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第4章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用（二）
4.5.2 用二分法求方程的近似解
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问题1 你会求方程ln x+2x-6=0的解吗
问题2 联系函数的零点与方程的解的关系,能否利用函数的有关知识来求它的解呢
方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点 函数y=f(x)有零点.
求方程ln x+2x-6=0的解 求函数f(x)=ln x+2x-6的零点.
函数f(x)=ln x+2x-6的零点是否存在 如何判断呢
利用函数零点存在定理进行判断.
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利用函数零点存在定理可知,函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内存在一个零点,如何求出这个零点呢 大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解.在实际问题中,往往只需求出满足一定精确度的近似解.
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1.问题探究
问题 函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内存在一个零点,如何求出这个零点呢
提示 如果能将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便,可以通过取区间中点的方法,逐步缩小零点所在的范围.
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取区间(2,3)的中点2.5,用计算工具算得f(2.5)≈-0.084.
因为f(2.5)f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.
再取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算工具算得f(2.75)≈0.512.
因为f(2.5)f(2.75)<0,所以零点在区间(2.5,2.75)内.
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由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75),所以零点所在的范围变小了.如果重复上述步骤,那么零点所在的范围会越来越小(如下表和下图).
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这样,就可以通过有限次重复相同的步骤,将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间,区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便,我们把区间的一个端点作为零点的近似值.
如,当精确度为0.01时,因为|2.539 062 5-2.531 25|=0.007 812 5<
0.01,所以区间(2.531 25,2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值,也可以将x=2.531 25作为函数f(x)=ln x+2x-6零点的近似值,也即方程ln x+2x-6=0的近似解.
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2.形成概念
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
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问题1 用二分法求函数零点的近似值,实质上就是通过“取中点”的方法,运用逼近思想逐步缩小零点所在的区间,周而复始怎么办 你能给出一个停下来的标准吗
为了刻画与准确值的接近程度,这里给出了精确度ε,由|a-b|<ε可知,区间[a,b]中任意一个值都是零点x0满足精确度ε的近似值.
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问题2 根据上面求函数f(x)=ln x+2x-6的零点近似值的过程,你能总结用二分法求函数零点的近似值的一般步骤吗
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给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:
(1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0.
(2)求区间(a,b)的中点c.
(3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;
②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c;
③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.
(4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4).
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3.应用举例
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下图表示用二分法求方程近似解过程的程序框图.
课堂练习
B
A
课堂练习
B
课堂练习
C
课堂练习
B
课堂总结
你能对本节课的内容作一个简要的小结吗
二分法的定义;
用二分法求函数零点的近似值(方程的近似解)的一般步骤.
课堂总结
(1)二分法是求方程的近似解的一种常用方法,是数学严谨而科学的体现;
(2)用二分法求方程近似解的步骤让我们感受到程序化的思想,即算法思想;
(3)二分法渗透了无限逼近的思想,即极限思想,用二分法求函数零点的近似值,实质上就是通过“取中点”的方法,运用逼近思想逐步缩小零点所在的区间.
布置作业
教材练习第1,2题.
谢谢！

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