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北师大版数学九年级综合复习学案
——二次函数
考点1 二次函数的定义
1. 下列属于二次函数的是( )
A. B. C. D.
2. 若关于 的函数 是二次函数，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
考点2 二次函数的图象和性质（对称轴顶点、最值、增减性）
3. 关于二次函数 ，下列说法中错误的是( )
A. 其图象开口向下 B. 其图象的对称轴是直线
C. 当 时， 随 的增大而增大 D. 其图象的顶点坐标为
4. 抛物线 的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
5. 二次函数 的最小值是 .
6. 在平面直角坐标系中，将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是 .
7. 若点 , , 都在二次函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是 .
考点3 待定系数法求二次函数的解析式
8. 已知抛物线 经过点 ，则抛物线解析式为 .
9. 已知抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 ，则此抛物线的解析式为 .
考点4 二次函数与一元二次方程的关系
10. 抛物线 经过 ， 两点，则关于 的一元二次方程 的解是 .
11. 若函数 的图象与 轴有且只有1个交点，则 的值为 .
12. 如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，当 时， 的取值范围是 .
13. 如图，抛物线 和直线 都经过点 ，抛物线的对称轴为直线 ，那么下列说法正确的是 （填序号）.
是 的解
14. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 与运动时间 之间的关系式为 ，那么小球抛出 后达到最高点.
15. 服装店将进价为每件100元的服装按每件 元出售，每天可销售 件，若想获得最大利润，则 应定为 .
16. 如图用一根长为 的木条做一个“日”字长方形窗框，若 ，则该窗框面积 与 之间的函数关系式为 .
17. 已知二次函数的图象经过 ， 和 三点.
（1） 求二次函数的解析式；
（2） 点 , 在该抛物线上，当 时，比较 与 的大小： .
18. 学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为 的篱笆围成．已知墙长为 ，设花圃垂直于墙的一边长为 ，花圃的面积为 ．
（1） 当 时，求出 的值；
（2） 当 为何值时， 有最大值？最大值是多少？
19. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价1元，则平均每天可多销售2件.
（1） 若平均每天需盈利1 200元，求每件衬衫应降价多少元；
（2） 设每件衬衫降价 元，平均每天盈利为 元，当 为何值时，平均每天盈利最多？
20. 如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，点 在点 的右侧，与 轴相交于点 .
（1） 求点 ， ， 的坐标；
（2） 在抛物线的对称轴上有一点 ，使 的值最小，求点 的坐标；
（3） 为 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 ，使以 ， ， ， 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
21. 对于实数 和 ，定义新运算“ ”：
（1） 若 ，求实数 的值；
（2） 设函数 ，若函数 的图象与 轴有两个交点，求实数 的取值范围.
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北师大版数学九年级综合复习学案
——二次函数
考点1 二次函数的定义
1. 下列属于二次函数的是( D )
A. B. C. D.
2. 若关于 的函数 是二次函数，则 的取值范围是( B )
A. B. C. D.
考点2 二次函数的图象和性质（对称轴顶点、最值、增减性）
3. 关于二次函数 ，下列说法中错误的是( C )
A. 其图象开口向下 B. 其图象的对称轴是直线
C. 当 时， 随 的增大而增大 D. 其图象的顶点坐标为
4. 抛物线 的顶点坐标是( B )
A. B. C. D.
5. 二次函数 的最小值是 .
6. 在平面直角坐标系中，将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是 .
7. 若点 , , 都在二次函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是 .
考点3 待定系数法求二次函数的解析式
8. 已知抛物线 经过点 ，则抛物线解析式为 .
9. 已知抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 ，则此抛物线的解析式为 .
考点4 二次函数与一元二次方程的关系
10. 抛物线 经过 ， 两点，则关于 的一元二次方程 的解是 或3.
11. 若函数 的图象与 轴有且只有1个交点，则 的值为 .
12. 如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，当 时， 的取值范围是 .
13. 如图，抛物线 和直线 都经过点 ，抛物线的对称轴为直线 ，那么下列说法正确的是④（填序号）.
是 的解
14. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 与运动时间 之间的关系式为 ，那么小球抛出3 后达到最高点.
15. 服装店将进价为每件100元的服装按每件 元出售，每天可销售 件，若想获得最大利润，则 应定为150.
16. 如图用一根长为 的木条做一个“日”字长方形窗框，若 ，则该窗框面积 与 之间的函数关系式为 .
17. 已知二次函数的图象经过 ， 和 三点.
（1） 求二次函数的解析式；
解：设二次函数解析式为 ， 抛物线过点 ， ，解得 ， ， 二次函数的解析式 .
（2） 点 , 在该抛物线上，当 时，比较 与 的大小： ..
18. 学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为 的篱笆围成．已知墙长为 ，设花圃垂直于墙的一边长为 ，花圃的面积为 ．
（1） 当 时，求出 的值；
解：由题意可得， ,即 与 的函数关系式是 ；当 时， ，解得： ， , ， 的取值是11.
（2） 当 为何值时， 有最大值？最大值是多少？
[答案]由（1）知， ，而 ， 当 时， 取得最大值，此时 .
19. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价1元，则平均每天可多销售2件.
（1） 若平均每天需盈利1 200元，求每件衬衫应降价多少元；
解：设每件衬衫应降价 元.由题意得： ， ， ， ， ， 尽快减少库存， .
答：每件衬衫应降价20元.
（2） 设每件衬衫降价 元，平均每天盈利为 元，当 为何值时，平均每天盈利最多？
[答案]由题意得： ， 当 时， 当 为15时，平均每天盈利最多.
20. 如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，点 在点 的右侧，与 轴相交于点 .
（1） 求点 ， ， 的坐标；
解：当 时，则 ， 点 ，当 时， ，化简得， ，解得： 或 ， 点 ，点 .
（2） 在抛物线的对称轴上有一点 ，使 的值最小，求点 的坐标；
[答案]如图，连接 ，交对称轴于点 ，连接 点 和点 关于抛物线的对称轴对称， ，要使 的值最小，则应使 的值最小， 与对称轴的交点，使得 的值最小.设 的解析式为 .将 ， 代入 ，得 ，
， 直线 的解析式为 .
抛物线的对称轴为直线 .当 时， ， 点 ；.
（3） 为 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 ，使以 ， ， ， 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
[答案]存在.理由如下：设点 ， ，由（1）知， ， ，当 与 是对角线时， 与 互相平分， ，解得， （舍）或 ， 点 .当 与 是对角线时， 与 互相平分， ， ，解得， ， 或 .当 与 是对角线时， 与 互相平分， ，解得， （舍）或 ，
，即：以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形时，点 的坐标为 或 或 .
21. 对于实数 和 ，定义新运算“ ”：
（1） 若 ，求实数 的值；
解：①当 ，即 时， ，解得： ， ， .
②当 ，即 时， ，解得： .综上， 或 ；
（2） 设函数 ，若函数 的图象与 轴有两个交点，求实数 的取值范围.
[答案]①当 ，即 ， ， 有2个交点， ，解得： .
②当 ，同理可得 ，该函数与 轴只有一个交点，故舍去.综上， .
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