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北师大版数学九年级综合复习学案
——圆
考点1 圆的相关概念
1. 下列说法正确的是( C )
A. 弦是直径 B. 弧是半圆
C. 直径是圆中最长的弦 D. 半圆是圆中最长的弧
考点2 垂径定理
2. 如图，在 中， 于点 ， ， ，则 的长为5.
第2题图
考点3 弦、弧、圆心角
3. 如图， 是直径， ， ，则 的度数为 .
第3题图
考点4 圆周角相关知识
4. 如图， 的顶点 ， ， 均在 上，若 ，则 60 .
考点5 圆内接多边形
5. 如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数为( D )
A. B. C. D.
考点6 点与圆的位置关系
6. 在平面直角坐标系中，圆心为坐标系的原点 ， 的直径为10，则点 与 的位置关系为( B )
A. 点 在 上 B. 点 在 外 C. 点 在 内 D. 无法确定
考点7 直线与圆的位置关系
7. 已知 的直径为10，圆心 到直线 的距离为6，则直线 与 的位置关系是( C )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
8. 已知 的半径为2，直线 上有一点 与 的圆心的距离为2，则直线 与 的位置关系为( D )
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相切、相交均有可能
考点8 切线的性质
9. 如图， 是 的切线， 为切点，连接 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 .若 ，且 ，则 的长度为 .
考点9 切线的判定
10. 在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，以点 为圆心，3为半径画 ，则以下说法正确的是( B )
A. 与 轴相切，与 轴相离 B. 与 轴相交，与 轴相切
C. 与 轴相交，与 轴相离 D. 与 轴相离，与 轴相切
11.如图， ， 是 的切线， ， 为切点，若 ，则 的度数为( B )
A. B. C. D.
考点10 正多边形与圆
12. 已知圆的内接正六边形的面积为 ，则该圆的半径为 .
13. 圆内接正十边形的中心角为( B )
A. B. C. D.
考点11 圆的弧长计算
14. 已知 的圆心角所对的弧长为 ，则这条弧所在圆的半径为6.
15. 已知扇形的圆心角为 ，半径为9，则弧长为 .
考点12 圆的扇形面积计算
16. 在圆心角为 的扇形 中，半径 ，则扇形 的面积为 .
17. 一个扇形的弧长是 ，半径是 ，则扇形的面积是48 .
考点13 圆锥的相关计算
18. 已知圆锥的底面半径是4，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积为 .
19. 如图，圆锥的高 ，底面圆半径为3，则圆锥的侧面积为 .
考点14 外心、内心
20. 已知 的三边长分别为6,8，10，则其外接圆的半径为5，内切圆半径为2.
21. 如图， 是 的直径， 是 上一点， 是 延长线上一点，连接 ， ， ，且 .
（1） 求证： 是 的切线；
证明：连接 .
是 的直径， ， ， ， ， ， ，即 ， 为 的半径， 是 的切线.
（2） 若 ，求 的弧长.
解： ， ， ， ， ， ， ， .
22. 如图，在 中， ，点 在边 上，点 在边 上，以 为半径的 经过点 ，交 于点 ，连接 ，且 平分 .
（1） 求证： 是 的切线；
解：证明：连接 .
平分 ， ， ， ， ， ， ，即 为 的半径， 与 相切.
（2） 若 ， 的半径为2，求阴影部分的面积.
[答案] ， ， ， ，又 ， ， 阴影部分的面积 .
23.如图，正方形 内接于 ， 为 的中点，连接 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 .
（1） 求证： ；
解：证明： 四边形 是正方形， ， . ， ， ， .
（2） 若 ，求 和 的长.
解：连接 ，如图.
， ， ， . 为 的中点， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ，
, , . 为 的中点， ， ， ， ， . . .
24. 如图，在 中， ， 是角平分线，以点 为圆心， 为半径的 与 相交于点 .
（1） 求证： 是 的切线；
解：证明：过点 作 于点 ， 平分 ， 是 的半径， ， 是 的半径， 是 的切线.
（2） 若 ， ，求 的长.
解： . 与 相切， 是 的切线， ， ， ， .在 中，设 ，则 ，解得 . .
25.如图，在 中， ， 是 的中点，以 为直径的 与边 交于点 ，连接 .
（1） 求证： 是 的切线；
解：证明：连接 ，
是 的直径， ， 是 的中点， ， ， ， ， ， ， 为 的半径， 是 的切线.
（2） 若 , ，求 的直径的长.
解： 是 斜边上的中线， ， ， ， ， ， ， ,即 , ， 直径的长为 .
26. 如图是由小正方形构成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 经过 ， 两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）.
（1） 在图1中， 经过格点 ，画圆心 ，并画弦 ，使 平分 ；
解：如图1，点 ，线段 即为所求作；
图1
（2） 在图2中， 经过格点 ， 是 与网格线的交点，画圆心 ，并画弦 ，使 .
[答案]如图2，点 ，线段 即为所求作.
图1
27. 如图1， 是 的外接圆， ， 的平分线交 于点 ，交 于点 ，过点 作 的平行线交 的延长线于点 .
