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北师大版数学九年级综合复习学案
——特殊的平行四边形
考点1 矩形的性质
1. 如图，在矩形 中， ， ，则 的长是( D )
A. 2 B. C. 4 D. 8
考点2 矩形的判定
2. 下列命题是真命题的是( D )
A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
B. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
D. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
考点3 菱形的性质
3. 如果菱形有一个内角是 ，周长为32，那么较短对角线长是8.
考点4 菱形的判定
4. 若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( C )
A. 矩形
B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形
C. 对角线相等的四边形
D. 对角线互相垂直的四边形
5. 如图，两个完全相同的三角尺 和 在直线 上滑动.当 与 重合时，要使四边形 为菱形，还需添加的一个条件是 （写出一个即可）.
考点5 正方形的性质
6. 已知正方形 的面积为3，则:
（1） 该正方形的边长为 ;
（2） 该正方形的对角线长为 ;
（3） 该正方形的周长为 .
考点6 正方形的判定
7. 下列说法不正确的是( D )
A. 一组邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形
D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
考点7 直角三角形斜边上的中线的性质
8. 如图，在 中， ， 是 的中点， ，则 的长是( B )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 10
9. 已知：如图，在矩形 中， 是 与 的交点，过点 的直线 与 ， 的延长线分别相交于点 ， .
（1） 求证： ；
解：证明： 四边形 是矩形， ， ， .在 与 中， ， .
（2） 当 与 满足什么关系时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？并给出证明.
解：当 时，四边形 是菱形.
证明： ， ， 四边形 是矩形， ， 四边形 是平行四边形. ， 平行四边形 是菱形.
10. 如图，在 中， ，垂足为 ， 是 外角 的平分线， .
（1） 求证： 是等腰三角形；
证明： 是 外角 的平分线， ， ， ， ， , 是等腰三角形.
（2） 若 交 于点 ，连接 ，求证：四边形 为矩形.
[答案] , 是边 的中线， ， , 四边形 为平行四边形， , ， 四边形 为平行四边形. , 平行四边形 为矩形.
11. 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 .
（1） 求证:
解：证明： 是 的中点， ， ， .
（2） 判定四边形 的形状并说明理由.
解：四边形 为矩形.理由如下： ， ， 四边形 为平行四边 形. 四边形 为菱形， ，即 ， 平行四边形 为矩形.
12. 如图，四边形 为平行四边形，过点 作 ，交边 于点 ，交边 延长线于点 .连接 ， ，过点 作 交 的延长线于点 ，已知 .
（1） 求证：四边形 为菱形；
解：证明： 四边形 为平行四边形， ， ， ， 四边形 为平行四边形. ， ， . 平行四边形 为菱形.
（2） 若 ，求 的度数.
解： ， ， . 四边形 为菱形， ， . . ， ， .
13. 如图，在边长为4的正方形 中， 是 的中点， 是 上的一点，且 ，延长 交 的延长线于点 .
（1） 求 的长；
解：在正方形 中， ， ， ， 是 的中点， ， ， ， ， .在 中， .
（2） 求证： 平分 ；
解：证明：由（1）得： ， ， 垂直平分 ， ， ， ， 平分 .
（3） 求 的长.
解：在正方形 中， ， ， .设 ，则 根据勾股定理得： .在 中， , ,解得： , .
14. 如图， 是矩形 的边 延长线上一点，连接 ， ， 交 于点 ，作 交 于点 ， .
（1） 求证：四边形 是菱形；
解：证明： 四边形 是矩形， ， ， 四边形 是平行四边形. , 平行四边形 是菱形.
（2） 若 ， ，求 的长.
解：如图，连接 .
四边形 是菱形， ， ， ， .在 和 中， ， ， ， ，在 中，根据勾股定理，得 ， ，解得 .
15. 如图1，四边形 是正方形， 是 边上任意一点， 于点 ， 且交 于点 .
