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3 盈亏问题
班级 姓名 得分
【知识储备】我国有本古老的世界数学名著，叫《九章算术》。因书中共有九章有关实际应 用问题及解法的内容而得名，这本书的第六章是“盈不足章”,也就是专门讨论盈亏问题的。
盈亏问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余(盈);按另一种标准分，分配后又会有不足(亏),求物品的数量和分配对象的数量。盈亏问题基本数量关系是：(盈+亏)÷两次所分之差=分给 对象的数量。
还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：
1.两盈：两次分配都有多余。
2.两亏：两次分配都不够。
3.一盈一足： 一次分配有余， 一次分配正好。
4. 一亏一足： 一次分配不够， 一次分配正好。
这些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。
【例1】五年级一班同学去公园划船，他们租了一些船，如果每船乘坐4人则多 5人；如果每船乘坐5人则船上空出4个座位，问：这个班一共有多少人 租了多少 条船
【解析】这是一道典型的“一盈一亏”题。首先要明白，五年级一班的人数和租 船的条数是不变的，比较两次分配的情况，结果相差5+4=9(人),即每条船上乘 坐4人比每条船上乘坐5人要多余9人，为什么会余下9人呢 因为每条船上少 坐了5-4=1(人),所以用9÷1=9(条),这就是船的条数，再用4×9+5=41(人) 就是五一班的人数。
【解答】(5+4)÷(5-4)=9(条) 4×9+5=41(人) 或5×9-4=41(人)
答：这个班一共有41人，租了9条船。
【例2】张村小学组织学生上山植树，如果每班发45棵树苗，还剩260棵；如果 每班发50棵树苗，还剩200棵，求这个学校有多少个班级 有多少棵树苗
【解析】这是一道“两盈”题，从题意可知，这学校的班级数和要植树的棵数是不 变的，比较两种分配情况，可以得出每班发50棵树苗要比每班发45棵多发260- 200=60(棵),为什么会多发60棵呢 这是因为每班多发了50-45=5(棵)。因此，用60÷5=12(个)就求出了班级的个数，再用45×12+260=800(棵)就是树苗 的总棵数。
【解答】(260-200)÷(50-45)=12(个)；
45×12+260=800(棵) 或50×12+200=800(棵)
答：这个学校有12个班级，有800棵树苗。
【例3】这个星期该小明这一组借书了，如果每人借5本则差17本；如果每人借 3本，则差3本，那么小明这个组共有多少人 他们一共借了多少本书
【解析】这是一道“两亏”题，从题意可以得知，这个组的人数和要借书的本数是 不变的，比较两种借书方法，可以得出每人借5本比每人借3本要多需17-3=14(本),为什么会多需14本书呢 这是因为每人多借了5-3=2(本),每人多借2 本就多需14本，因此，这个组一共的人数是14÷2=7(人),借书的本数是5×7-17=18(本)。
【解答】(17-3)÷(5-3)=7(人)；5×7- 17=18(本) 或 3×7-3=18(本)
答：小明这个组共有7人，他们一共借了18本书。
【例4】幼儿园阿姨给小朋友分糖，如果每人分7块糖则差24块；如果每人分4 块糖正好分完，把糖分给了几个小朋友 一共有多少块糖
【解析】这是一道“一亏一足”题，由题意可知，小朋友的人数和糖的块数是不变 的，比较两次分糖的情况，为什么会相差24块呢 因为每人多分了7-4=3(块)糖，所以用24÷3=8(人)就是小朋友的人数，再用7×8-24=32(块)就是糖的块数。
【解答】24÷(7-4)=8(人)；7×8-24=32(块)或 4×8=32(块)
答：把糖分给了8个小朋友， 一共有32块糖。
【例5】五一中队第一小队去植树，若每人种5棵，则有3棵没人种；若其中2人 各种4棵，其余的人各种6棵，则这些树苗正好种完，问这个小队共多少队员植树，一共种了多少棵树苗
【解析】这道题看起来比较难，如果我们把第二组条件转化一下，其实也是一道 标准的"盈亏问题"应用题。第二组条件中包含着两种种树情况—2人各种4 棵，其余的人各种6棵，如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么就缺 少(6-4)×2=4(棵),这样就可以按盈亏问题来解。
【解答】
[3+(6-4)×2]÷(6-5)
=7÷1
=7(人)
5×7+3=38(棵)
答：这个小队共7个队员植树， 一共种了38棵树苗。
【例6】小明和小青都买了一套相同的信封和信纸。小明在每个信封里装1张 信纸，结果用完所有的信封后还剩50张信纸；小青在每个信封里装3张信纸，结果 用完所有的信纸后还剩50个信封，问他们各有信封多少个 信纸多少张
【解析】这道题也是难在第二组条件的叙述上了，我们只要把“小青在每个信封 里装3张信纸，结果用完所有的信纸后还剩50个信封”转化为“小青在每个信封里 装3张信纸，结果差3×50=150(张)信纸",这就成为一道标准的“一盈一亏”应用 题了，我们就可以按以上的做题方法去解决。
【解答】
(50+3×50)÷(3-1)
=200÷2
=100(个)
1×100+50=150(张) 或 3×100-3×50=150(张)
答：他们各有信封100个，信纸150张。
1. 学校给参加夏令营的同学租了几辆大客车，若每辆车乘28人，则有13名同学上不了车；若每辆车乘32人，则还有3个空座，问：有多少名同学 多少辆客车
