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（总课时27）§4.3相似多边形
【学习目标】了解相似多边形和相似比的概念；【学习重难点】相似多边形基本性质的应用．
【导学过程】
一.知识 回顾：
1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段________．
2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段_________．
3．如图1，在△ABC中，DE∥BC，若，则=（　　）A． B． C． D．
二.探究新知：
1．相似多边形的概念：各角分别____，各边_____的两个多边形叫做相似多边形．如下图，若六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作 ．相似符号“∽”，读作“ ”．
2.相似比概念：相似多边形 的比叫做相似比．如图2，若六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，则== ，因此，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的相似比k1= ；六边形A1B1C1D1E1F1与六边形ABCDEF的相似比k2= ．
3.性质：如果两个多边形相似，则它们的对应角 ，对应边 ．
三.典例与练习：
例1.（1）如图3，判断下面两组图，每组图中的两个图形相似吗？为什么？
（2）如果两个多边形不相似，那么它们的角能对应相等吗？_____,它们的边能对应成比例吗？______.
练习：1.一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如图所示，镶在外围的木质边框宽7.5cm．边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
2两个多边形相似的条件是（ ）
A.对应角相等 B.对应边相等
C.对应角相等，对应边相等 D.对应角相等，对应边成比例
例2.如图5所示，从一张矩形报纸ABCD上剪下一个正方形ABEF，所剩矩形EFDC与原矩形ABCD相似，则原矩形的长与宽的比值为多少？
练习3.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图6所示，它的长为16m，宽为10m，如果中央长方形图案的长为8m，要使中央长方形图案与原矩形地毯相似，那么中央长方形图案的宽为 ．
四.课堂小结：1.两个多边形相似的条件是：对应角相等，对应边成比例。两个条件缺一不可；2.两个重要反例：①两个菱形不一定相似（对应角不一定相等）；②两个矩形不一定相似（对应边不一定成比例）.
五.分层过关：
1.如图7，Rt△ABC∽Rt△DEF，则∠E的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．若五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的
相似比为k1=6，则五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的相似比k2为（ ）
A． 6 B． C．5 D．1
3.已知正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为4cm和cm，则它们的相似比是 ．
4.一个五边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个与它相似的五边形的最长的边长为12，则最短边的边长为 ．
5.等边△ABC和等边相似，相似比为5∶2，若AB=10，则边上的高为 ．
6.将一个三角形和一个矩形按照如图8的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是（　　）
A．新三角形与原三角形相似，B．新矩形与原矩形相似，
C．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似，
D．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似.
7.已知四边形EFGH相似于四边形KLMN，各边长如图9所示，求∠E，∠G，∠N的度数以及x，y，z的值．
思考题：如图10，矩形ABCD的花坛宽AB=20米，长AD=30米．现计划在该花坛四周修筑小路，使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似，并且相对两条小路的宽相等，试问小路的宽x与y的比值是多少？说出你的理由．
C
B
D
A
E
图1
A
B
C
D
E
F
4
A1
C1
D1
E1
B1
F1
（1）
（2）
6
图2
图3
答：_____________________
________________________.
图4
A
F
D
C
E
B
图5
16m
10m
图6
B
F
D
E
A
C
60°
图7
图8
图9
图10
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（总课时27）§4.3相似多边形
一.选择题：
1．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4cm，如果它们的周长和为84cm，那么较大多边形的周长为（C）A．36cm B．42cm C．48cm D．54cm
2.把一个矩形剪去一个尽可能大的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长与宽的比为（ A ）A. B. C. D.
3．（2019·浙江）如图1，矩形ABCD∽矩形DEFC，且相似比为2：1，则AE：ED的值为（ B ）
A.4：1 B.3：1 C.2：1 D.3：2
二.填空题：
4．如图2所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是27cm2
5．在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E，F分别在AD，BC上（点E与点A不重合），矩形CDEF与矩形ABCD相似，那么ED的长为__.
