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第4章 指数函数与对数函数
4.3 对数
4.3.1 对数的概念
导入新课
我国经济保持了持续高速的增长.假设2018年我国国内生产总值为a亿元,如果每年平均增长10%,那么经过多少年国内生产总值是2018年的2倍
设经过x 年国内生产总值是2018年的2倍,列式为a(1+10%)x=2a.
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1.探究新知
(1)对数的概念
问题 若2=1.1x,则x称作是以1.1为底的2的对数.你能否据此给出一个一般性的结论
对数的定义:
一般地,如果ax =N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
注意底数的取值范围！
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(2)对数式与指数式的互化
请总结对数与指数之间的关系.
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【说明】
对数式 x=logaN可看作一个记号,表示底为a(a>0,且a≠1),幂为N的指数式表示的方程ax=N(a>0,且a≠1)的解;logaN也可以看作一种
运算,即已知底为a(a>0,且a≠1)幂为N,求幂指数的运算,因此,对数式x=logaN又可看作幂运算的逆运算.
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(3)对数的性质
问题 当a>0,a≠1时,ax=N x=logaN.
①a0=1,a1=a如何转化为对数式
因为a0=1,a1=a(a>0,且a≠1),所以loga1=0,logaa=1.
②负数和0有没有对数
因为a>0,且a≠1,对任意的实数x,ax>0,所以负数和0没有对数.
③根据对数的定义, =
恒等式: =N.
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(4)两类常见的对数
①以10为底的对数叫做常用对数,log10N常记为lg N.
②以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,logeN常记为ln N.
注意：在没有指出对数的底的情况下,一般指常用对数.
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2.应用举例
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课堂练习
C
课堂练习
C
课堂练习
C
A
课堂总结
回顾、梳理本节课的学习内容:
(1)对数的定义及其记法;
(2)对数式与指数式的关系;
(3)自然对数和常用对数的概念.
布置作业
教材练习第1,2,3题.
4.3.2 对数的运算
导入新课
在上一课中, 知道了对数运算可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数幂的运算性质得出对数的运算性质吗
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1.问题探究
问题1 请判断以下两组数是否相等:
(1)lg 100+lg ,lg(100×);(2)log24+log2,log2(4×).
你能看出它们具有怎样的共同点吗
当底数相同时,两个正数的对数之和等于两个正数积的对数.
相等
相等
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当底数相同时,两个正数的对数之和等于两个正数积的对数.
证明:
已知am·an=am+n,设M =am,N =an,于是MN =am+n.
由对数的定义得到M=am m=logaM,N =an n=logaN,
MN=am+n m+n=loga(MN),
所以loga(MN)=logaM+logaN.(不妨记为运算性质(1))
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两个运算性质:
(2)loga=logaM-logaN,即商的对数等于对数的差.
(3)logaMn=nlogaM(n∈R),即一个数n次方的对数等于这个数对数的n倍.
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loga=logaM-logaN,即商的对数等于对数的差.
证明:令M=am,N=an,则=am÷an=am-n.所以m-n=loga.
又因为M=am,N=an,所以m=logaM,n=logaN.
所以logaM-logaN=m-n=loga.
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logaMn=nlogaM(n∈R),即一个数n次方的对数等于这个数对数的n倍.
证明:当n≠0时,令N=logaMn,则M=.
令b=nlogaM,则M=.
所以=,所以N=b,即logaMn=nlogaM.
当n=0时,显然成立.
所以logaMn=nlogaM.
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问题2 你能根据对数的定义推导出下面的公式吗
logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
证明:当a>0,且a≠1,b>0时,若ax=b,①则x=logab.②
在①的两边取以c(c>0,且c≠1)为底的对数,
则logcax=logcb,即xlogca=logcb.所以x=.③
由②③得logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
此式叫对数换底公式.
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2.核心必记
(1)对数的运算性质:
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=logaM+logaN;
②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R).
(2)对数换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
各字母的取值范围有什么限制条件
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3.例题剖析
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课堂练习
C
D
课堂练习
1
2
课堂总结
回顾本节课的学习内容:
(1)对数的运算性质;
(2)对数换底公式.
布置作业
教材练习第1,2,3题.
谢谢！

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