，所以由图可知B为正点电荷，因为点电荷B右侧有场强为0的点，说明A为负点电荷，因电场强度叠加为0的位置，离B近，离A远，故由
可知QA>QB，B正确，A错误；
CD．当图像斜率为0时，场强为0，结合图中的辅助线，可知1是图像，2是图像，D正确，C错误。
故选BD。
10．（2023·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，杆上两点固定两根绳子，两点的间距为，绳1的长度为，绳子另一端共同系一带电量为、质量为的小球，在竖直向上的匀强电场中以某一角速度随杆做匀速圆周运动可以使绳子1、2均处于绷直状态；如果撤去电场，小球以同样的角速度随杆做匀速圆周运动时的圆心刚好是点。重力加速度大小为，求：
（1）小球做匀速圆周运动的角速度；
（2）保持角速度大小不变，且可以使绳子1、2均处于绷直状态，求匀强电场的场强取值范围。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）撤去电场，小球以同样角速度绕杆做匀速圆周运动，如图所示

由几何关系可知轨道半径，
绳1与水平方向的夹角为，则有，
根据牛顿第二定律，有
在竖直方向上，有，，联立解得
（2）满足题中可以使绳子1、2均处于绷直状态的最小的匀强电场是绳子2拉力为零，最大的匀强电场是绳子1拉力为零，有，解得
根据牛顿第二定律，有
在竖直方向上，有，联立解得
故匀强电场的场强大小取值范围为。
【能力提高练】
1．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）某电场等势面分布情况如图所示，A、B分别为场中两点，一带电粒子在此电场中的轨迹如虚线所示，下列判断正确的是（　　）
A．带电粒子带负电
B．带电粒子在B点的加速度大于在A点的加速度
C．带电粒子运动到B点的速度大于在A点的速度
D．负的点电荷在B点由静止释放，只在电场力的作用下电荷将沿着等势面e运动
【答案】C
【详解】A．电场强度方向与等势面垂直，且由高电势点指向低电势点方向，根据图像可知电场方向整体方向向外，而带电粒子所受电场力方向指向轨迹弯曲一侧，根据轨迹可知，电场力方向与电场方向相同，可判定粒子带正电故，故A错误；
B．图中相邻等势线之间的电势差相等，而等差等势面的疏密程度能够间接反映场强大小，根据图像可知，带电粒子在B位置电场线分布比A点稀疏一些，则粒子在B处的电场强度小于A处的电场强度，可知带电粒子在B点的加速度小于在A点的加速度，故B错误；
C．带电粒子带正电，A点电势大于B点电势，根据
可知，粒子从A到B电场力做正功，电势能减小，动能增大，速度增大，即带电粒子运动到B点的速度大于在A点的速度，故C正确；
D．场强方向与等势面垂直，故点电荷受到的电场力方向与等势面垂直，只在电场力的作用下电荷由静止释放不可能沿着等势面e运动，故D错误。
故选C。
2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图所示，其空中有一足够大的水平向右的匀强电场，质量均为、带电量分别为和的两小球同时从点以速度斜向右上方射入匀强电场中，方向与水平方向成，A、B（图中末画出）两点分别为两小球运动轨迹的最高点，带正电的小球经过A点的速度大小仍然为，不考虑两球间的库仑力。下列说法错误的是（　　）

A．两小球同时到A、B两点
B．带负电的小球经过点的速度大小也为
C．两小球到达A、B两点过程中电势能变化量之比为
D．与水平距离之比为
【答案】C
【详解】A．由题可知，将带电小球的运动分解成水平方向和竖直方向的运动，由受力可知，两小球在竖直方向只受重力，故在竖直方向做竖直上抛运动，竖直方向的初速度大小均为
上升到最高点时，竖直方向速度为零，由此可知，两球到达A、B两点的时间相同，A正确，不符合题意；
B．水平方向只受电场力，故水平方向做匀变速直线运动，水平方向的初速度为
由题可知，带正电的小球有
带负电的小球有，解得
带负电的小球经过点的速度大小也为，B正确，不符合题意；
C．由B解析可知，到达最高点时两小球的速度大小相等，水平方向只有电场力做功，由动能定理可知，两球到达A、B两点过程中电势能变化量之比为，C错误，符合题意；
D．由上分析可知，
联立解得，故，
代入数据解得，即与水平距离之比为，D正确，不符合题意。
故选C。
3．（2023·甘肃·统考三模）如图所示，一对面积较大的平行板电容器AB水平放置，A板带正电荷，B板接地，P为两板中点，再使A、B分别以中心点O、O 为轴在竖直平面内转过一个相同的小角度θ，下列结论正确的是（　　）

A．电容器AB的电容不变 B．两板间电场强度变大
C．两板间的P点电势增大 D．两板间的P点电势降低
【答案】D
【详解】A．根据题意，两极板在竖直平面内转过一个相同的小角度θ，两极板间的距离d减小，根据电容的决定式和定义式，，由此可知，d减小，C增大，故A错误；
B．根据公式，可知，两板间电场强度不变，故B错误；
CD．由图可知，P与B板间的距离减小，由于电容器内部电场强度不变，所以P与B板间的电势差减小，B板接地，其电势为零，所以P点电势降低，故C错误，D正确。
故选D。
4．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图所示，一长为L的绝缘轻绳一端系着质量为m、带电荷量为+q的小球（可视为质点）、另一端固定在O点，整个空间存在与竖直方向夹角为的匀强电场。小球绕O点在竖直面ACBD内做圆周运动，其中AB水平，CD竖直，E、F连线与电场平行且经过O点，小球运动到A点时速度最小，为，g为重力加速度，则下列说法正确的是（　　）