（1） 求证： 是 的切线；
解：证明：连接 .
平分 ， ， ， ， ， 为 的半径， 是 的切线.
（2） 如图2，当 时，连接 ，求证： 平分 .
[答案]连接 ， ， ， . 平分 ， ， ， ， ， ， .设 ， ， ， ， ， ， ， ， （舍去）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分 .
28. 如图， 是 的切线， 为切点，直线 交 于 ， 两点，连接 ， .过圆心 作 的平行线，分别交 的延长线、 及 于点 ， ， .
（1） 求证： ；
解：证明：连接 .
是 的切线， ， . 为 的直径， ， . ， ， ， ， .
（2） 若 是 的中点， 的半径为3，求阴影部分的面积.
解： 为 的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
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——圆
考点1 圆的相关概念
1. 下列说法正确的是( )
A. 弦是直径 B. 弧是半圆
C. 直径是圆中最长的弦 D. 半圆是圆中最长的弧
考点2 垂径定理
2. 如图，在 中， 于点 ， ， ，则 的长为 .
第2题图
考点3 弦、弧、圆心角
3. 如图， 是直径， ， ，则 的度数为 .
第3题图
考点4 圆周角相关知识
4. 如图， 的顶点 ， ， 均在 上，若 ，则 .
考点5 圆内接多边形
5. 如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数为( )
A. B. C. D.
考点6 点与圆的位置关系
6. 在平面直角坐标系中，圆心为坐标系的原点 ， 的直径为10，则点 与 的位置关系为( )
A. 点 在 上 B. 点 在 外 C. 点 在 内 D. 无法确定
考点7 直线与圆的位置关系
7. 已知 的直径为10，圆心 到直线 的距离为6，则直线 与 的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
8. 已知 的半径为2，直线 上有一点 与 的圆心的距离为2，则直线 与 的位置关系为( )
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相切、相交均有可能
考点8 切线的性质
9. 如图， 是 的切线， 为切点，连接 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 .若 ，且 ，则 的长度为 .
考点9 切线的判定
10. 在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，以点 为圆心，3为半径画 ，则以下说法正确的是( )
A. 与 轴相切，与 轴相离 B. 与 轴相交，与 轴相切
C. 与 轴相交，与 轴相离 D. 与 轴相离，与 轴相切
11.如图， ， 是 的切线， ， 为切点，若 ，则 的度数为( )
A. B. C. D.
考点10 正多边形与圆
12. 已知圆的内接正六边形的面积为 ，则该圆的半径为 .
13. 圆内接正十边形的中心角为( )
A. B. C. D.
考点11 圆的弧长计算
14. 已知 的圆心角所对的弧长为 ，则这条弧所在圆的半径为 .
15. 已知扇形的圆心角为 ，半径为9，则弧长为 .
考点12 圆的扇形面积计算
16. 在圆心角为 的扇形 中，半径 ，则扇形 的面积为 .
17. 一个扇形的弧长是 ，半径是 ，则扇形的面积是 .
考点13 圆锥的相关计算
18. 已知圆锥的底面半径是4，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积为 .
19. 如图，圆锥的高 ，底面圆半径为3，则圆锥的侧面积为 .
考点14 外心、内心
20. 已知 的三边长分别为6,8，10，则其外接圆的半径为 ，内切圆半径为 .
21. 如图， 是 的直径， 是 上一点， 是 延长线上一点，连接 ， ， ，且 .
（1） 求证： 是 的切线；
（2） 若 ，求 的弧长.
22. 如图，在 中， ，点 在边 上，点 在边 上，以 为半径的 经过点 ，交 于点 ，连接 ，且 平分 .
（1） 求证： 是 的切线；
（2） 若 ， 的半径为2，求阴影部分的面积.
23.如图，正方形 内接于 ， 为 的中点，连接 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 .
（1） 求证： ；
（2） 若 ，求 和 的长.
24. 如图，在 中， ， 是角平分线，以点 为圆心， 为半径的 与 相交于点 .
（1） 求证： 是 的切线；
（2） 若 ， ，求 的长.
25.如图，在 中， ， 是 的中点，以 为直径的 与边 交于点 ，连接 .
（1） 求证： 是 的切线；
（2） 若 , ，求 的直径的长.
26. 如图是由小正方形构成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 经过 ， 两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）.
（1） 在图1中， 经过格点 ，画圆心 ，并画弦 ，使 平分 ；
（2） 在图2中， 经过格点 ， 是 与网格线的交点，画圆心 ，并画弦 ，使 .
27. 如图1， 是 的外接圆， ， 的平分线交 于点 ，交 于点 ，过点 作 的平行线交 的延长线于点 .
（1） 求证： 是 的切线；
（2） 如图2，当 时，连接 ，求证： 平分 .
28. 如图， 是 的切线， 为切点，直线 交 于 ， 两点，连接 ， .过圆心 作 的平行线，分别交 的延长线、 及 于点 ， ， .
（1） 求证： ；
（2） 若 是 的中点， 的半径为3，求阴影部分的面积.
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