6．如图3，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A=∠D=100 ，∠G=65 ，则∠F=_95 _．
三.解答题:
7．如图4，用一根铁丝分成两段可以分别围成两个相似的正五边形，已知它们的相似比是1：2，其中小正五边形的边长为（x2﹣4）cm，大正五边形的边长为（x2+2x）cm（其中x＞0）．求这这根铁丝的总长．
解：由它们的相似比为1：2，即（x2﹣4）：（x2+2x）=1：2，整理得x2﹣2x﹣8=0，解得x1=4，x2=﹣2（舍去），
当x=4时，x2﹣4=12，x2+2x=24，
∴这根铁丝的总长=5×12+5×24=180（cm）．
8．已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，且AB=8，BC=10，CD=12，A1B1=16，A1D1=18，求DA，B1C1，C1D1的长.
解：∵四边形ABCD四边形A1B1C1D1，∴，
即.∴B1C1=20，C1D1=24，DA=9.
9．如图5，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将四边形ABCD分成的两个四边形AEFD，EBCF相似，若AD=4，BC=9，求AE：EB.
解：∵四边形AEFD与四边形EBCF相似，∴，
又∵AD=4，BC=9，∴.
又∵，∴，∴.
10．在如图6所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角度α的大小．
解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，
所以==，解得x=31.5，y=27．
a=360°﹣（77°+83°+117°）=83°．
四.提高题：
11.在AB=30cm，AD=20cm的矩形花坛四周修小路．
（1）如图7，如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周围成的矩形EFGH和矩形ABCD相似吗？请说明理由．
解（1）如果四周的小路的宽均相等，
那么小路四周所围成的矩形EFGH和矩形ABCD不相似；
设四周的小路的宽为x，
∵，，∴，
∴小路四周所围成的矩形EFGH和矩形ABCD不相似．
（2）如图8，如果相对着的两条小路的宽均相等，试问小路的宽与的比值为多少时，能使小路四周围成的矩形EFGH和矩形ABCD相似？请说明理由．
（2）∵当时，小路四周所围成的矩形EFGH和矩形ABCD相似，解得：,
∴路的宽x与y的比值为2:3时，小路四周所围成的矩形EFGH和矩形ABCD相似．
图2
图1
图3
图4
图5
图6
图7
图8
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（总课时27）§4.3相似多边形
【学习目标】了解相似多边形和相似比的概念；【学习重难点】相似多边形基本性质的应用．
【导学过程】
一.知识回顾：
1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
3．如图1，在△ABC中，DE∥BC，若，则=（C）
A． B． C． D．
二.探究新知:
1．相似多边形的概念：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．如图2，若六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1．相似符号“∽”，读作“相似于”．
2.相似比概念：相似多边形对应边的比叫做相似比．如图2，若六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，则==，因此，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的相似比k1=；六边形A1B1C1D1E1F1与六边形ABCDEF的相似比k2=．
3.性质：如果两个多边形相似，则它们的对应角相等，对应边成比例．
三.典例与练习：
例1.（1）如图3，判断下面两组图，每组图中的两个图形相似吗？为什么？
（2）如果两个多边形不相似，那么它们的角能对应相等吗？能相等,它们的边能对应成比例吗？能成比例.
练习：1.如图4，一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如图所示，镶在外围的木质边框宽7.5cm．边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
解：不相似.理由是：∵外边缘的长是：307.5,宽是：157.5，300:307.5≠150:157.5∴边框的内外边缘所成的矩形不相似.
2.两个多边形相似的条件是（ D ）
A.对应角相等 B.对应边相等
C.对应角相等，对应边相等 D.对应角相等，对应边成比例
例2.如图5，从一张矩形报纸ABCD上剪下一个正方形ABEF，所剩矩形EFDC与原矩形ABCD相似，则原矩形的长与宽的比值为多少？
解：设矩形的长为a,宽为b,由题得：
整理得：,解得：或(舍去)
∴原矩形的长与宽的比值为.