A．匀强电场的电场强度大小为 B．小球从A点运动到B点，合力做功为4mgL
C．小球在B点时轻绳的拉力大小为6mg D．小球运动到E点时机械能最小
【答案】D
【详解】A．小球运动到A点时速度最小，则电场力和重力的合力水平向右，电场力mg
解得匀强电场的电场强度大小，故A错误；
B．电场力和重力的合力大小F合=mg，方向水平向右，所以小球从A点运动到B点合力做功为2mgL，故B错误；
C．A到B过程，由动能定理有，小球在B点时有
解得小球在B点时轻绳的拉力大小，故C错误；
D．由能量守恒知，小球运动到E点时电势能最大，机械能最小，故D正确。
故选D。
5．（多选）（2023·湖南长沙·长沙一中校考二模）如图所示，两个等大的均匀带电圆环，带电量分别为和，圆心分别为A、C。将它们平行放置，AC与环面垂直，B是AC的中点。现有一个质量为m，带电量为的微粒（重力不计）在电场中运动，关于微粒运动，下列判断正确的是（　　）

A．若使微粒从B点开始沿垂直AC的直线运动，则电势能不变
B．若微粒从A点由静止释放，则微粒在AC间做往返运动
C．若微粒从A点由静止释放，则微粒的电势能先减小后增大，在C点时电势能最小
D．若微粒从A点由静止释放，则微粒的最终速度与经过B点时的速度相等
【答案】AD
【详解】A．取无限远处电势为零，则过B点垂直AC的平面是电势为零的等势面，若使微粒从B点开始沿垂直AC的直线运动，则电势能不变，A正确；
BCD．若微粒从A点由静止释放，则电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，电势能最低的位置在C点右侧场强为零处，微粒最终可到达无限远处，最终速度与经过B点时的速度相等，BC错误，D正确。
故选AD。
6．（多选）（2023·全国·校联考模拟预测）如图，为空间中的八个点，八个点恰好位于正方体的八个顶点。匀强电场恰好沿正方体的对角线方向，已知正方体边长为间的电势差为，下列关于间电势高低及电场强度大小分析正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】AB．由图易得，可得，
根据匀强电场的特点可知，故，A正确，B错误；
CD．与间夹角满足，又
带入数据可得，C正确，D错误。
故选AC。
7．（2023·江西九江·统考三模）如图所示，竖直平面内有一个半径为R的圆周，A、D两点为其水平直径的两端，C、F两点为其竖直直径的两端。空间有与圆周平面平行的匀强电场，在圆周上的B点有一粒子源，在圆周平面内，以相同大小的初速度v0沿各个方向发射质量为m的带相同正电荷的微粒。对比到达圆周上各点的微粒的能量，发现到达D点的微粒机械能最大，到达E点的微粒动能最大。已知重力加速度为g，则（ ）

A．电场的方向沿半径O到E
B．微粒所受电场力大小为
C．微粒动能的最小值为
D．微粒动能的最大值为
【答案】BC
【详解】A．微粒从B到达D点时机械能最大，说明B到D电场力做功最多，由数学关系知过D点做圆的切线为电场的等势线，即电场沿OD方向，故A错误；
B．在E点的微粒动能最大，说明B到E合力做功最多，即重力和电场力的合力方向沿OE方向，根据几何关系有，故B正确；
C．微粒运动到圆周上与E点关于圆心对称的P点时，动能最小，从B点到P点，根据动能定理可得，
解得，故C正确；
D．微粒运动到圆周上与E点时，动能最大，从B点到E点，根据动能定理可得，解得，故D错误。
故选BC。
8．（2023·海南·统考模拟预测）如图所示，曲线为一带电粒子仅在电场力作用下通过一个固定正点电荷产生的电场区域时的运动轨迹，为这条轨迹上的三个点，且带电粒子在点所受的电场力方向与速度方向垂直，由此可知下列说法正确的是（　　）

A．粒子在两点的加速度大小 B．粒子在两点的加速度大小
C．两点的电场强度大小 D．两点的电势
【答案】BD
【详解】ABC．距离正电荷越近，电场强度越大，则，根据牛顿第二定律，
可知，故AC错误，B正确；
D．沿着电场线方向电势逐渐降低，所以离正电荷越远的点，电势较小，故，故D正确；
故选BD。
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图甲所示，圆形区域存在与圆平面平行的匀强电场E（图中未画出），圆的两条直径AB与CD间的夹角为，从A点向圆形平面内不同方向发射速率相同的质子（不计质子间相互作用），发现从圆边界射出的粒子中D点射出的粒子速度最大。以A为坐标原点。沿AB方向建立x坐标轴，B点的坐标为，x轴上从A到B的电势变化如图乙所示，则（　　）

