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第4章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的解
导入新课
《三国志·魏书》记载:“邓哀王冲字仓舒,少聪察歧嶷,生五六岁,智意所及,有若成人之智.时孙权曾致巨象,太祖(曹操)欲知其斤重,访之群下,咸莫能出其理.冲曰:‘置象大船之上,而刻其水痕所至,称物以载之,则校可知矣.’太祖大悦,即施行焉.”这就是千古传诵、妇孺皆知的曹冲称象的故事.抛除物理中的浮力原理,这其中还运用了转化与化归的思想.那么,在函数和方程中是否也有类似的转化呢
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1.问题探究1
问题1 观察下列三组方程与函数:
利用函数图象探究方程的解和函数图象与x轴的交点的横坐标之间的关系.
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观察发现:
方程x2-2x-3=0的根为-1,3,函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点 (-1,0),(3,0);x2-2x+1=0有两个相等实根,为1,函数y=x2-2x+1的图象与 x轴有唯一交点(1,0);x2-2x+3=0没有实根,函数y=x2-2x+3的图象与x轴无交点.
由此你能得到方程的解和相应函数的图象与x轴交点的坐标有什么联系
【结论】方程的解就是相应函数图象与x轴交点的横坐标.
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2.形成概念
(1)零点的概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
函数的零点是一个点吗
函数的零点是相应函数图象与x轴交点的坐标吗
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前面已经探究了方程的解和相应函数图象与x轴交点坐标间的关系,那函数的零点与方程的解又有怎样的关系
(2)函数的零点与方程的解的关系:方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
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一元二次方程的实数根的个数可以用判别式判断,那根据函数的零点与方程的解的关系,二次函数零点的个数可以怎样判断
(3)二次函数零点个数的判断:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),其判别式 Δ=b2-4ac:
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考察函数①y=lg x,②y=log2(x+1),③y=2x,④y=2x-2的零点.
①y=lg x的零点是 x=1.
②y=log2(x+1)的零点是 x=0.
③y=2x没有零点.
④y=2x-2的零点是 x=1.
【总结】函数的零点即相应方程的解.
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3.深化概念
如何求函数的零点
函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标,求函数的零点即求函数值为0时对应的自变量的值,也就是说,求函数的零点可转化为求对应方程的解.
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4.问题探究2
问题2 探究函数y=x2+4x-5的零点所在区间,及这一区间的端点处函数值的正负情况.
函数y=x2+4x-5的零点为x=-5或1.其中-5∈(-6,-4),1∈(0,2),且 f(-6)f(-4)<0, f(0)f(2)<0.
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观察下列函数的零点及零点所在区间.
(1)f(x)=2x-1;(2)f(x)=log2(x-1).
(1)函数f(x)=2x-1的零点x=∈(0,1),且f(0)f(1)<0;
(2)函数f(x)=log2(x-1)的零点x=2∈,且 f(3)<0.
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5.发现定理
函数零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
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6.深化定理
(1)若函数在区间[a,b]上的图象连续不断,且它在区间[a,b]端点处的函数值异号,则函数在[a,b]内一定存在零点.
(2)若函数在区间[a,b]上的图象连续不断且存在零点,则它在区间[a,b]端点处的函数值可能异号也可能同号.
(3)函数零点存在定理只能判断零点的存在性,不能判断零点的个数.
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7.应用举例
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课堂练习
C
A
课堂练习
C
课堂练习
C
C
课堂总结
这节课你学会了什么知识 有什么收获
课堂总结
1.知识
(1)函数零点的概念.
(2)函数的零点与方程的解的关系.
(3)函数零点存在定理.
2.思想方法
(1)转化思想.
(2)数形结合思想.
布置作业
教材练习第1,2题.
谢谢！

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