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23 最大公约数应用题
班级 姓名 得分
【知识储备】1. 本单元概念较多，内容比较抽象，主要内容有约数和倍数：能被2、5、3 整除 的数的特征；质数和合数；分解质因数；最大公约数，最小公倍数等。重点是求最大 公约数和最小公倍数，而要理解求最大公约数和最小公倍数的方法，就需要使学生 掌握约数、倍数的含义，能被一些数整除的数的特征，分解质因数等知识。小学阶 段教材中只要求掌握这些概念，知道这些概念之间的联系和区别，能够有条理、有 根据地进行思考，并没有涉及到很多应用和综合应用。但这部分数学知识应用范 围还是很广的，是数学中的一项重要基础知识，在数学知识应用中能解决一些特殊 的有趣的式题。
2. 这类应用题比较开放、灵活，既能激发我们的兴趣，又有一定的难度。因此，深刻理解概念，牢固掌握基础知识，是我们解决这类应用题的前提。
【例1】一张长方形的木板，长7分米5厘米，宽6分米，现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形的边长是整厘米数，有多少种裁法 如果要使裁成的正方形面积最大，可以裁多少块
【解析】先统一单位，7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米，因为要裁成的正方形必须能同时整除75厘米和60厘米，所以边长应是75和60的公约数，75和60的最大公约数是15。它们的公约数就有：1、3、5、15,所以有4种裁法。
根据题意，要使正方形面积最大，那么正方形的边长也应该最大。正方形的边 长应是75和60的最大公约数15,所以可以裁(75×60)÷(15×15)=20(块)。
【解答】
因为
所以，75和60的最大公约数是3×5=15
75和60所有的公约数：1、3、5、15。因此，共有4种裁法。
裁成最大正方形的块数：(75×60)÷(15×15)=20(块)
答：有4种裁法，如果要使裁成的正方形面积最大，可以裁20块。
【例2】 两个合数的积是5766,它们的最大公约数是31,求这两个数分别是 多少
【解析】5766是两个合数之积，5766÷31÷31=6,根据最大公约数的定义和求法，6应是两个合数分别除以它们的最大公约数所得的商的积，将6分解成两个数相乘会出现两种情况：1×6和2×3,用分解的两个数去分别乘最大公约数就得到原来的数，但题中这两个数都是合数，所以第一组数是不合题意的，那么这两个合数应是31×2=6231×3=93
【解答】
5766÷31÷31=6,6是两个合数分别除以最大公约数31后的所得的两个商的积。
6=1×6 6=2×3。如果写成1乘6,求出的两个数中有一个是质数31不符合题意，所以只能写成2乘3。
这两个合数分别是：31×2=62 31×3=93
答：这两个合数分别是62、93。
【例3】有一个非零的自然数分别除300、262、205,得到相同的余数，这个自然 数是几
【解析】这三个数都是由两部分组成的， 一部分是所求自然数的倍数，另一部分是 相同的余数，因此，300-262=38,262-205=57,39和57都应是这个自然数的倍数， 所求的自然数就应是它们的公约数，这个公约数也就是300、260、205的公约数。
【解答】
300-262=38 262-205=57
38和57的公约数是19。(1除外不合题意),所以这个自然数是19。
【例4】将一块长3.75米，宽1.05米，高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，当锯成的正方体小木块的棱长是多少时，小木块的体积最大且没有浪费木料
【解析】3.57米=357厘米 1.05米=105厘米0.84米=84厘米。
把一块大长方体木料锯成同样大小的正方体小木块的棱长应是357、105和84 的公约数，因要求正方体小木块的体积最大，所以正方体小木块的棱长应是357、105和84的最大公约数。
【解答】
因为3.57米=357厘米 1.05米=105厘米 0.84米=84厘米
所以，357、105和84的最大公约数是3×7=21。
答：当锯成的正方体小木块的棱长是21 厘米时，小木块的体积最大且没有浪费木料。