A．CD间电势差 B．CD间电势差
C．电场强度 D．电场强度
【答案】BD
【详解】CD．从圆边界射出的粒子中D点射出的粒子速度最大，可知电场力做功最大，沿电场线方向的位移最大，可知场强沿CD方向，则
可得电场强度，故C项错误，D项正确。
AB．CD间电势差，，故A项错误，B项正确。
故选BD。
10．（2023·云南保山·统考三模）如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内存在一个平行于该区域的匀强电场，MN为圆的一条直径。质量为m、电荷量为+q的粒子从M点以速度v射入电场，速度方向与MN夹角θ=45°，一段时间后粒子运动到N点，速度大小也为v，不计粒子重力，规定M点电势为零。求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）粒子电势能的最大值；
（3）仅改变粒子速度大小，当粒子离开圆形区域的电势能最小时，粒子射入电场的速度大小。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1）从M到N粒子动能不变，电场力不做功，所以MN为等势线，电场线与MN垂直，粒子做类似斜抛的运动，沿MN方向，粒子匀速运动
垂直MN方向
根据牛顿第二定律，，解得
（2）粒子垂直MN方向速度为0时，电势能最大，根据能量守恒
（3）如图所示，当粒子运动到P点时，电势能最小，由

，，联立求得
【高考通关练】
1．（2023·广东·统考高考真题）电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色．透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素．如图所示，胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒．当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊内迁移（每个微粒电量保持不变），像素由黑色变成白色．下列说法正确的有（ ）

A．像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势
B．像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势
C．像素由黑变白的过程中，电场力对白色微粒做正功
D．像素由白变黑的过程中，电场力对黑色微粒做负功
【答案】AC
【详解】A．像素呈黑色时，当胶囊下方的电极带负电，像素胶囊里电场线方向向下，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故A正确；
B．像素呈白色时，当胶囊下方的电极带正电，像素胶囊里电场线方向向上，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故B错误；
C．像素由黑变白的过程中，白色微粒受到的电场力向上，位移向上，电场力对白色微粒做正功，故C正确；
D．像素由白变黑的过程中，黑色微粒受到的电场力向下，位移向下，电场力对黑色微粒做正功，故D错误。
故选AC。
2．（2023·辽宁·统考高考真题）图（a）为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图（b）为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则（　　）

A．P点电势比M点的低
B．P点电场强度大小比M点的大
C．M点电场强度方向沿z轴正方向
D．沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
【答案】CD
【详解】A．因P点所在的等势面高于M点所在的等势面，可知P点电势比M点的高，选项A错误；
B．因M点所在的等差等势面密集，则M点场强较P点大，即P点电场强度大小比M点的小，选项B错误；
C．场强方向垂直等势面，且沿电场线方向电势逐渐降低，可知M点电场强度方向沿z轴正方向，选项C正确；
D．因x轴上个点电势相等，则沿x轴运动的带电粒子，则电势能不变，选项D正确。
故选CD。
3．（2023·全国·统考高考真题）在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP > OM，OM = ON，则小球（ ）

