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第4章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质
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你能画出下列函数的图象吗
(1)f(x)=log2x, f(x)=x;
(2)f(x)=log3x, f(x)=x.
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1.确定画图任务
步骤一:每四人一小组, 用自己喜欢的方法在同一直角坐标系中画出下列对数函数的图象.
(1)y=log2x, y=x;(2)y=log3x, y=x.
步骤二:观察对数函数 y=log2x, y=x与y=log3x, y=x的图象特征,并总结它们有哪些异同点.
观察图象并思考,图象有什么特征 当a不同时,图象有什么特点
步骤三:归纳出能体现对数函数的代表性的图象.
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2.交流画图结果
(1)如图,是对数函数y=log2x, y=x, y=log3x, y=x的图象.
不用描点法,你能画出函数 y=x, y=x的图象吗
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(2)函数 y=loga x(a>1), y=loga x(0精彩课堂
(3)观察图象,说一说对数函数的图象特征.
①图象都在y轴右侧,向y轴正、负方向无限延伸.
②都过(1,0)点.
③当a>1时,图象沿x轴正向逐步上升;当0④图象关于原点和y轴不对称.
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3.探究性质
研究函数的性质有哪些途径
完成如下表格的填写.
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4.学习反函数
(1)画出函数y=2x与函数y=log2x的图象,观察两个解析式与两个图象有什么特点
(2)以2为底的指数函数与对数函数之间有什么关系
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在指数函数y=2x中, x为自变量(x∈R), y是 x的函数( y∈(0,+∞)),而且它是增函数.可以发现,过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线,与y=2x的图象有且只有一个交点.另一方面,根据指数与对数的关系,
由指数式y=2x可得到对数式 x=log2 y.这样,对于任意一个y∈(0,+∞),通过式子x=log2 y, x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说,可以把y作为自变量, x作为y的函数,这时我们就说函数x=log2 y(y∈(0,+∞))是函数y=2x(x∈R)的反函数.同时,函数y=2x(x∈R)也是函数x=log2 y( y∈
(0,+∞))的反函数.
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请仿照上述过程,说明对数函数y=loga x(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数.
在函数x=loga y中, y是自变量, x是函数.但习惯上,我们通常用x表示自变量, y表示函数.为此,我们常对调函数x=loga y中的字母x, y,把它写成y=loga x.这样,对数函数y=loga x(x∈(0,+∞))与指数函数y=ax
(x∈R)互为反函数.
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【小结】
对数函数y=loga x(a>0,且a≠1, x∈(0,+∞))是指数函数y=ax(a>0,且a≠1, x∈R)的反函数;同时,指数函数y=ax(a>0,且a≠1, x∈R)也是对数函数y=loga x(a>0,且a≠1, x∈(0,+∞))的反函数.因此,指数函数y=ax (a>0,且a≠1, x∈R)与对数函数y=loga x(a>0,且a≠1, x∈(0,+∞))互为反函数.
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5.典例剖析
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【小结】
利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小,一般是根据所给对数式的特征,确定一个目标函数,把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量对应的函数值,再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小;当底数为变量时,要分情况对底数进行讨论,来比较两个对数的大小;若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时,可以找一个中间量作为桥梁,通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小,一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较.
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【小知识】
事实上,食品监督检测部门检测纯净水的质量时,需要检测很多项目,pH 的检测只是其中一项.
国家标准规定,饮用纯净水的pH为5.0~7.0.
课堂练习
B
D
课堂练习
C
课堂练习
课堂总结
回顾本节课的学习内容,并从以下几个方面进行思考:
(1)对数函数的图象和性质.
(2)反函数的概念.
布置作业
教材练习第2,3题.
谢谢！

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