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2.1.1 倾斜角与斜率
第 二 章 直线和圆的方程
人教A版2019选修第一册
学习目标
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.
3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.
4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
情境导入
勒奈·笛卡尔（René Descartes，1596-1650）,
法国数学家、科学家和哲学家，堪称17世纪以来欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”.
皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）,17世纪的法国律师，也是一位业余数学家.
他独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理。他的发现比笛卡儿发现解析几何的基本原理还早七年。被誉为“业余数学家之王”.
情境导入
解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的，它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数(有序数对或数组)对应起来，在此基础上建立曲线(点的轨迹)的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质. 解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进人变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础.
坐标法：以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.
解析几何
坐标法
直线的倾斜角
我们知道，点是构成直线的基本元素. 在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来.
直线的倾斜角
思考2： 已知直线 l 经过点P，直线l 的位置能够确定吗？
答 不确定.过一个点有无数条直线.
思考3： 这些直线之间有什么位置上的区别？
它们相对于x轴的倾斜程度不同.
思考1： 在直角坐标系中，过点 P 的一条直线绕点 P 旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？
答 它与x轴的相对位置关系有三种：相交、垂直、平行.
思考：如何描述直线相对于x轴的不同的倾斜程度呢？
直线的倾斜角
直线的倾斜角
当直线与x轴相交时，我们取x轴为基准，x轴的正方向与直线 l 向上的方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角．
并规定：直线 l 与 x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0°.
从而可得直线的倾斜角的范围是 0≤α<180．
P
α
O
x
y
思考：倾斜角相同能确定一条直线吗？
x
o
y
一点+倾斜角 确定一条直线
（两者缺一不可）
直线的倾斜角
直线倾斜角的意义
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度
①平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角;
②倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角;
③倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.
直线的倾斜角
0
1.下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有________个．
2.给出下列命题：
①任意一条直线都有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30π；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
④若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)；.
其中正确命题是________．
①
直线的倾斜角
3.如图，直线l的倾斜角为(　　)
A．30° 　B．150° C.60° D．120°
C
直线斜率
探究：在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α。
(1)已知直线l经过O(0,0)，P，α与O，P的坐标有什么关系？
　如图，＝()，由正切函数的定义，得tan α＝.
(2)类似地，如果直线l经过P1(1,0)，P2(－1,2)，α与P1，P2的坐标有什么关系？
如图，＝(－2,2)，平移到，则点P的坐标为(－2,2)，且直线OP的倾斜角也是α.由正切函数的定义，有tan α＝＝－1.
P
直线斜率
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？
①如图，当向量的方向向上时，＝(x2－x1，y2－y1)．平移到，则点P的坐标为(x2－x1，y2－y1)，且直线OP的倾斜角也是α.由正切函数的定义，有
tan α＝.
直线斜率
②当向量的方向向上时，＝(x1－x2，y1－y2)．平移到，则点P的坐标为(x1－x2，y1－y2)，且直线OP的倾斜角也是α. 如图，由正切函数的定义，也有tan α＝＝.
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？
直线斜率
直线的斜率
（1）直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2 的坐标有如下关系：tan α＝.
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母 k 表示，即 k =tanα（α≠90°）
（2）倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，它们的对应关系：
直线斜率
（3）日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度: 坡度=铅直高度/水平宽度当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的.
（4）如果直线经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2, 那么直线的斜率满足公式:
直线斜率
思考 当直线的倾斜角 由0°逐渐增大到180°时,
其斜率k如何变化 为什么
当0°≤ <90°时, k>0, 且k随 的增大而增大.
当90°< <180°时, k<0, 且k随 的增大而增大.
O
直线斜率
思考 (1) 已知直线上的两点A(x1, y1), B(x2, y2), 运用斜率公式计算直线AB的斜率时, 与A, B两点的顺序有关吗
(2)当直线平行于y轴, 或与y轴重合时, 上述公式还适用吗 为什么
①直线AB的斜率与A, B的顺序无关，即
②当直线平行于y轴，或与y轴重合时，倾斜角为90°，斜率不存在，故不适用斜率公式.
所以若直线一个方向向量的坐标为(x, y), 则
我们知道, 直线AB上的向量 以及与它平行的向量都是直线的方向向量.
因此, 若直线AB的斜率为k, 则它的一个方向向量可以是
也可以是
直线斜率
直线斜率公式
公式特点：
(1)与两点坐标的顺序无关;
(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意不同的两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角；
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时α=90°，斜率k不存在.
经过两点（≠）的直线的斜率公式
直线斜率
1.在直角坐标系中，一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
2.过点M(，)、N(，)的直线的斜率是(　　)
A．1 B．－1 C．2 D.
3.若过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的倾斜角是45°，则y＝________.
B
A
-1
直线斜率
4.如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
O
x
y
A
C
B
解：直线AB的斜率
直线BC的斜率
直线CA的斜率
由及知，直线AB和CA的倾斜角均为锐角；
由知，直线BC的倾斜角为钝角.
小结：
斜率为正，倾斜角为锐角；
斜率为负，倾斜角为钝角；
斜率为0，倾斜角为0°；
斜率不存在时，倾斜角为直角.
5. 已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则 x 等于 ( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
因为， 又A、B、C三点共线，
所以kAB=kAC，即，解得：x=-3.故选C.
C
小结：斜率相等可以作为判断三点是否共线的依据
直线斜率
课堂小结

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