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北师大版数学九年级综合复习学案
——一元二次方程
考点1 一元二次方程相关概念
1. 下列方程中，是关于 的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 若 ，则 的值为 .
3. 在一元二次方程 中，二次项系数和一次项系数分别是( )
A. 1，4 B. 1， C. 1， D. ，
4. 若方程 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是 .
考点2 直接开平方法解一元二次方程
5. 方程 的解为 .
考点3 配方法解一元二次方程.
6. 用配方法解方程 .
考点4 公式法解一元二次方程
7. 用公式法解一元二次方程 .
考点5 因式分解法解一元二次方程
8. 方程 的解为 .
考点6 一元二次方程根的判别式
9. 一元二次方程 的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不确定
10. 若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是 .
11. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
考点7 一元二次方程根与系数的关系
12. 已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
13. 设 ， 是一元二次方程 的两根，则 .
14.关于 的一元二次方程 有两个实数根，其中一根为 ，则这两根之积为( )
A. B. C. 1 D.
考点8 一元二次方程的应用
15. 在一次同学聚会上，每人都向他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，若设参加聚会的同学有 名，则下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
16. 有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为( )
A. 10 B. 50 C. 55 D. 45
17. 如图，在长为 、宽为 的矩形上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种草坪，要使小路的面积为 ，设道路的宽为 ，则可列方程为 .
18. 解下列方程:
（1） ;
（2） .
19. 已知关于 的方程 ，当 为何值时，方程的两根相互为相反数 并求出此时方程的解.
20.建设美丽城市，改造老旧小区.某市2019年投入资金1 000万元，2021年投入资金1 440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.
（1） 求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率;
（2） 2021 年老旧小区改造的平均费用为每个80万元，2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加 .如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区.
21. 水果店老板以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，老板决定降价销售.
（1） 若这种水果每斤的售价降低 元，则每天的销售量是 斤（用含 的代数式表示）;
（2） 销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每斤的售价定为多少元
22. 如图，有一面积为 的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 ），另三边用竹篱笆围成，但其中一边开了一个用其它材料制作的小门，门宽 ，如果竹篱笆的长为 ，鸡场的宽 为 .
23. 换元法解方程: .
解:设 ，
则原方程可化为 ，
请写出剩余的解答过程.
24. 已知关于 的方程 有两个实数根.
（1） 求 的取值范围;
（2） 设方程两个实数根分别为 ， ，且 ，求实数 的值.
25. 如图，在 中， ， ， ，若点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，两点同时出发.
（1） 经过 时， 的面积为
（2） 经过 时，线段 的长为
（3） 的面积能否为 若能，求出时间;若不能，请说明理由.
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北师大版数学九年级综合复习学案
——一元二次方程
考点1 一元二次方程相关概念
1. 下列方程中，是关于 的一元二次方程的是( D )
A. B. C. D.
2. 若 ，则 的值为2 018.
3. 在一元二次方程 中，二次项系数和一次项系数分别是( B )
A. 1，4 B. 1， C. 1， D. ，
4. 若方程 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是 .
考点2 直接开平方法解一元二次方程
5. 方程 的解为 或 .
考点3 配方法解一元二次方程.
6. 用配方法解方程 .
解： , ,则 ,即 , ， ，即 , .
考点4 公式法解一元二次方程
7. 用公式法解一元二次方程 .
解： , , , ， , . 原方程的解为 , .
考点5 因式分解法解一元二次方程
8. 方程 的解为 或1.
考点6 一元二次方程根的判别式
9. 一元二次方程 的根的情况是( A )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不确定
10. 若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是 .
11. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是( D )
A. B. C. 且 D. 且
考点7 一元二次方程根与系数的关系
12. 已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，下列结论错误的是( C )
A. B. C. D.
13. 设 ， 是一元二次方程 的两根，则 0.
14.关于 的一元二次方程 有两个实数根，其中一根为 ，则这两根之积为( D )
A. B. C. 1 D.
考点8 一元二次方程的应用
15. 在一次同学聚会上，每人都向他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，若设参加聚会的同学有 名，则下列方程正确的是( B )
A. B. C. D.
16. 有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为( C )
A. 10 B. 50 C. 55 D. 45
17. 如图，在长为 、宽为 的矩形上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种草坪，要使小路的面积为 ，设道路的宽为 ，则可列方程为 .
18. 解下列方程:
（1） ;
解：原方程可化为： , 或 ,即 或 ,原方程的解为 , .
（2） .
[答案] , , , 或 ,解得 或 ，原方程的解为 , .
19. 已知关于 的方程 ，当 为何值时，方程的两根相互为相反数 并求出此时方程的解.
解： 关于 的方程 的两根相互为相反数， ，解得 ，则方程为 ，解得 ， .
20.建设美丽城市，改造老旧小区.某市2019年投入资金1 000万元，2021年投入资金1 440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.
（1） 求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率;
解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，依题意得： ，解得： ， （不合题意，舍去）.答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 .
（2） 2021 年老旧小区改造的平均费用为每个80万元，2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加 .如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区.
[答案]设该市在2022年可以改造 个老旧小区，依题意得： ，解得： .又 为整数， 的最大值为18.答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区.
21. 水果店老板以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，老板决定降价销售.
（1） 若这种水果每斤的售价降低 元，则每天的销售量是 斤（用含 的代数式表示）;
（2） 销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每斤的售价定为多少元
解：设这种水果每斤售价降低 元，根据题意得： ，解得： 或 ，当 时，销售量是 ；当 时，销售量是 （斤） 每天至少售出260斤， （元）.答：老板需将每斤的售价定为3元.
22. 如图，有一面积为 的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 ），另三边用竹篱笆围成，但其中一边开了一个用其它材料制作的小门，门宽 ，如果竹篱笆的长为 ，鸡场的宽 为10 .
23. 换元法解方程: .
解:设 ，
则原方程可化为 ，
请写出剩余的解答过程.
解：方程可化为 .解得 , .当 时， ,解得 , ;当 时， ，无实根.故原方程根为 , .
24. 已知关于 的方程 有两个实数根.
（1） 求 的取值范围;
解： ， .
（2） 设方程两个实数根分别为 ， ，且 ，求实数 的值.
[答案]由题意可知： ， ， ， ， ， 或 ，由（1）可知： 舍去， .
25. 如图，在 中， ， ， ，若点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，两点同时出发.
（1） 经过2或4 时， 的面积为
【解法提示】：设运动时间为 ，得 ，解得 ， .故经过2或 ， 的面积等于 .
（2） 经过 或2 时，线段 的长为
【解法提示】：依题意得： ，即 ，整理得： ，解得： ， .
故出发 或 后，线段 的长为 .
（3） 的面积能否为 若能，求出时间;若不能，请说明理由.
解：不存在，理由如下：当 时，依题意有 ，即 ， ，故不存在这样的时刻，使 的面积等于 .
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