练习3.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图6，它的长为16m，宽为10m，如果中央长方形图案的长为8m，要使中央长方形图案与原矩形地毯相似，那么中央长方形图案的宽为 5m ．
四.课堂小结：1.两个多边形相似的条件是：对应角相等，对应边成比例。两个条件缺一不可；
2.两个重要反例：①两个菱形不一定相似（对应角不一定相等）；
②两个矩形不一定相似（对应边不一定成比例）.
五.分层过关：
1.如图7，Rt△ABC∽Rt△DEF，则∠E的度数为（ C ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．若五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的相似比为k1=6，则五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的相似比k2为（B）A． 6 B． C．5 D．1
3.已知正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为4cm和cm，则它们的相似比是2：或：2．
4.一个五边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个与它相似的五边形的最长的边长为12，则最短边的边长为 4 ．
5.等边△ABC和等边’相似，相似比为5∶2，若AB=10，则边上的高为2或．
6.将一个三角形和一个矩形按照如图8的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是（　A　）
A．新三角形与原三角形相似，B．新矩形与原矩形相似，
C．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似，
D．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似.
7.已知四边形EFGH相似于四边形KLMN，各边长如图9所示，
求∠E，∠G，∠N的度数以及x，y，z的值．
解：∵四边形EFGH∽四边形KLMN,EH:KL=4:10=2:5,
∴EF:KN=x:35=2:5,∴x=14,同理得：y=15,z=25
∵∠E=∠K=67 ,∠G=∠M=107
∴∠N=∠F=360 -∠E-∠G-∠H=360 -67 -107 -143 =43
思考题：如图10，矩形ABCD的花坛宽AB=20米，长AD=30米．现计划在该花坛四周修筑小路，使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似，并且相对两条小路的宽相等，试问小路的宽x与y的比值是多少？说出你的理由．
解：由题知：A′D′=30+2x,A′B′=20+2y
∵A′B′C′D′∽ABCD,∴即：.
化简得：
答：小路的宽x与y的比值是3:2.
C
B
D
A
E
图1
A
B
C
D
E
F
4
A1
C1
D1
E1
B1
F1
（1）
（2）
6
图2
答：不相似.理由：图（1）的对应角不相等；图（2）的对应边不成比例.
图3
图4
A
F
D
C
E
B
图5
16m
10m
图6
B
F
D
E
A
C
60°
图7
图8
图9
图10
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（总课时27）§4.3相似多边形
一.选择题：
1．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4cm，如果它们的周长和为84cm，那么较大多边形的周长为（　　）A．36cm B．42cm C．48cm D．54cm
2.把一个矩形剪去一个尽可能大的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长与宽的比为（ ）A. B. C. D.
3．如图1，矩形ABCD∽矩形DEFC，且相似比为2：1，则AE：ED的值为（ ）
A.4：1 B.3：1 C.2：1 D.3：2
二、填空题：
4．如图2所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是______
5．在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E，F分别在AD，BC上（点E与点A不重合），矩形CDEF与矩形ABCD相似，那么ED的长为________.
6．如图3，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A=∠D=100 ，∠G=65 ，则∠F=_______.
三.解答题:
7．如图4，用一根铁丝分成两段可以分别围成两个相似的正五边形，已知它们的相似比是1：2，其中小正五边形的边长为（x2﹣4）cm，大正五边形的边长为（x2+2x）cm（其中x＞0）．求这这根铁丝的总长．
8．已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，且AB=8，BC=10，CD=12，A1B1=16，A1D1=18，求DA，B1C1，C1D1的长.
9．如图5，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将四边形ABCD分成的两个四边形AEFD，EBCF相似，若AD=4，BC=9，求AE：EB.
10．在如图6所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角度α的大小．
四.提高题：
11.在AB=30cm，AD=20cm的矩形花坛四周修小路．
（1）如图7，如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周围成的矩形EFGH和矩形ABCD相似吗？请说明理由．
（2）如图8，如果相对着的两条小路的宽均相等，试问小路的宽与的比值为多少时，能使小路四周围成的矩形EFGH和矩形ABCD相似？请说明理由．
图3
图2
图1
图4
图5
图6
图7
图8
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