（1） 求证： ；
解：证明： ， ， ， . 四边形 是正方形， 且 ， . ， .在 和 中， ， ， .
（2） 若 ， ，求 的长；
[答案]方法1：在 中， ， ，根据勾股定理得， ， ， ， ， ，
， .
方法2：在 中， ， ，根据勾股定理得， ， ，在 中， .
（3） 如图2，连接 ， ，判断线段 与 的位置关系并证明.
[答案] .理由如下： ， ， ， .又 四边形 是正方形， .在 和 中， ， ， ， ， ， .
16. 如图，用四根木条钉成矩形框 ，把边 固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）.
（1） 通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段 由 旋转得到，所以 .我们还可以得到 ， ;
【解法提示】： 把边 固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变， 矩形 的各边的长度没有改变， ， ， .
（2） 进一步观察，我们还会发现 ，请证明这一结论;
解：证明： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， .
（3） 已知 ， ，若 恰好经过原矩形 边的中点，求 与 之间的距离.
[答案]如图，过点 作 于点 .
，点 是 的中点， .在 中， ， ， ， ，
， ， ， 与 之间的距离为 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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——特殊的平行四边形
考点1 矩形的性质
1. 如图，在矩形 中， ， ，则 的长是( )
A. 2 B. C. 4 D. 8
考点2 矩形的判定
2. 下列命题是真命题的是( )
A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
B. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
D. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
考点3 菱形的性质
3. 如果菱形有一个内角是 ，周长为32，那么较短对角线长是 .
考点4 菱形的判定
4. 若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( )
A. 矩形
B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形
C. 对角线相等的四边形
D. 对角线互相垂直的四边形
5. 如图，两个完全相同的三角尺 和 在直线 上滑动.当 与 重合时，要使四边形 为菱形，还需添加的一个条件是 （写出一个即可）.
考点5 正方形的性质
6. 已知正方形 的面积为3，则:
（1） 该正方形的边长为 ;
（2） 该正方形的对角线长为 ;
（3） 该正方形的周长为 .
考点6 正方形的判定
7. 下列说法不正确的是( )
A. 一组邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形
D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
考点7 直角三角形斜边上的中线的性质
8. 如图，在 中， ， 是 的中点， ，则 的长是( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 10
9. 已知：如图，在矩形 中， 是 与 的交点，过点 的直线 与 ， 的延长线分别相交于点 ， .
（1） 求证： ；
（2） 当 与 满足什么关系时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？并给出证明.
10. 如图，在 中， ，垂足为 ， 是 外角 的平分线， .
（1） 求证： 是等腰三角形；
（2） 若 交 于点 ，连接 ，求证：四边形 为矩形.
11. 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 .
（1） 求证:
（2） 判定四边形 的形状并说明理由.
12. 如图，四边形 为平行四边形，过点 作 ，交边 于点 ，交边 延长线于点 .连接 ， ，过点 作 交 的延长线于点 ，已知 .
（1） 求证：四边形 为菱形；
（2） 若 ，求 的度数.
13. 如图，在边长为4的正方形 中， 是 的中点， 是 上的一点，且 ，延长 交 的延长线于点 .
（1） 求 的长；
（2） 求证： 平分 ；
（3） 求 的长.
14. 如图， 是矩形 的边 延长线上一点，连接 ， ， 交 于点 ，作 交 于点 ， .
（1） 求证：四边形 是菱形；
（2） 若 ， ，求 的长.
15. 如图1，四边形 是正方形， 是 边上任意一点， 于点 ， 且交 于点 .
（1） 求证： ；
（2） 若 ， ，求 的长；
（3） 如图2，连接 ， ，判断线段 与 的位置关系并证明.
16. 如图，用四根木条钉成矩形框 ，把边 固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）.
（1） 通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段 由 旋转得到，所以 .我们还可以得到 ， ;
（2） 进一步观察，我们还会发现 ，请证明这一结论;
（3） 已知 ， ，若 恰好经过原矩形 边的中点，求 与 之间的距离.
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