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北师大版数学九年级综合复习学案
——图形的相似
考点1 相似的概念及性质
1. 有下列四种说法，其中说法正确的有( D )
①两个菱形相似;②两个矩形相似;③两个平行四边形相似;④两个正方形相似.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2. 如图，在 中， ， ， 分别是边 ， ， 上的点， ， ，且 ，那么 的值为( A )
第2题图
A. B. C. D.
考点2 相似形的周长与面积
3. 如图，已知 ，且 ，则 ( D )
第3题图
A. B. C. D.
考点3 相似三角形的应用
4. 如图，路灯 距离地面 ，身高 的小明站在距离灯的底部（点 ） 的 处，则小明的影长 为5 .
考点4 平行线分线段成比例定理
5. ，则( C )
A. B. C. D.
6. 如图， .若 ， ，则 10.
第6题图
考点5 位似
7. 如图， 和 是以点 为位似中心的位似三角形，若 为 的中点， ，则 的长为( B )
第7题图
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
8. 已知 与 是关于点 的位似图形，它们的对应点到点 的距离分别为 和 ，则 与 的面积比为( C )
A. B. C. D.
考点6 相似的判定
9. 在 和 中，若 ， ， ， ，则当 3时， .
10. 如图，已知 是 内一点， ， ， 分别是 ， ， 的中点.求证: .
证明： ， ， 分别是 ， ， 的中点， ， ， ，即 ， .
考点7 黄金分割的应用
11. 主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图所示，如果舞台 的长为 ，一名主持人现在站在 处，则她要到达最理想的位置至少走( A )
A. B.
C. D. 或
12. 如图，已知 ， .求证: .
证明： ，
，
.
，
，
.
13. 如图，点 在矩形 的边 上，将 沿 翻折，点 恰好落在 边上的点 处，若 ， ，求 的长.
解： 四边形 是矩形， ， . 将矩形 沿直线 折叠， ， ， ， ， ，
. ， ，设 ，则 ， ， 在 中， ， ，解得 （舍去0根）， .
14. 在如图所示的平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，请以坐标原点 为位似中心，在 轴下方，画出 的位似图形 ，使它与 的位似比为 .
解：如图， 为所作.
15. 如图，已知 ， .
求证:
（1） ;
证明： ，
，即 ，
.
（2）
[答案] ，
，
即 .
， ， .
16. 如图，在平行四边形 中，连接对角线 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，分别交 ， 于点 ， .
（1） 求证: ;
解：证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
.
（2） 若 ， ，求 的长.
解： 四边形 是平行四边形，
，
，
,即 ,解得， .
17. 如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， .
（1） 求证: .
解：证明： ， .
， ， .
（2） 设 ，
① 若 ，求线段 的长;
解： ， . ， ，解得： .
② 若 的面积是20，求 的面积.
[答案] ， ， ， ， ， .
18. 如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ， 分别在 轴， 轴的正半轴上，且满足 .
（1） 求点 ，点 的坐标.
解： ， ， ， 点 ，点 分别在 轴， 轴的正半轴上， 点 ，点 .
（2） 若点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段 由 向 运动，连接 ，是否存在点 ，使以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似 若存在，请求出点 的坐标;若不存在，请说明理由.
[答案]存在.理由如下：由勾股定理得， ， .由勾股定理的逆定理，得 ， ， 是直角三角形， 是直角.存在点 ，使以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似，当 时， ，即 ，解得 ，则 ；当 时， ，即 ，解得 ，过 作 于点 ，则 ，
,
, ， ， ， .综上所述，点 的坐标为 或 ， .
19. 如图，已知 ， ， ，以 为边作矩形 ，使 ，过点 作 垂直 的延长线于点 .
（1） 证明: .
解：证明：如图所示， ， .又 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， .
（2） 当 为何值时， 与 全等 请说明理由，并求出此时点 到 的距离.
解：在 中， .由（1）可知 ， ， 当 时， 与 全等.当 时，可知矩形 为正方形， ，如图，过点 作 交 于点 ，则 就是点 到 的距离，过点 作 交 于点 ，则 与 互余， 与 互余， .
又 ， ， ， ， 四边形 为正方形， ， 点 到 的距离 .
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北师大版数学九年级综合复习学案
——图形的相似
考点1 相似的概念及性质
1. 有下列四种说法，其中说法正确的有( )
①两个菱形相似;②两个矩形相似;③两个平行四边形相似;④两个正方形相似.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2. 如图，在 中， ， ， 分别是边 ， ， 上的点， ， ，且 ，那么 的值为( )
第2题图
A. B. C. D.
考点2 相似形的周长与面积
3. 如图，已知 ，且 ，则 ( )
第3题图
A. B. C. D.
考点3 相似三角形的应用
4. 如图，路灯 距离地面 ，身高 的小明站在距离灯的底部（点 ） 的 处，则小明的影长 为 .
考点4 平行线分线段成比例定理
5. ，则( )
A. B. C. D.
6. 如图， .若 ， ，则 .
第6题图
考点5 位似
7. 如图， 和 是以点 为位似中心的位似三角形，若 为 的中点， ，则 的长为( )
第7题图
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
8. 已知 与 是关于点 的位似图形，它们的对应点到点 的距离分别为 和 ，则 与 的面积比为( )
A. B. C. D.
考点6 相似的判定
9. 在 和 中，若 ， ， ， ，则当 时， .
10. 如图，已知 是 内一点， ， ， 分别是 ， ， 的中点.求证: .
考点7 黄金分割的应用
11. 主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图所示，如果舞台 的长为 ，一名主持人现在站在 处，则她要到达最理想的位置至少走( )
A. B.
C. D. 或
12. 如图，已知 ， .求证: .
13. 如图，点 在矩形 的边 上，将 沿 翻折，点 恰好落在 边上的点 处，若 ， ，求 的长.
14. 在如图所示的平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，请以坐标原点 为位似中心，在 轴下方，画出 的位似图形 ，使它与 的位似比为 .
15. 如图，已知 ， .
求证:
（1） ;
（2）
16. 如图，在平行四边形 中，连接对角线 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，分别交 ， 于点 ， .
（1） 求证: ;
（2） 若 ， ，求 的长.
17. 如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， .
（1） 求证: .
（2） 设 ，
① 若 ，求线段 的长;
② 若 的面积是20，求 的面积.
18. 如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ， 分别在 轴， 轴的正半轴上，且满足 .
（1） 求点 ，点 的坐标.
（2） 若点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段 由 向 运动，连接 ，是否存在点 ，使以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似 若存在，请求出点 的坐标;若不存在，请说明理由.
19. 如图，已知 ， ， ，以 为边作矩形 ，使 ，过点 作 垂直 的延长线于点 .
（1） 证明: .
（2） 当 为何值时， 与 全等 请说明理由，并求出此时点 到 的距离.
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