A．在运动过程中，电势能先增加后减少
B．在P点的电势能大于在N点的电势能
C．在M点的机械能等于在N点的机械能
D．从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
【答案】BC
【详解】ABC．由题知，OP > OM，OM = ON，则根据点电荷的电势分布情况可知，φM = φN > φP
则带负电的小球在运动过程中，电势能先减小后增大，且EpP > EpM = EpN
则小球的电势能与机械能之和守恒，则带负电的小球在M点的机械能等于在N点的机械能，A错误、BC正确；
D．从M点运动到N点的过程中，电场力先做正功后做负功，D错误。
故选BC。
4．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）两极板间的场强，
带电粒子所受的静电力
（2）带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有，解得
（3）设带电粒子运动距离时的速度大小为v′，根据功能关系有
带电粒子在前距离做匀加速直线运动，后距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，有，
则该粒子从M板运动到N板经历的时间
5．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿轨道运动。以O为坐标原点建立直角坐标系，在区域有方向与x轴夹角为的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小球从A到B，根据能量守恒定律得，
（2）小球从B到O，根据动能定理有，
解得
（3）小球运动至O点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x轴和y轴，则x轴方向有
竖直方向有，解得，
说明小球从O点开始以后的运动为x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，即做类平抛运动，则有，
联立解得小球过O点后运动的轨迹方程
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题22　　电场能的性质
题型 选择题 命题趋势和备考策略
高考考点 电势高低及电势能大小的比较； 电场中电场强度和电势差的关系； 电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题 电场中的图像问题； 电场力做功与功能关系； 【命题规律】 近3年新高考卷对于本节内容的考查共计31次，主要考查： 电势高低及电势能大小的比较； 电场中电场强度和电势差的关系； 电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题； 电场中的图像问题； 电场力做功与功能关系； 【备考策略】 熟练理解并掌握点电荷周围的电场和电势的分布情况，掌握电场线和等势面的特点；理解带电粒子在电场中运动的能量变化，并利用功能关系解决能量问题；理解电场中的图像所表达的物理含义，并能分析图线的变化处理粒子的运动和能量变化情况；掌握在匀强电场中利用电场力做功的计算方法和能量变化情况。 【命题预测】 本节内容即可单独命题，也可与运动学、动力学和磁场等知识结合在一起，本节内容在高考中题型难度覆盖较广，及可靠查电荷的平面运动情况，空间运动也是近今年的常考范围。2024年考生可适当加大本节内容的刷题量。
新高考 2023 广东卷9题、山东卷11题、浙江卷12题、湖北卷3题、辽宁卷9题、海南卷12题、全国乙卷20题、上海卷8题、
2022 天津卷2题、福建卷3题、重庆卷8题、海南卷8题、江苏卷9题、浙江卷9题、广东卷8题、河北卷6题、湖南卷2题、全国乙卷20题、浙江春招11题
2021 江苏卷10题、海南卷11题、湖北卷8题、辽宁卷6题、天津卷8题、北京卷9题、山东卷6题、浙江卷1题、广东卷6题、全国乙卷19题、全国甲卷19题、河北卷10题
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知识梳理
一、电势能、电势、电势差、等势面 2
二、电场线、电势、电势能、等势面之间的关系 3
三、公式E＝的理解 3
四、静电感应和静电平衡 3
考点突破
考点一　电场能的性质的理解 4
角度1：根据带电粒子的运动轨迹判断运动、受力和电势高低 4
角度2：等量异种电荷周围电势、电势能高低的判断 6
角度3：不等量电荷周围电势、电势能高低的判断 8
考点二　电势差与电场强度的关系 9
考点三　静电场中图象问题 13
角度1：E-x图像分析 13
角度2：φ-x图像分析 14
角度3：Ep-x图像分析 15
考点四　电场中的功能关系 18
微专题突破
一、两个等量异种点电荷电场 20
二、两个等量同种点电荷电场 22
考点过关
【素质基础练】 24
【能力提高练】 30
【高考通关练】 38
一、电势能、电势、电势差、等势面
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功与路径无关，只与 有关．
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于 电场，其中d为沿 的距离．
②WAB＝qUAB，适用于 电场．
2．电势能
(1)定义：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到 位置时静电力做的功．
(2)静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于 ，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.
(3)电势能的相对性：电势能是相对的，通常把电荷离场源电荷 处的电势能规定为零，或把电荷在 表面的电势能规定为零．
3．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的 与它的电荷量的比值．
(2)定义式：φ＝.
(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．
(4)相对性：电势具有 ，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．
4．电势差
(1)定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时， 与移动电荷的 的比值．
(2)定义式：UAB＝.
(3)电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA.
5．等势面
(1)定义：电场中 的各点组成的面．
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时电场力
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
③等差等势面越密的地方电场强度 ，反之
④任意两个等势面都不相交．
二、电场线、电势、电势能、等势面之间的关系
1．电场线与电场强度：电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向．
2．电场线与等势面：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面．
3．电场强度大小与电势：无直接关系，零电势可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高．
4．电势能与电势：正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能大．
三、公式E＝的理解
1．只适用于 电场．
2．d为某两点沿 方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．
3．电场强度的方向是 最快的方向．
四、静电感应和静电平衡
1．静电感应
当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，“近端”出现与施感电荷异种的感应电荷，“远端”出现与施感电荷同种的感应电荷．这种现象叫静电感应．
2．静电平衡
(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生 ，导体处于静电平衡状态．
(2)处于静电平衡状态的导体的特点
①导体内部的场强 ；
②导体是一个等势体，导体表面是等势面；
③导体表面处的场强方向与导体表面 ；
④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上；
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷．
考点一　电场能的性质的理解
1．电势高低的四种判断方法
(1)依据电场线方向：沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)依据电场力做功：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．
(3)电荷的正负：取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．
(4)依据电势能的高低：正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
2．电势能高低的四种判断方法
(1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大．
(2)电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大．
(3)公式法：由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大，Ep的负值越小，电势能越大．
(4)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大时，电势能减小，反之电势能增大．
角度1：根据带电粒子的运动轨迹判断运动、受力和电势高低
【典例1】（2023·全国·统考高考真题）在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
1．某点速度方向即为该点轨迹的切线方向．
2．从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负．
3．结合轨迹、速度方向与电场力的方向，确定电场力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等．
【变式】（2023·全国·高三模拟考试）如图所示，在两个点电荷、产生的电场中，实线为其电场线分布，虚线为电子（不计重力）从A点运动到B点的运动轨迹，则下列判断正确的是（　　）
A．电子经过A点的加速度比经过B点的加速度小 B．的电荷量小于的电荷量
C．电子在A点的电势能大于在B点的电势能 D．两个点电荷连线中点O的场强为零
角度2：等量异种电荷周围电势、电势能高低的判断
【典例2】（2022·河北·统考高考真题）如图，真空中电荷量为和的两个点电荷分别位于点与点，形成一个以延长线上点为球心，电势为零的等势面（取无穷处电势为零），为连线上的一点，S为等势面与直线的交点，为等势面上的一点，下列说法正确的是（　　）
A．点电势低于点电势 B．点电场强度方向指向O点
C．除无穷远处外，MN直线上还存在两个电场强度为零的点
D．将正试探电荷从T点移到P点，静电力做正功
【变式】（2023·全国·高三专题练习）真空中相距为的两个点电荷、，分别固定于轴上，和的两点上，在它们连线上各点的电场强度随变化的关系如图所示，下列判断正确的是（　　）
A．点电荷、一定为同种电荷
B．在轴上，的区域内，有一点电场强度为零
C．点电荷、所带电荷量的绝对值之比为
D．若设无穷远处为电势零点，则处的电势一定为零
角度3：不等量电荷周围电势、电势能高低的判断
【典例3】（2023·海南·统考高考真题）如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中带正电，带负电，为边的四等分点，下列说法正确的是（ ）

