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2.2.2 直线的两点式方程
第 二 章 直线和圆的方程
人教A版2019选修第一册
学习目标
1.掌握直线的两点式方程和截距式方程.
2.会选择适当的方程形式求直线方程.
3.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题.
复习导入
确定直线位置的几何要素有两类：
直线上一点和方向
两点确定一条直线
过点P (x0，y0)，斜率为k的直线l的点斜式方程为：
y－y0＝k(x－x0)
点斜式的特例——斜截式：y＝kx＋b
情境导入
我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面直角坐标系中，给定一个点P0（x0,y0）和斜率k(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线.
若给定直线上两点p1(x1,y1) p2(x2,y2),你能否得出直线的方程呢
直线的两点式方程
1. 已知直线 l 经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线 l 的方程．
方法一：由斜率公式可得：
由直线的点斜式方程可得
，
化简得：.
根据上一节所学的知识，你能找到几种解法呢？
这里用的是直线的点斜式方程.
思考探究
直线的两点式方程
方法二：设直线方程为：y=kx+b（k≠0），由于 l 经过点P1和P2，
所以将两点坐标代入可得：
解方程组得：
所以，直线方程为: y=x+2.
还有什么简单的方法来求解呢？
1. 已知直线 l 经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线 l 的方程．
这里用的是待定系数法和方程的数学思想.
直线的两点式方程
已知直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (其中x1≠x2，y1≠y2)，因为两点确定一条直线，所以直线l是唯一确定的．
即直线l上任意一点P(x，y)坐标与的两点P1，P2的坐标之间有唯一确定的关系．
思考：它们的坐标之间的关系是什么呢？
直线的两点式方程
答：因为所以直线的斜率为k存在，由斜率公式可得，
所以由直线的点斜式方程可得 .
又因为，
思考：一般的，已知直线 l 经过和()两点，如何求直线 l 的方程．
上式可以变形为
这就是经过两点和()的直线方程.
直线的两点式方程
直线的两点式方程
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (其中x1≠x2，y1≠y2)的直线的方程为：
＝．
我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式．
当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为______；
当y1＝y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为______．
x＝x1
y＝y1
两点式的适用条件：直线的两点式方程，
不能用来表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线的方程.
直线的两点式方程
3x－5y＋6＝0
直线的两点式方程
直线的两点式方程
解：将A(a，0），B（0，b)的坐标代入两点式得：
即
x
l
B(0,b)
A(a,0)
O
y
4.已知直线 l 与 x 轴的交点为A(a,0)，与 y 轴的交点为B(0,b)，其中a≠0，b≠0. 求直线 l 的方程.
直线的截距式方程
直线的截距式方程
直线方程由直线在 x 轴和 y 轴的截距确定,所以我们把上面的方程叫做
直线的截距式方程.
直线在x轴的截距
直线在y轴的截距
思考：直线的截距式方程的适用条件是什么？
它是两点式的特例，所以仍然不能表示平行于坐标轴和与坐标轴重合的直线；另外由于a，b在分母上，所以a≠0且b≠0，也不能表示过原点的直线.
直线的截距式方程
1.求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
分析：截距均为0时，设方程为y=kx,截距均不为0时，设为截距式求解.
解：①当截距均为0时，设方程为y=kx,把P(-5，4)代入上式得，
即直线方程为.
②当截距均不为0时，设直线方程为
把P(-5，4)代入上式得
直线方程为-x-y=1,即x+y+1=0.
综上：直线方程为或x+y+1=0.
直线的截距式方程
2.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
若直线 l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线 l 的方程.
解：①当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然互为相反数.
∴a=2,方程即为3x+y=0.
②当直线不过原点时，a≠2,化简可得，得,
即整理得a+1=-1,∴a=-2，即直线方程为x-y-4=0.
直线的截距式方程
直线的截距式方程
直线的截距式方程
直线方程名称 直线方程形式 适用范围
点斜式
斜截式
两点式
截距式
不垂直x轴(斜率k存在)
不垂直x轴(斜率k存在)
不垂直两个坐标轴
不垂直两个坐标
轴且不经过原点
各类方程的适用范围
课堂小结
课堂小结

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