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专题23 圆的有关性质（30道）
一、单选题
1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，圆周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位线定理，即可求出的长．
【详解】解：连接，

∵的半径为2．，
∴，
∴，
∵D，G分别为的中点，
∴为的中位线，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理．熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题的关键．
2．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用圆周角定理求出，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用垂线的性质及切线的性质得到和，再利用四边形的内角和为进而可求得，再利用等边对等角及三角形的内角和即可求解．
【详解】解：，
，
又是的切线，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，四边形内角和是，等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练掌握其基本知识是解题的关键．
4．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
【答案】A
【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．
【详解】解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，，
，
，
，
即的半径为．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．
5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用圆周角定理求出的度数，然后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又的半径为3，
∴扇形（阴影部分）的面积为．
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键．
6．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点，
由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，

∴，，
∴，
∴扇形与扇形重合，
∴，
∵为等边三角形，，过作于，
∴，，，
∴；
故选C
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键．
7．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论．
【详解】解：四边形内接于，，
，
，
的长．
故选：．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】种草区域的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，利用利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解∶∵，，，
∴种草区域的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式：扇形面积．
9．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出是解答的关键．
10．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．
11．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，结合，可得，再利用圆周角定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．
12．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，等圆和相交于A，B两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明，再把阴影部分面积转换为扇形面积，最后代入扇形面积公式即可．
【详解】如图，连接，，
∵等圆和相交于A，B两点
∴,
∵和是等圆
∴
∴是等边三角形
∴
∵,,
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了相交弦定理，全等的判定及性质，扇形的面积公式，转化思想是解题的关键．
13．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选D．

【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键．
14．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，，作交于点，首先根据勾股定理求出的长度，然后利用解直角三角形求出、的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据角直角三角形的性质求出的长度，最后根据进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接，，作交于点

∵在中，，，，
∴，
∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，
∴是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
15．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明，可得，结合，C为的中点，可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，C为的中点，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．
16．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵圆内接四边形中，，
∴
∴
∵
∴，
∵
∴,
故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）

A．8 B．4 C．3.5 D．3
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可．
【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，，
∴点D、E、F分别是的中点，
∴，
∵的周长为21，
∴即，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．
18．（2023·湖南·统考中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据底面周长等于的长，即可求解．
【详解】解：依题意，的长，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键．
19．（2023·吉林·统考中考真题）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴的度数可能是
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
20．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于是定值，只需求解的最小值即可，作点D关于对称点，连接、、，则最小值为的长度，即阴影部分周长的最小最小值为．利用角平分线的定义可求得，进而利用勾股定理和弧长公式求得和即可．
【详解】解：如图，作点D关于对称点，连接、、，

则，，，
∴，当A、C、共线时取等号，此时，最小，即阴影部分周长的最小，最小值为．
∵平分，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
又，
∴阴影部分周长的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、角平分线的定义、轴对称性质，能利用轴对称性质求解最短路径问题是解答的关键．
二、填空题
21．（2023·江苏·统考中考真题）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径 ．
【答案】
【分析】连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，，如图：
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，是的直径，点，在上．若，
则 度．

【答案】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，可得，，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
23．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）．

【答案】
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键．
24．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．

【答案】
【分析】根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
25．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ．
【答案】1
【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得是解题的关键．
26．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为 ．
【答案】2
【分析】结合题意，根据弧长公式，可求得圆锥的底面圆周长．再根据圆的周长的公式即可求得底面圆的半径长．
【详解】∵母线l长为6，扇形的圆心角，
∴圆锥的底面圆周长，
∴圆锥的底面圆半径．
故答案为：2．
【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图的相关计算，弧长公式等知识．掌握圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长是求解本题的关键．
27．（2023·山东东营·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是 寸．
【答案】26
【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，求解方程可得的值，即为圆的直径．
【详解】解：连接，
，且寸，
寸，
设圆的半径的长为，则，
，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
（寸）．
故答案为：26．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
28．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：正方形，
∴，，
∴，
∵正方形的边长为2，
∴
∴阴影部分的面积为扇形的面积，即，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键．
29．（2023·吉林·统考中考真题）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留）

【答案】
【分析】利用弧长公式直接计算即可．
【详解】∵半径，圆心角，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式，并规范计算是解题的关键．
30．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则 °．

【答案】35
【分析】由题意易得，，则有，然后问题可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为35．
【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
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专题23 圆的有关性质（30道）
一、单选题
1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（ ）

A．2 B． C． D．
2．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
7．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）

A． B． C． D．
8．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（ ）

A． B． C． D．
9．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
10．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
11．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
12．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，等圆和相交于A，B两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
13．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
14．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
15．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）

A． B． C． D．
16．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ）

A． B． C． D．
17．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）

A．8 B．4 C．3.5 D．3
18．（2023·湖南·统考中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）

A． B． C． D．
19．（2023·吉林·统考中考真题）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）

A． B． C． D．
20．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
21．（2023·江苏·统考中考真题）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径 ．
22．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，是的直径，点，在上．若，
则 度．

23．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）．

24．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．

25．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ．
26．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为 ．
27．（2023·山东东营·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是 寸．
28．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ．

29．（2023·吉林·统考中考真题）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留）

30．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则 °．

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