A．、两点电场强度相同 B．、两点电势相同
C．负电荷在点电势能比在点时要小 D．负电荷在点电势能比在点时要大
【变式】（2023·河北·模拟预测）在A、B两点放置电荷量分别为和的点电荷，其形成的电场线分布如图所示，C为A、B连线上的一点，并且AB间C点的电场强度最小，D是纸面上的另一点，DC连线与AB垂直，已知无穷远电势为零，电荷Q在其周围产生的电势为。则下列说法正确的是（　　）

A．AB间C点电势最低
B．在整个直线AB上不可能存在另一个与C电场强度相同的点
C．AB连线上B的右侧有一点非无穷远电势和电场强度均为零
D．若将另一负电荷从C点移到D点，电荷电势能减小
考点二　电势差与电场强度的关系
1．在匀强电场中，不与电场线垂直的同一直线上的距离相同的两点间的电势差相等，相互平行的相等线段的两端点电势差也相等．
2．在匀强电场中，不与电场线垂直的同一条直线上或几条相互平行的直线上两点间的电势差与两点间的距离成正比．如图6所示AC∥PR，则有：＝＝＝.
角度1：非匀强电场中电场强度与电势差的关系
【典例4】（多选）（2022·重庆·高考真题）如图为两点电荷Q、的电场等势面分布示意图，Q、位于x轴上，相邻等势面的电势差为。若x轴上的M点和N点位于等势面上，P为某等势面上一点，则（　　）
A．N点的电场强度大小比M点的大 B．Q为正电荷
C．M点的电场方向沿x轴负方向 D．P点与M点的电势差为
1．先确定等势线，根据“两点确定一条直线”，找出电场中电势相等的两个点，然后连接成一条等势线；因匀强电场的电势在一条直线上均匀变化，任一线段中点的电势为两端点电势的平均值．
2．电场线跟等势线一定垂直，作出等势线的垂线即得电场线．
3．比较电势的高低，即沿着电场线的方向，电势逐渐降低；根据电势高低在电场线上标出箭头，表示电场的方向．
【变式】（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P为正电荷。P、Q两点附近电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间电势差相等，a、b、c、d为电场中的4个点。下列说法正确的是（　　）

A．P、Q两点处的电荷带同种电荷
B．c点与d点场强方向相同，电势也相同，a点电场强度小于b点电场强度
C．一负电子从c点到b点电场力做正功 D．负电子在a点电势能比在b点的电势能大
角度2：匀强电场中电场强度与电势差的关系
【典例5】（多选）（2021·海南·高考真题）如图，在匀强电场中有一虚线圆，和是圆的两条直径，其中与电场方向的夹角为，，与电场方向平行，a、b两点的电势差。则（　　）
A．电场强度的大小 B．b点的电势比d点的低
C．将电子从c点移到d点，电场力做正功 D．电子在a点的电势能大于在c点的电势能
【变式】（2024·湖南·校联考二模）有一匀强电场的方向平行于平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，其中a、b、c三点电势分别为0、、，有一电荷量为的点电荷在该电场中运动，下列判断正确的是（　　）

A．y轴为一等势面 B．电荷在该电场中受到的电场力的大小为
C．电荷在该电场中受到的电场力的方向与x轴的夹角为
D．将该点电荷从a点移到b点，其电势能增加
考点三　静电场中图象问题
几种常见图象的特点及规律
v－t图象 根据v－t图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化
φ－x图象 ①电场强度的大小等于φ－x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零；②在φ－x图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向；③在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断
E－t图象 根据题中给出的E－t图象，确定E的方向，再在草稿纸上画出对应电场线的方向，根据E的大小变化，确定电场的强弱分布
E－x图象 ①反映了电场强度随位移变化的规律；②E＞0表示场强沿x轴正方向，E＜0表示场强沿x轴负方向；③图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定
Ep－x图象 ①反映了电势能随位移变化的规律；②图线的切线斜率大小等于电场力大小；③进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况
角度1：E-x图像分析
【典例6】（2023·湖北·模拟预测）已知均匀带电球体在其外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同，而均匀带电球売在其内部任意一点形成的电场强度为零。如图甲所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴。理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化关系如图乙所示，静电力常量为k，则（　　）

A． x2处场强大小为
B．均匀带电球体为等势体
C． x1处电势低于R处电势
D．假设将试探电荷沿x轴移动，则从x1移到R处和从R移到x2处电场力做功相同
角度2：φ-x图像分析
【典例7】（2021·山东·高考真题）如图甲所示，边长为a的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为的点电荷；在区间，x轴上电势的变化曲线如图乙所示。现将一电荷量为的点电荷P置于正方形的中心O点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零。若将P沿x轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是（　　）
A．，释放后P将向右运动 B．，释放后P将向左运动
C．，释放后P将向右运动 D．，释放后P将向左运动
角度3：Ep-x图像分析
【典例8】（多选）（2023·安徽·校联考模拟预测）已知试探电荷在场源点电荷的电场中所具有电势能表达式为，其中为静电力常量，为试探电荷与场源点电荷间的距离，且规定无穷远处的电势能为0。真空中有两个点电荷和，分别固定在坐标轴和的位置上。一带负电的试探电荷在轴上各点具有的电势能随变化关系如图所示，其中试探电荷在A、两点的电势能为零，A点的坐标是点为点电荷右边电势能最小的点，则下列说法正确的是（　　）