1. 有三根铁丝， 一根长15米， 一根长18米， 一根长27米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长有几米
2. 有三根绳子，它们的长度分别是24米、30米和42米，要把它们截成相等的 短绳，便每根绳子都没有剩余，截成的短绳最长是多少米 三根绳子一共能截成这 样的短绳多少段
3. 一张长方形纸长112厘米，宽80厘米，把它剪成若干个同样大的正方形，使边长是整厘米数且没有剩余，最少能剪多少个
4. 一个三位数，它能被2整除，又有约数5,百位上的数是最小的合数，十位上的数是百位上的数的倍数，这个三位数可能是多少
5. 有 A、B、C、D四个数，已知A、B的最大公约数是70,C、D 的最大公约数是 90,求这四个数的最大公约数。
6. 两个数的最大公约数是6,最小公倍数是504,如果其中一个数是42,那么 另一个数是多少
7.已知两数之和是90,这两个数的最大公约数是6,求这两个数。
8. 两根铁丝分别长65米和91米，用一根木尺分别去丈量它们，都恰好量完而 无剩余，这根木尺最多有多长
9. 有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少 份同样的礼物 在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少
10. 一个数除200余4,除300余6,除500余10,求这个数最大是多少
参考答案
1.要把三根铁丝截成小段，不许有剩余，截成的小段的长一定是15、18、27的公约数，题中是要求每段最长有几米，因此，截成的小段的长应是15、18、27的最大公约数。
15、18和27的最大公约数是3。
答：铁丝每段最长有3米。
2.要把三根绳子截成长短一样的短绳，都没有剩余，每段短绳的长度应是24、30和42的公约数，题目里要求短缆最长，因此，每段短绳应是24、30和42的最大公约数。
24、30和42的最大公约数是2×3=6,也就是每段短绳最长是6米。三根绳子共截的段数：(24+30+42)÷6=16(段)
答：截成的短绳最长是6米，三根绳子一共截成这样的短绳16段。
3.要求剪的正方形最少，那就要使正方形边长尽可能的大且没有剩余，也就是求112和80最大公约数。
所以112和80的最大公约数是2×2×2×2=16
(112÷16)×(80÷16)=35(个)
答：最少能剪35个正方形。
4.根据题意，它能被2整除，又有约数5,那么它的个位上的数字必然是0,百位上的数是最小的合数4,十位上的数是百位上的数的倍数，是4的倍数的一位数有4和8,所以，这个三位数可能是440或480。
5.因为：
故70和90的最大公约数是10。
答：这四个数的最大公约数是10。
6. 504×6就求出两个数的积，所以另一个数应是504×6÷42=27
7. 90÷6=15,15是两个数分别除以最大公约数6后所得的两个商的和，并且这两个数是互质数。
可把15分成两个互质数的数有1和14,2和13,4和11,7和8,由此得出四组不同的答案；
(1)两个数分别是6×1=6,6×14=84
(2)两个数分别是6×2=12,6×13=78
(3)两个数分别是6×4=24,6×11=66
(4)两个数分别是6×7=42,6×8=48
8.木尺的长度应是65和91的公约数，又因求木尺最长是多少，所以木尺的长度应是65和91的最大公约数。
65和91的最大公约数是13。
答：这根木尺最多有13米长。
9.最多分成的份数应是336、252和210的最大公约数。
所以336、252和210的最大公约数是2×3×7=42
也就是最多能分42份。
铅笔有：336÷42=8(支)
橡皮有：252÷42=6(块)
文具盒有：210÷42=5(个)
答：最多可以分成42份同样的礼物，其中每份礼物中，铅笔有8支，橡皮有6块，文具盒有5个。
10.一个数除200余4,也就是一个数能整除200-4;除300余6,也就是一个数能整除300-6;除500余10,也就是一个数能整除500-10,又是求这个数最大是多少，就是求这三个数的最大公约数。
200-4=196 300-6=294 500-10=490
所以196、294和490的最大公约数是2×7×7=98
答：这个数最大是98。

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