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北师大版数学九年级综合复习学案
——概率的进一步认识
考点1 用列举法、列表法或画树状图求概率
1. 在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其他完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为 .
2. 假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（正，正）的概率是( D )
A. 1 B. C. D.
3. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为( C )
A. B. C. D.
4. 甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“做环保志愿者”和“做交通引导员”两项中的一项，那么两人同时选择“做环保志愿者”的概率是 .
5.即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热.小明去某体育馆锻炼，该体育馆有 、 两个进馆通道和 、 、 三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同.用列表或画树状图的方法列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道 与通道 的概率.
解：树状图如下所示，
由上可得，一共有6种等可能性，其中恰好经过通道 与通道 的可能性有1种， 恰好经过通道 与通道 的概率为 .
考点2 用频率估计概率
6. 当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率.历史上数学家皮尔逊 曾在试验中掷均匀的硬币24 000次，正面朝上的次数是12 012次，频率约为 ，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 .
7. 在一个不透明的袋子里装有红球4个，黄球若干个，这些球除颜色外其他都相同，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.5左右，则袋子中黄球的个数可能是4个.
8. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6.连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为 .
9. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字 ，2，1，再随机摸出一个小球（不放回） ，其数字记为 ，随机摸出另一个小球，其数字记为 ，求满足关于 的方程 有实数根的概率.
解：画树状图得：
有实数根， ， 共有6种等可能的结果，满足关于 的方程 有实数根的有 ， ， 共3种情况， 满足关于 的方程 有实数根的概率是 .
10. 在某十字路口，汽车可直行、可左转、可右转.若这三种可能性相同，求两辆汽车经过该路口都向右转的概率.
解：画树状图得：
共有9种等可能的结果，两辆汽车经过该路口都向右转的有1种情况，
两辆汽车经过该路口都向右转的概率为 .
11. 5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动.八年级（一）班由 、 、 三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛.
（1） 请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果;
解：这三名同学讲故事的顺序： 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ；共6种等可能的情况.
（2） 若 、 两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为 、 、 的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里.先由 随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由 随机摸取1张卡片记下编号，根据换取的卡片内容讲述相关英雄的故事，求 、 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）.
.“杂交水稻之父”袁隆平
.“天眼之父”南仁东
.“航天之父”钱学森
[答案]根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中 、 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的有3种，则 、 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率是 .
12. 有三张卡片（形状、大小、颜色、质地都相同），正面分别写上整式 ， ，3将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为 ，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为 ，于是得到代数式 .
（1） 请用画树状图或列表的方法，写出代数式 所有可能的结果;
解：列表：
3
3
共有6种等可能的情况.
（2） 求代数式 恰好是分式的概率.
[答案]共有6种等可能的结果，其中代数式 恰好是分式的有4种， 概率为 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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——概率的进一步认识
考点1 用列举法、列表法或画树状图求概率
1. 在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其他完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为 .
2. 假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（正，正）的概率是( )
A. 1 B. C. D.
3. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为( )
A. B. C. D.
4. 甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“做环保志愿者”和“做交通引导员”两项中的一项，那么两人同时选择“做环保志愿者”的概率是 .
5.即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热.小明去某体育馆锻炼，该体育馆有 、 两个进馆通道和 、 、 三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同.用列表或画树状图的方法列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道 与通道 的概率.
考点2 用频率估计概率
6. 当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率.历史上数学家皮尔逊 曾在试验中掷均匀的硬币24 000次，正面朝上的次数是12 012次，频率约为 ，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 .
7. 在一个不透明的袋子里装有红球4个，黄球若干个，这些球除颜色外其他都相同，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.5左右，则袋子中黄球的个数可能是 个.
8. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6.连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为 .
9. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字 ，2，1，再随机摸出一个小球（不放回） ，其数字记为 ，随机摸出另一个小球，其数字记为 ，求满足关于 的方程 有实数根的概率.
10. 在某十字路口，汽车可直行、可左转、可右转.若这三种可能性相同，求两辆汽车经过该路口都向右转的概率.
11. 5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动.八年级（一）班由 、 、 三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛.
（1） 请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果;
（2） 若 、 两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为 、 、 的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里.先由 随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由 随机摸取1张卡片记下编号，根据换取的卡片内容讲述相关英雄的故事，求 、 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）.
.“杂交水稻之父”袁隆平
.“天眼之父”南仁东
.“航天之父”钱学森
12. 有三张卡片（形状、大小、颜色、质地都相同），正面分别写上整式 ， ，3将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为 ，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为 ，于是得到代数式 .
（1） 请用画树状图或列表的方法，写出代数式 所有可能的结果;
（2） 求代数式 恰好是分式的概率.
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