A．为正电荷，为负电荷
B．点电荷与电量之比为
C．点对应轴位置的坐标是
D．两点电荷在轴上电场强度相同的点的位置为
【变式1】（多选）（2024·四川巴中·统考模拟预测）有一电场在x轴上各点的电场强度分布如图所示。现将一带正电的粒子（不计重力）从O点静止释放，仅在电场力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则关于该电场在x轴上各点的电势φ、带电粒子的动能、电势能以及动能与电势能之和随x变化的图像，正确的是（　　）

A． B．C． D．
【变式2】（2021·全国·统考模拟预测）空间存在着平行于x轴方向的静电场，A、M、O、N、B为x轴上的点，OA＜OB，OM=ON，AB间的电势φ随x的分布为如图．一个带电粒子在电场中仅在电场力作用下从M点由静止开始沿x轴向右运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．粒子可能带正电 B．粒子一定能通过N点
C．粒子从M向O运动过程所受电场力逐渐增大 D．AO间的电场强度小于OB间的电场强度
【变式3】（2023·湖北·模拟预测）一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O~x2段是关于直线x=x1对称的曲线，x2~x3段是直线，则下列说法正确的是（　　）
A．x1处电场强度最小，但不为零
B．粒子在O~x2段做匀变速运动，x2~x3段做匀速直线运动
C．在O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2=φ0>φ3
D．0~x2段的电场强度大小、方向均不变
考点四　电场中的功能关系
1．电场力做功的计算
(1)由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcos α.
(2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场．
(3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk.
(4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB.
2．几种功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变；
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变；
(3)除重力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化．
(4)所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化．
【典例9】（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板长为L（不考虑边界效应）。t=0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为；平行M板向下的粒子，刚好从N板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则（　　）
A．M板电势高于N板电势 B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度 D．粒子从N板下端射出的时间
（多选）（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校考三模）如图所示，一质量为m、带正电的液滴，在水平向右的匀强电场中运动，运动轨迹在竖直平面内，A、B为其运动轨迹上的两点，已知该液滴在A点的速度大小为，方向与竖直方向的夹角为，它运动到B点时速度大小仍为，方向与竖直方向的夹角为，则液滴从A运动到B的过程（　　）

A．液滴在水平方向和竖直方向的分位移相等 B．重力势能增加
C．电势能增加 D．机械能增加
一、两个等量异种点电荷电场
1．电场特征
(1)两个等量异种点电荷电场电场线的特征是：电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于负电荷；有三条电场线是直线．如图所示．
(2)在两电荷连线上，连线的中点电场强度最小但是不等于零；连线上关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相同，都是由正电荷指向负电荷；由连线的一端到另一端，电场强度先减小再增大．以两电荷连线为x轴，关于x＝0对称分布的两个等量异种点电荷的E－x图象是关于E轴(纵轴)对称的U形图线，如图甲所示．
甲　　　　　　　　乙
(3)在两电荷连线的中垂线上，电场强度以中点处最大；中垂线上关于中点对称的任意两点处场强大小相等，方向相同，都是与中垂线垂直，由正电荷指向负电荷；由中点至无穷远处，电场强度逐渐减小．以两电荷连线中垂线为y轴，关于y＝0对称分布的两个等量异种点电荷在中垂线上的E－y图象是关于E轴(纵轴)对称的形图线，如图乙所示．
2．电势特征
(1)沿电场线，由正电荷到负电荷电势逐渐降低，其等势面如图所示．若取无穷远处电势为零，在两电荷连线上的中点处电势为零．
(2)中垂面是一个等势面，由于中垂面可以延伸到无限远处，所以若取无穷远处电势为零，则在中垂面上电势为零．
(3)若将两电荷连线的中点作为坐标原点，两电荷连线作为x轴，则两个等量异种点电荷的电势φ随x变化的图象如图所示．
【典例10】(多选)某静电场中的一条电场线与x轴重合，其电势的变化规律如图所示．在O点由静止释放一电子，电子仅受电场力的作用，则在－x0～x0区间内(　　)
A．该静电场是匀强电场 B．该静电场是非匀强电场
C．电子将沿x轴正方向运动，加速度逐渐减小 D．电子将沿x轴正方向运动，加速度逐渐增大
二、两个等量同种点电荷电场
1．电场特征
(1)电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；只有两条电场线是直线．(如图所示)
(2)在两电荷连线上的中点电场强度最小为零；连线上关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是指向中点；由连线的一端到另一端，电场强度先减小到零再增大．
(3)若以两电荷连线中点作为坐标原点，沿两电荷连线作为x轴建立直角坐标系，则关于坐标原点对称分布的两个等量同种点电荷在连线方向上的E－x图象是关于坐标原点对称的图线，两个等量正点电荷的E－x图象如图所示的曲线．
(4)在两等量同种电荷的连线中垂线上，以中点最小为零；中垂线上关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向无穷远处；在中垂线上由中点至无穷远处，电场强度先从零开始增大再减小至零，其间必有一个位置场强最大．若把中垂线作为y轴，沿中垂线方向的E－y图象大致如图所示的曲线．
2．电势特征
(1)两个等量正点电荷电场中各点电势均为正值，两个等量负点电荷电场中各点电势均为负值，两个等量正点电荷电场的等势面如图所示．
(2)在两个等量正点电荷连线上，由连线的一端到另一端电势先降低再升高，中点处电势最低但不为零，电势φ随x变化的图象大致如图所示．
(3)在两个等量正点电荷连线的中垂线上中点处电势最高，由中点至无穷远处逐渐降低至零．若把中垂线作为y轴，沿中垂线方向的φ－y图象大致如图所示的曲线．
【典例11】(多选)某静电场中x轴上的电势随x坐标变化的图象如图所示，φ－x图象关于φ轴对称，a、b两点到O点的距离相等．将一电荷从x轴上的a点由静止释放后电荷沿x轴运动到b点，运动过程中电荷只受电场力作用，则下列说法正确的是(　　)
A．该电荷一定带负电
B．电荷在b点时动能为零
C．从O到b，电荷的电势能减小
D．从a到b，电场力对电荷先做正功，后做负功
考点过关
【素质基础练】
1．（2023·天津·模拟预测）一对等量正点电荷电场的电场线（实线）和等势线（虚线）如图所示，A、B为静电场中两点，其电场强度分别是EA、EB，电势分别是ΦA、ΦB，MN为两正电荷连线的中垂面，下列判断正确的是（　　）
A．EA>EB，ΦA<ΦB
B．若将一试探电荷+q缓慢地由A点移动到B点，则需克服电场力做功
C．若一试探电荷-q以初速度v0，由A点运动到B点，则其电势能最终将变大
D．若在平面MN内释放一试探电荷，其可以在该平面内做匀速圆周运动、简谐运动、匀变速直线运动
2．（2022·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）如图，在等边三角形abc中心O处有一带正电的点电荷，d为ac边的中点，则在该点电荷产生的电场中（　　）
A．a、b、c点的电场强度相同 B．a、c、d点的电势差满足
C．电子在a点时的电势能大于在d点的电势能 D．电子在a点时的电势能小于在d点的电势能
3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强电场，在纸面内从正方形的顶点A沿任意方向发射速度相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知经过B点的粒子在B点时的动能是初动能的3倍，经过C点的粒子在C点时的动能是初动能的7倍，则经过D点的粒子在D点时的动能是初动能的（　　）

