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名师指点解题技巧：二面角的计算方法选讲
二面角是高中数学的主要内容之一，是每年高考数学的一个必考内容，本文主要通过一些典型的例子说明二面角的基本计算方法，供同学们学习参考。
一 、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角的平面角的途径有：
⑴定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线；
⑵三垂线法：如图1，C是二面角的面内
的一个点，于O，只需作OD⊥AB
于D，连接CD，用三垂线定理可证明∠CDO就是
所求二面角的平面角。
⑶垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面，使垂直于二面角的棱，则 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。
例1 如图2，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,
平面VAD⊥底面ABCD．
（1）证明AB⊥平面VAD；
（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
解：（1）证明：

（2）解：取VD的中点E，连结AF，BE，
∵△VAD是正三形，四边形ABCD为正方形，
∴由勾股定理可知，
∴AE⊥VD，BE⊥VD，
∴∠AEB就是所求二面角的平面角.
又在Rt△ABE中，∠BAE=90°，AE=AD=AB，
因此，tan∠AEB=
即得所求二面角的大小为
如图3，AB⊥平面BCD，DC⊥CB，AD与平面BCD成30°的角，且AB=BC.
（1）求AD与平面ABC所成的角的大小；
（2）求二面角C-AD-B的大小；
（3）若AB=2，求点B到平面ACD的距离。
解：(1) ∵AB⊥平面BCD ，
∴∠ADB 就是AD与平面BCD所成的角,即∠ADB=300,
且CD⊥AB，
又∵DC⊥BC，,
∴ CD⊥平面ABC，
∴ AD与平面ABC所成的角为∠DAC ，
设AB=BC=a,则AC=， BD=acot300=,AD=2a, ,
∴ tan∠DAC=, ∴ ,
即，AD与平面ABC所成的角为450.
(2)作CE⊥BD于E，取AD的中点F，连CF，
∵ AB⊥面BCD，
∴ 面ABD⊥面BCD，
又∵ 面ABD面BCD=BD，CE⊥BD，
∴ CE⊥面ABD，
又∵AC=BC=，AF=FD，∴AD⊥EF，
有三垂线定理的逆定理可知，∠CFE就是所求二面角的平面角.
计算可知, ，，
∴ ，∴∠CFE=arcsin.
故，所求的二面角为arcsin
3.略
例3如图4，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O.
（1）证明⊥；
（2）求面与面所成二面角的大小。
解：（1）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形，
∵ P在平面ABC内的射影为O，
∴ PO⊥平面ABF，
∴ AO为PA在平面ABF内的射影；
又∵ O为BF中点，为等腰三角形，
∴ AO⊥BF，
∴ 有三垂线定理可知,PA⊥BF.
（2）∵O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，
∴ A、O、D共线，且直线AD⊥BF，
∵ PO⊥平面ABF，,
∴ 由三垂线定理可知, AD⊥PB,
过O在平面PBF内作OH⊥PB于H，连AH、DH， 则 PB⊥平面AHD,所以为所求二面角平面角。
又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴，，。
，
；
故,所求的二面角为
二、面积射影法：
如图5，二面角为锐二面角, △ABC在半 平面内,
△ABC在平面内的射影为△A1B1C1，那么二面角的大小
.
例4 如图6，矩形ABCD中,AB=6,BC=,沿对角线BD将折起,使点A移至点P,且P在平面BCD内的射影为O,且O在DC上.
（1）求证:PD⊥PC；
（2）求二面角P-DB-C的平面角的余弦值；
（3）求CD与平面PBD所成的角的正弦值.
解: （1）证明: ∵ PC在面BCD内的射影为OC, 且OC⊥BC，
∴由三垂线定理可知，BC⊥PC，又∵PB=6，BC=，
∴PC=而PD=，DC=
∴ 36=DC，∴ PD⊥PC.
（2）
.
设OC=x,则OD=6-x , ∵
∴ , ∴
∴
设二面角P-DB-C的大小为，则

三、空间向量法：
I、先用传统方法作出二面角的平面角，再利用向量的夹角公式进行计算。
例5 如图7，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B-AC-E的大小；
（3）求点D到平面ACE的距离。
解：（1）∵ 二面角D-AB-E为直二面角，AB为棱，CB⊥AB，
∴ CB⊥平面EAB，进而可得，CB⊥AE，
又∵ BF⊥平面ACE，∴ AE⊥BF，
而∴AE⊥平面BCE.
（2）连结BD交AC于点O，连结OF，由于ABCD为正方形，所以OB⊥AC，
又因为BF⊥平面ACE，由三垂线定理的逆定理可知，OF⊥AC，
∴ ∠BOF就是所求二面角的平面角.
在平面ABE内作Ax⊥AB,以A为原点，分别以Ax、AB、AD为x轴、y轴、z轴，建立 如图7的空间直角坐标系，易知△AEB为等腰直角三角形，所以，A ( 0, 0, 0), O ( 0, 1 , 1), B(0, 2, 0), C(0 , 2, 2 ) , E( 1 ,1 ,0 ),设F（m, n, t ），∵ C、E、F三点共线，
∴
∴
又∵ BF⊥AC，∴
∴
∴
∴
故，所求的二面角为arccos II、直接求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求的夹角，再根据法向量分别相对于二面角的方向确定出二面角的大小。一般地，当法向量都是从二面角的内部向外部（或外部向内部）穿行时，二面角的大小就是的夹角的补角；当法向量一个从二面角的内部向外部穿行，另一个从二面角的外部向内部穿行时，二面角的大小就是的夹角。
例6 （2006年四川卷）如图8，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
（Ⅲ）求三棱锥的体积。
解：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则

∵分别是的中点
∴
（1）
取，显然面
又，∴
而面 ∴面
（2）显然，是平面ABCD的一个法向量；设是平面PAE的一个法向量，则而
∴ ∴ 可取
∴
又法向量是从二面角的外部向内部穿行的，法向量是从二面角的内部向外部穿行的.
故，所求二面角为
（3）设为平面的法向量，则
又
∴ 即 ∴可取
∴点到平面的距离为
∵，
∴
∴

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