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历届高考中的“圆锥曲线与方程”解答题选讲
1．（2006上海理）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
2.（2006北京文）椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且 （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.
3．（2007北京文、理)如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．
（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆过点，且与矩形的
外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
4.（2007福建理)如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且＝。
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，
已知，，求的值。
5．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
（其中O为原点）. 求k的取值范围.
6.（2007全国Ⅱ文、理）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：相切
（1）求圆O的方程 （2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。
7.（2007四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为
坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
8.(2007安徽文)设F是抛物线G:x2=4y的焦点.(Ⅰ)过点P（0，-4）作抛物线G的切线,求切线方程:
（Ⅱ）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点
C,D，求四边形ABCD面积的最小值.
9.（2002广东、河南、江苏）A、B是双曲线x2－＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
10．（2006全国Ⅰ卷理）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量.求：(Ⅰ)点M的轨迹方程；(Ⅱ)的最小值。
11、（2007江苏）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，（1）若，求的值；
(2)若为线段的中点,求证：为此抛物线的切线；
(3)试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。
12．（2007山东文、理）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
历届高考中的“圆锥曲线与方程”解答题选讲
参考答案
1．（2006上海理）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
1.[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－).
∴=3；
当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，
由得
又 ∵ ， ∴，
综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).
该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,
直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；
说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).
2.（2006北京文）椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且 （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.
2..解：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.
在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2－c2=4, 所以椭圆C的方程为＝1.
(Ⅱ)解法一：设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.
已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因为A，B关于点M对称.， 所以
解得， 所以直线l的方程为
即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意)
(Ⅱ) 解法二：已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且
① ②
由①－②得 ③
因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
代入③得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝（x+2），
即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)
3．（2007北京文、理)如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．
（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆过点，且与矩形的
外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
3．解：（I）因为边所在直线的方程为，
且与垂直，所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．即．
（II）由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形外接圆的方程为．
（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以， 即．
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长，半焦距． 所以虚半轴长．
从而动圆的圆心的轨迹方程为．
4.（2007福建理)如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面
上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且＝。
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，
已知，，求的值。
4．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．
（Ⅰ）解法一：设点，则，由＝得：
，化简得．
（Ⅰ）解法二：由＝得：，
，， ．
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．
（Ⅱ）设直线的方程为：．
设，，又，
联立方程组，消去得：
，，故
由，得：，，
整理得：，，
．
5．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
（其中O为原点）. 求k的取值范围.
5.解：（Ⅰ）设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为
（Ⅱ）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即 ①
设，则，
而
于是 ②
由①、②得 故k的取值范围为
6.（2007全国Ⅱ文、理）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：相切
（1）求圆O的方程 （2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。
6．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离， 即．
得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得．
设，由成等比数列，得
，即 ．
由于点在圆内，故
由此得．所以的取值范围为．
7.（2007四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为
坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
7.本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知所以，设，
则
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：
或①
又 ∴
又
∵，即 ∴ ②
故由①、②得或
8.(2007安徽文)设F是抛物线G:x2=4y的焦点.(Ⅰ)过点P（0，-4）作抛物线G的切线,求切线方程:
（Ⅱ）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点
C,D，求四边形ABCD面积的最小值.
8.本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点和焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力，
解：（Ⅰ）设切点知抛物线在Q点处的切线斜率为，故所求切线方程为 即
因为点P（0，-4）在切线上，所以
所以切线方程为y=±2x-4.
(Ⅱ)设
由题设知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0.
因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1.
点A，C的坐标满足方程组 消去y，得
由根与系数的关系知
同理可求得
当k=1时，等号成立.所以，四边形ABCD面积的最小值为32.
9. （2002广东、河南、江苏）A、B是双曲线x2－＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
9.解：(1)依题意，可设直线方程为y＝k(x－1)＋2代入x2－＝1，整理得 (2－k)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0 ①
记A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是方程①的两个不同的实数根，所以2－k2≠0,且x1＋x2＝由N(1,2)是AB中点得(x1＋x2)＝1 ∴ k(2－k)＝2－k2解得k＝1，所易知霰AB的方程为y＝x＋1.(2)将k＝1代入方程①得x2－2x－3＝0解出 x1＝－1,x2＝3由y＝x＋1得y1＝0,y2＝4 即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4)由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2即 y＝3－x 代入双曲线方程，整理得 x2＋6x－11＝0 ②
记C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中点为M(x0,y0)，则x3、x4是方程②的两个的实数根，所以
x3＋x4＝－6, x3x4＝－11
从而 x0＝(x3＋x4)＝－3,y0＝3－x0＝6
|CD|＝ ＝∴ |MC|＝|MD|＝|CD|＝2
又|MA|＝|MB|＝即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.
10．（2006全国Ⅰ卷理）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量.求：(Ⅰ)点M的轨迹方程；(Ⅱ)的最小值。
10.解: 椭圆方程可写为:  +  =1 式中a>b>0 , 且  得a2=4,b2=1,
所以曲线C的方程为: x2+  =1 (x>0,y>0).
y=2(0设P(x0,y0),因P在C上,有0得切线AB的方程为:y=－ (x－x0)+y0 .
设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y=  .
由= +得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:
 +  =1 (x>1,y>2)
(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+  ,
∴| |2= x2－1++5≥4+5=9.且当x2－1= ,即x=>1时,上式取等号.
故||的最小值为3.
11、（2007江苏）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，（1）若，求的值；
(2)若为线段的中点,求证：为此抛物线的切线；
(3)试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。
11.解：（1）设过C点的直线为，所以
，即，
设A，则=，，
因为，所以
，即，
所以，即
所以
（2）设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，
又，所以Q，
因为,所以，所以M,
所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以
因为，所以P为AB的中点。
12．（2007山东文、理）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
12．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：， a=2 , c=1 ,
椭圆的标准方程为．
（2）设．
联立 消去y，整理得，则

又．
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即．
．
．．
解得：，且均满足．
当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．

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