A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．6倍
4．（2023·上海·统考模拟预测）空间中有一电场，电势分布如图所示，现放入一个负点电荷，随后向右移动此电荷，下列电荷电势能随位置变化的图像正确的是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023·四川成都·成都市第二十中学校校考模拟预测）如图所示，虚线为某电场中的三条电场线1、2、3，实线表示某带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，则下列说法中正确的是（　　）
A．粒子在a点的加速度大小大于在b点的加速度大小
B．粒子在a点的电势能大于在b点的电势能
C．粒子在a点的速度大小大于在b点的速度大小
D．a点的电势高于b点的电势
6．（2023·湖南邵阳·统考模拟预测）某电场的电场线分布如图所示。一带正电荷的粒子仅在电场力的作用下从a点沿电场线运动了b点，则下列说法正确的是（　　）

A．电场力对该正电荷做了正功 B．该正电荷电势能增加了
C．该正电荷在a、b两点受到的电场力Fa>Fb D．该正电荷从a到b做加速运动
7．（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）两个点电荷固定于x轴上，将一带负电的试探电荷从足够远处沿x轴负方向移近（位于坐标原点O），在移动过程中，试探电荷的电势能随位置的变化关系如图所示。则下列判断正确的是（　　）

A．M点场强为零，N点电势为零 B．M点电势为零，N点场强为零
C．带正电，带负电，且电荷量较大 D．带负电，带正电，且电荷量较小
8．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图所示，带电绝缘体球的球心为O，用r表示球内、外各点到球心的距离，其中A、B、C位置离球心的距离分别为、、，用表示球内、外各点电势，其图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．该绝缘体球带负电 B．A点的电场强度小于B点的电场强度
C．B点的电场强度大小为 D．负点电荷在B点的电势能比在C点的电势能小
9．（多选）（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）空间中有两个固定点电荷A和B，带电荷量的绝对值分别为QA和QB，以点电荷A、B连线上某点为原点，以点电荷A和B所在的直线为x轴建立直角坐标系，分别作出部分和图像，如图所示，无穷远处电势为零．则下列说法正确的是（　　）
A．A为正点电荷，B为负点电荷，且QA>QB B．A为负点电荷，B为正点电荷，且QA> QB
C．1是图像，2是图像 D．1是图像，2是图像
10．（2023·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，杆上两点固定两根绳子，两点的间距为，绳1的长度为，绳子另一端共同系一带电量为、质量为的小球，在竖直向上的匀强电场中以某一角速度随杆做匀速圆周运动可以使绳子1、2均处于绷直状态；如果撤去电场，小球以同样的角速度随杆做匀速圆周运动时的圆心刚好是点。重力加速度大小为，求：
（1）小球做匀速圆周运动的角速度；
（2）保持角速度大小不变，且可以使绳子1、2均处于绷直状态，求匀强电场的场强取值范围。

【能力提高练】
1．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）某电场等势面分布情况如图所示，A、B分别为场中两点，一带电粒子在此电场中的轨迹如虚线所示，下列判断正确的是（　　）
A．带电粒子带负电
B．带电粒子在B点的加速度大于在A点的加速度
C．带电粒子运动到B点的速度大于在A点的速度
D．负的点电荷在B点由静止释放，只在电场力的作用下电荷将沿着等势面e运动
2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图所示，其空中有一足够大的水平向右的匀强电场，质量均为、带电量分别为和的两小球同时从点以速度斜向右上方射入匀强电场中，方向与水平方向成，A、B（图中末画出）两点分别为两小球运动轨迹的最高点，带正电的小球经过A点的速度大小仍然为，不考虑两球间的库仑力。下列说法错误的是（　　）

