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历届高考中的“随机变量及其分布”试题选编（自我测试）
一、选择题
1.(2007安徽理)以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于（ ）
（A）- （B） （C） （D）
2.（2007山东理）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3.（2007浙江文）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）
(A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648
4.（2007浙江理）已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A． B． C． D，
5．（2006江西文）袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，
从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6.（2004广东）一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是
（A）0.1536 （B） 0.1808 （C） 0.5632 （D） 0.9728
7.(2004重庆理)某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ ）
A. B. C. D.
8.（2004辽宁）已知随机变量的概率分布如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
m
则( )
A． B． C． D．
二.填空题:
9.（2007福建理)两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数学期望＝________；
10.（2007浙江理）随机变量的分布列如下：
其中成等差数列，若，则的值是 ．
11.（2007全国Ⅱ理）在某项测量中，测量结果(服从正态分布N（1，(2）（(）0），若(在（0，1）内取值的概率为0.4，则(在（0，2）内取值的概率为 。
12．（2006福建理）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是
13.（2005天津理）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）
14.（2004全国Ⅱ卷理）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为_____________
ξ
0
1
2
P
三、解答题：
15.（2007陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率； （Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）
16.(2007全国Ⅱ理)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96. (1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;
(2)若该批产品共有100件,从中任意抽取2件,?表示取出的?件产品中二等品的件数,求?的分布列.
17．（2006山东理）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ξ的概率分布和数学期望；
(3)计分介于20分到40分之间的概率.
18.（2006湖南理）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):
(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.
19.（2005湖南理）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没游览的景点数之差的绝对值。 （Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
(Ⅱ)记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率。
20.（2004福建理）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。
历届高考中的“随机变量及其分布”试题选编（自我测试）
参考答案
一、选择题：（每小题5分，计40分）
二.填空题:
9. ； 10. ； 11. 0.8 ； 12. ； 13. 4760 ； 14. 0.1，0.6，0.3 ；
三、解答题：
15.（Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，
则，，，
该选手被淘汰的概率
．
（Ⅰ）解法二：记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，
则，，．
该选手被淘汰的概率
．
（Ⅱ）的可能值为，，
，
．
的分布列为
1
2
3
．
16.解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则互斥，且，故
=
==
于是． 解得（舍去）．
（2）的可能取值为．
若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故
． ． ．
所以的分布列为
0
1
2
17. 解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则
解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为
所以.
（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.


所以随机变量的概率分布为
2
3
4
5
因此的数学期望为
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则
18. 解：（Ⅰ）．每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的.
所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是
.
（Ⅱ）．由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布B(5,0.5).从而的数学期望是
E＝，
即平均有2.50家煤矿必须整改.
(Ⅲ)．某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是
19.【正确解答】（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，
P（A3）=0.6.
客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取
值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.
P（=3）=P（A1·A2·A3）+ P（）
= P（A1）P（A2）P（A3）+P（）
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P（=1）=1－0.24=0.76.
所以的分布列为
E=1×0.76+3×0.24=1.48.
（Ⅱ）解法一 因为
所以函数上单调递增，
要使上单调递增，当且仅当
从而
解法二：的可能取值为1，3.
当=1时，函数上单调递增，
当=3时，函数上不单调递增.0
所以
【解后反思】这是一道初等数学与高等数学相结合的中档题.这一类题目要求学生生熟练掌握数学期望、方差的定义、性质和计算，掌握由给出的试验确定随机变量的分布，再计算有关的数字结果.将函数的单调性与高等数学相关系,具有很强的新颖性.
20.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力。满分12分。
解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
2
3
P
甲答对试题数ξ的数学期望
Eξ=0×+1×+2×+3×=.
（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)===，
P(B)===.
因为事件A、B相互独立，
方法一：
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
P()=P()P()=1-)(1-)=.
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P=1-P()=1-=.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
方法二：
∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)
=×+×+×=.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.

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