2. 幼儿园老师给小朋友分梨，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6个，问：有多少个小朋友 有多少个梨
3.有一堆螺丝和螺母，若1个螺丝配2个螺母，则多10个螺母；若1个螺丝配3个螺母，则少6个螺母，问：螺丝、螺母各有多少个
4. 老师把一些铅笔奖给优秀学生，每人5支则多4支；每人7支则少4支，问： 老师有多少支铅笔 奖给几个优秀学生
5.张红拿一根绳子在一个圆柱上绕，绕2圈时绳子还余2.86米，但要绕5圈 还差1.85米，问：这根绳子长多少米 圆柱的周长是多少米
6.小颖去买练习本，她付给营业员的钱买4本多1元，买6本又差2元，问：小 颖付给营业员多少元 每个练习本多少元
7. 小红去看望生病的奶奶，若用所带的钱买2.5千克香蕉还差1.4元；若用所 带的钱买2千克的香蕉还余1.1元，求小红身上共带了多少钱
8. 有苹果若干个，分给一些小朋友，如果每人分3个则多34个；如果每人分5 个，则余10个，求苹果有多少个 小朋友有多少人
9. 有一个班的学生去划船，他们算了一下，如果增加1条船正好每条船坐6 人；如果减少1条船正好每条船坐9人，这个班共有多少人
10.用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过 井台9米；把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米，求绳子长和井深。
11. 某班学生到山上种树，如果每人都种16棵，还有24棵没人种；如果每人种 19棵，还有6棵没人种，问；每人需要种多少棵正好把树种完
12. 爸爸买回一筐梨按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个 梨；如果每天吃6个，那么还多出8个梨，问：爸爸买回多少个梨 计划吃儿天
13. 五(1)班同学去植树，如果每人种8棵则少120棵树；如果每人种5棵则 正好种完，问：五(1)班同学共有多少人 共种树多少棵
14. 一个修路队修一条公路，每天如果铺260米，铺完全路长就得延长8天；每 天如果铺300米，铺完全路长仍得延长4天，求这条公路长多少米
15.某单位租汽车去春游，如果每辆车都坐11人，则空出8个座位；如果每辆 车坐16人，则可空出3辆车。问：有多少人去春游 租了几辆车
16.学校组织同学们乘车去参观博物馆，原计划每车坐30人，还剩下1人，后 来又临时增加了100人，汽车却比原来少1辆，这样每辆车要坐36人，还剩下5个 人，问：原计划乘坐几辆车 原计划去多少人
17.学校给一批新入学的学生分配宿舍，若每个房间住12人，则34人没有位 置；若每个房间住14人，则空出4个房间，求学生宿舍有多少间 住宿的学生有多少人
18.张老师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只 分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4块；如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块
19.五年级同学搬砖，有12人每人各搬7块，有20人每人各搬6块，其余的每 人搬5块，这样最后余下148块；如果有30人每人各搬8块，有8人每人各搬9块，其余的每人搬10块，这样分配最后余下20块，问：学生共有多少人 砖共有多少块
参考答案
1. (13+3)+(32-28)=4(辆) 28×4+13=125(名)
2. (9+6)+(5-4)=15(个) 15×4+9=69(个)
3. (10+6)+(3-2)=16(个) 2×16+10=42(个)
4. (4+4)÷(7-5)=4(人) 5×4+4=24(支)
5. (2.86+1.85)+(5-2)=1.57(米) 1.57×2+2.86=6(米)
6. (1+2)+(6-4)=1.5(元) 4×1.5+1=7(元)
7. (1.1+1.4)÷(2.5-2)=5(元)
8. (34-10)÷(5-3)=12(人) 3×12+34=70(个)
9. (9+6)+(9-6)=5(条) 6×5+6=36(人)
10. (9×2-2×3)+(3-2)=12(米) (12+9)×2=42(米)
11. (24-6)+(19-16)=6(人) 16×6+24=120(棵) 120+6=20(棵)
12. (48-8)+(6-4)=20(天) 4×20+48=128(个)
13. 120÷(8-5)=40(人) 5×40=200(棵)
14. (260×8-300×4)+(300-260)=(2080-1200)÷40=880+40=22(天)
260×(22+8)=7800(米)
15. (16×3-8)÷(16-11)=8(辆) 11×8-8=80(人)
16. (100+30+1-5)+(36-30)=21(辆) 21+1=22(辆) 30×22+1=661(人)
17. (34+14×4)÷(14-12)=45(间) 12×45+34=574(人)
18. 6×(6÷4+1)=15(块)
19.如果每人搬5块，共余下砖的块数：(7-5)×12+(6-5)×20+148=192(块)
如果每人搬10块，共缺少砖的块数：(10-8)×30+(10-9)×8-20=48(块)
(192+48)÷(10-5)=48(人) 5×48+192=432(块)或10×48-48=432(块)

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