A．两小球同时到A、B两点
B．带负电的小球经过点的速度大小也为
C．两小球到达A、B两点过程中电势能变化量之比为
D．与水平距离之比为
3．（2023·甘肃·统考三模）如图所示，一对面积较大的平行板电容器AB水平放置，A板带正电荷，B板接地，P为两板中点，再使A、B分别以中心点O、O 为轴在竖直平面内转过一个相同的小角度θ，下列结论正确的是（　　）

A．电容器AB的电容不变 B．两板间电场强度变大
C．两板间的P点电势增大 D．两板间的P点电势降低
4．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图所示，一长为L的绝缘轻绳一端系着质量为m、带电荷量为+q的小球（可视为质点）、另一端固定在O点，整个空间存在与竖直方向夹角为的匀强电场。小球绕O点在竖直面ACBD内做圆周运动，其中AB水平，CD竖直，E、F连线与电场平行且经过O点，小球运动到A点时速度最小，为，g为重力加速度，则下列说法正确的是（　　）

A．匀强电场的电场强度大小为 B．小球从A点运动到B点，合力做功为4mgL
C．小球在B点时轻绳的拉力大小为6mg D．小球运动到E点时机械能最小
5．（多选）（2023·湖南长沙·长沙一中校考二模）如图所示，两个等大的均匀带电圆环，带电量分别为和，圆心分别为A、C。将它们平行放置，AC与环面垂直，B是AC的中点。现有一个质量为m，带电量为的微粒（重力不计）在电场中运动，关于微粒运动，下列判断正确的是（　　）

A．若使微粒从B点开始沿垂直AC的直线运动，则电势能不变
B．若微粒从A点由静止释放，则微粒在AC间做往返运动
C．若微粒从A点由静止释放，则微粒的电势能先减小后增大，在C点时电势能最小
D．若微粒从A点由静止释放，则微粒的最终速度与经过B点时的速度相等
6．（多选）（2023·全国·校联考模拟预测）如图，为空间中的八个点，八个点恰好位于正方体的八个顶点。匀强电场恰好沿正方体的对角线方向，已知正方体边长为间的电势差为，下列关于间电势高低及电场强度大小分析正确的是（ ）

A． B． C． D．
7．（2023·江西九江·统考三模）如图所示，竖直平面内有一个半径为R的圆周，A、D两点为其水平直径的两端，C、F两点为其竖直直径的两端。空间有与圆周平面平行的匀强电场，在圆周上的B点有一粒子源，在圆周平面内，以相同大小的初速度v0沿各个方向发射质量为m的带相同正电荷的微粒。对比到达圆周上各点的微粒的能量，发现到达D点的微粒机械能最大，到达E点的微粒动能最大。已知重力加速度为g，则（ ）

A．电场的方向沿半径O到E B．微粒所受电场力大小为
C．微粒动能的最小值为 D．微粒动能的最大值为
8．（2023·海南·统考模拟预测）如图所示，曲线为一带电粒子仅在电场力作用下通过一个固定正点电荷产生的电场区域时的运动轨迹，为这条轨迹上的三个点，且带电粒子在点所受的电场力方向与速度方向垂直，由此可知下列说法正确的是（　　）

A．粒子在两点的加速度大小 B．粒子在两点的加速度大小
C．两点的电场强度大小 D．两点的电势
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图甲所示，圆形区域存在与圆平面平行的匀强电场E（图中未画出），圆的两条直径AB与CD间的夹角为，从A点向圆形平面内不同方向发射速率相同的质子（不计质子间相互作用），发现从圆边界射出的粒子中D点射出的粒子速度最大。以A为坐标原点。沿AB方向建立x坐标轴，B点的坐标为，x轴上从A到B的电势变化如图乙所示，则（　　）

A．CD间电势差 B．CD间电势差
C．电场强度 D．电场强度
10．（2023·云南保山·统考三模）如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内存在一个平行于该区域的匀强电场，MN为圆的一条直径。质量为m、电荷量为+q的粒子从M点以速度v射入电场，速度方向与MN夹角θ=45°，一段时间后粒子运动到N点，速度大小也为v，不计粒子重力，规定M点电势为零。求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）粒子电势能的最大值；
（3）仅改变粒子速度大小，当粒子离开圆形区域的电势能最小时，粒子射入电场的速度大小。

【高考通关练】
1．（2023·广东·统考高考真题）电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色．透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素．如图所示，胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒．当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊内迁移（每个微粒电量保持不变），像素由黑色变成白色．下列说法正确的有（ ）

A．像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势
B．像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势
C．像素由黑变白的过程中，电场力对白色微粒做正功
D．像素由白变黑的过程中，电场力对黑色微粒做负功
2．（2023·辽宁·统考高考真题）图（a）为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图（b）为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则（　　）

A．P点电势比M点的低 B．P点电场强度大小比M点的大
C．M点电场强度方向沿z轴正方向 D．沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
3．（2023·全国·统考高考真题）在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP > OM，OM = ON，则小球（ ）

A．在运动过程中，电势能先增加后减少 B．在P点的电势能大于在N点的电势能
C．在M点的机械能等于在N点的机械能 D．从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
4．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
5．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿轨道运动。以O为坐标原点建立直角坐标系，在区域有方向与x轴夹角为的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。
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