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第4章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.1 对数函数的概念
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问题 在4.2.1的问题2中,我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律.反过来,已知死亡生物体内碳14的含量,如何得知它死亡了多长时间呢 进一步地,死亡时间x是碳14的含量y的函数吗
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1.探究新知
我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律.反过来,已知死亡生物体内碳14的含量,如何得知它死亡了多长时间呢 进一步地,死亡时间x是碳14的含量y的函数吗
你能回答这个问题吗
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你能推导一般情况吗
根据指数与对数的关系,由y=ax(a>0,且a≠1)可以得x=loga y(a>0,且a≠1), x也是y的函数.通常,我们用x表示自变量, y表示函数.为此,将x=loga y(a>0,且a≠1)中的字母x和y对调,写成y=loga x(a>0,且a≠1).
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2.概念形成
对数函数的概念:
一般地,函数y=loga x(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
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3.概念深化
问题 (1)在对数函数的定义中,为什么要限定a>0且a≠1
由对数的定义知a>0,且a≠1.因为根据对数式与指数式的关系, y=loga x可化为ay=x,由指数的概念,要使ay=x有意义,必须规定a>0且a≠1.
(2)为什么对数函数y=loga x(a>0,且a≠1)的定义域是(0,+∞)
对数的真数大于0.因为y=loga x可化为x=ay,不管y取什么值,由指数函数的性质知,ay>0,所以x∈(0,+∞).
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4.应用举例
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课堂练习
C
C
课堂练习
C
课堂总结
回顾本节课的学习内容:对数函数的概念.
你还有什么要和大家分享的 请说一说.
布置作业
教材练习第1,2题.
4.4.2 对数函数的图象和性质
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(1)前面学习指数函数的时候,如何画出的指数函数的图象
(2)前面学习指数函数的时候,根据什么思路研究的指数函数的性质
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1.探究对数函数的图象和性质
问题 选取a的若干值,画出对数函数y=loga x(a>0,且a≠1)的图象,通过观察图象的特征可以得到一些函数的性质,你认为可以从哪些方面进行观察 你能发现函数的哪些性质
(1)观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性 由此你能概括出对数函数的定义域、值域和单调性吗
(2)当a>1时,对数函数的图象位置、公共点、图象变化趋势、定义域、值域和单调性如何 当0精彩课堂
问题 选取a的若干值,画出对数函数y=loga x(a>0,且a≠1)的图象,通过观察图象的特征可以得到一些函数的性质,你认为可以从哪些方面进行观察 你能发现函数的哪些性质
(3)比较a>1与0精彩课堂
问题 选取a的若干值,画出对数函数y=loga x(a>0,且a≠1)的图象,通过观察图象的特征可以得到一些函数的性质,你认为可以从哪些方面进行观察 你能发现函数的哪些性质
(4)将探索的结果填入下表:
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2.反函数
(1)学习了指数函数和对数函数,这两者有什么关联
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(2)对于指数函数y=2x,你能利用指数与对数间的关系,得到与之对应的对数函数吗 它们的定义域、值域之间有什么关系 它们也互为反函数吗
小结
一般地,指数函数y=ax (a>0,且a≠1)与对数函数y=loga x(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域和值域正好互换.
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3.应用举例
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A
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课堂练习
D
课堂练习
D
A
课堂练习
C
A
课堂总结
通过今天的学习,你有什么收获 你还有什么问题
布置作业
1.试说明底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
2.教材练习第2,3题.
4.4.3 不同函数增长的差异
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假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元;
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案
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1.问题探究1
画出函数y=2x和y=2x在区间[0,+∞)上的图象,说明在不同区间内,这两个函数的增长差异.
列表,画图如右侧.
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画出函数y=2x和y=2x在区间[0,+∞)上的图象,说明在不同区间内,这两个函数的增长差异.
增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增大而增大,但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同
在更大的范围内观察这两个函数的增长情况.
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列表,画图如下.
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【小结】
虽然函数y=2x和y=2x在区间[0,+∞)上都单调递增,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大, y=2x的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=2x的增长速度.尽管在x的一定变化范围内,2x会小于2x,但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长,因此,总会存在一个x0,当x>x0时,恒有2x>2x.
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2.结论形成1
一般地,指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长差异都与上述情况类似.即使k 的值远远大于a 的值, y=ax (a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.
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3.问题探究2
画出函数y=lg x, y=x在区间(0,+∞)上的图象,说明在不同区间内,这两个函数的增长差异.
列表,画图如右侧.
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【小结】
虽然函数y=lg x, y=x在区间(0,+∞)上都单调递增,但增长速度存在明显的差异.函数y=x的增长速度保持不变,而y=lg x的增长速度在变化.随着x的增大,函数y=x的图象离x轴越来越远,而函数 y=
lg x的图象越来越平缓,就像与x轴平行一样.
如果将lg x放大1 000倍,再对函数y=1 000lg x和y=x的增长情况进行比较,那么仍有上述规律吗
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4.结论形成2
一般地,虽然对数函数y=loga x(a>1)与一次函数y=kx(k>0)在区间(0,+∞)上都单调递增,但它们的增长速度不同.随着x的增大,一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度,而对数函数y=loga x(a>1)的增长速度越来越慢.即使k的值很小,在一定范围内,loga x可能会大于kx,但由于loga x的增长最终会慢于kx的增长,因此总会存在一个x0,当x>
x0时,恒有loga x精彩课堂
5.问题探究3
(1)画出一次函数y=2x,对数函数y=lg x和指数函数y=2x的图象,并比较它们的增长差异;
随着x的增大,
①y=2x在(0,+∞)上保持固定的增长速度;
②y=2x在(0,+∞)上增长速度越来越快;
③y=lg x在(0,+∞)上增长速度越来越慢.
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(2)试着概括一次函数y=kx(k>0),对数函数y=loga x(a>1)和指数函数y=bx(b>1)的增长差异;
在区间(0,+∞)上,随着x的增大,
①y=kx(k>0)保持固定的增长速度;
② y=loga x(a>1)增长得越来越慢;
③ y=bx(b>1)增长得越来越快.
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(3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
直线上升→匀速增长,
对数增长→缓慢增长,
指数爆炸→增长越来越快.
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6.应用举例
课堂练习
C
课堂练习
C
课堂练习
D
D
课堂总结
你能说出指数函数、对数函数、一次函数增长方式的差异吗
学完本节课,你还有哪些收获与体会
直线上升、指数爆炸、对数增长
布置作业
教材练习第1,2,3题.
谢谢！

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