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专题二十三 数列求和问题
知识归纳
一、公式法
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
④
二、几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
方法技巧与总结
常见的裂项技巧
①等差型
等差型是裂项相消法中最常见的类型，也是最容易掌握的。设等差数列的各项不为零，公差为，则，另外
常见的类型有：
（1）
特别注意
拓展：
（3）
分式的裂项：解答过程通过在分母上“减项”实现了通项的升幂，从而达到把通项裂项的目的。
（4）
如：
（5）
（6）
整式的裂项：解答过程可以通过“增项”实现了通项的升幂，从而达到将通项进行裂项的目的，具体可使用待定系数法求参数.
（7）
（8）
②无理型
该类型的特点是，分母为两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，然后通过分母有理化来达到消项的目的，有时在证明不等式时，常常把分母放缩成两个根式之和，来达到消项化简的目的。常见的有
=
特别注意
（3）
（4）
（5）
③指数型
由于，因此一般地有
常见的有：
（1）
（2）
（3）
差指综合类型
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9），设，易得，
于是
（10）
④对数型
由对数的运算法则可知：若则
⑤幂型
（1）
（2）
（3）
⑥正负相间型裂项
（1）
形如型，可构造，化为，利用正负相间裂项相消求和
（2）
形如型，可构造，化为利用正负相间裂项相消求和。
注意构造过程中指数幂的运算。
⑦三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
则
⑧通项与前n项和关系型
利用数列的前n项和与通项的关系裂项，
如数列的通项可化为
⑨常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
；
（9）；
（10）．
（11）．
典例分析
题型一、公式法求和
【例1-1】数列9，99，999，的前项和为　　
A． B． C． D．
【解析】解数列通项，
．
故选：．
【例1-2】求和．
【解析】∵，
∴．
【例1-3】如图，从点做轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从做轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，；，，记点的坐标为，，2，，．
（Ⅰ）试求与的关系；
（Ⅱ）求．
【解析】解：（Ⅰ）设，，由得
点处切线方程为
由得．
（Ⅱ），，得，
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【方法技巧与总结】
针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解．
题型二、错位相减法
【例2-1】“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为，在图①中取的中点，以为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则___________；___________.
【答案】 ； ．
【解析】依题可知，各等边三角形的面积形成等比数列，公比为，首项为，所以，即；
，而，设
，
，作差得：
，所以，所以
．
【例2-2】已知数列的前n项和，记，则数列的前n项和_______.
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
当时，，
综上：，，
所以，
所以①，①×得：
②，
两式相减得：，
所以
【例2-3】在平面四边形中，的面积是面积的倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则所有正确结论的序号是___________.
①为等比数列；②为递减数列；③为等差数列；④
【答案】②③④
【解析】设与交于点，，
，
，，共线，所以存在实数，使得，
所以，
所以，所以，，
所以，，，不是等比数列，①错；
因为，所以，即，所以是等差数列，③正确；
又因为，则，即，，
所以当时，，即，
所以是递减数列，②正确；
因为，
，
所以两式相减得
，
所以，④正确.
【例2-4】已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)解：等差数列{}中，设公差为d，
则
数列{}中的前n项和为，且①
当时，
当时，②
②－①得：
故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.
(2)解：数列{}中，.
则
所以
故
所以
∵对恒成立．
当n为奇数时，，
当n为偶数时，
综上：实数m的取值范围为．
【方法技巧与总结】
错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：．
题型三、分组求和法
【例3-1】已知数列{}满足，．
(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】(1)由题意可得：
∵
所以是首项为2，公比为2的等比数列
则，即
因此{}的通项公式为
(2)由（1）知，令则
所以．
．
综上．
【例3-2】已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】(1)解：因为，①
当时，．②
①②得，所以．
当时，，也满足上式，
所以．
(2)解：因为，
则，
则．
【例3-3】已知数列满足．
（1）若数列满足，证明：是常数数列；
（2）若数列满足，求的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为
，
所以，所以是常数数列．
（2）因为，所以，
所以，所以．
因为，
所以
，
所以．
【方法技巧与总结】
（1）分组转化求和
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．
（2）分组转化法求和的常见类型
题型四、裂项相消法
【例4-1】已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】(1)等差数列中，，解得，因，，成等比数列，即，
设的公差为d，于是得，整理得，而，解得，
所以.
(2)由（1）知，，
所以.
【例4-2】已知数列满足，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，为数列的前n项和，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，∵，∴，
∴，则，，，…，，，
利用累乘法可得，，∴.
（2）根据题意，
∴
【例4-3】记是公差不为零的等差数列的前项和，若，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前20项和.
【解析】(1)由题意知，
设等差数列的公差为，则，
因为，解得
又，可得，
所以数列是以1为首项和公差为1的等差数列，
所以，
(2)由（1）可知，
设数列的前和为，则
，
所以
所以数列的前20和为
【例4-4】已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．
(1)求出，的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
【解析】(1)由，
得．又，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
∴，，…，，
累加得，
∴．
数列满足，①
当时，；
当时，，②
由①－②可得，
当时，也符合上式，
故数列的通项公式为．
(2)由（1）可得，
则
，
故成立．
【例4-5】已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足
(1)求数列{}的通项公式：
(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.
【解析】(1)正项数列{}，，满足，所以，
所以数列{}是以1为首项1为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，，
当时也成立，
所以.
(2)因为
所以，
所以当为奇数时，；
当为偶数时，，
由{}递增，得，
所以的最小值为.
【例4-6】已知数列{}的前n项和为，且满足
(1)求、的值及数列{}的通项公式：
(2)设，求数列{}的前n项和
【解析】(1)因，取和得：，
即，解得，由得：，
数列是首项为，公差的等差数列，则，即，
当时，，而满足上式，因此，，
所以，数列{}的通项公式.
(2)由（1）知，当时，，
因此，，，
则，满足上式，
所以.
【例4-7】已知数列的前n项和满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
【解析】(1)证明：当时，
∴
当时， ，
∴ ∴数列是以2为公比，首项的等比数列
(2)由（1）知，，代入得
∴
由，，
，所以 ∴
综上所述
【例4-8】已知数列的首项为正数，其前项和满足．
(1)求实数的值，使得是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】(1)当时，，，解得；
当时，把代入题设条件得:
，即，
很显然是首项为8+1=9，公比为9的等比数列，
∴；
(2)由（1）知是首项为，公比的等比数列，
所以，．
故数列的前项和为：
.
【例4-9】已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．
(1)求和的通项公式；
(2)已知，数列满足，求数列的前2n项和；
(3)设，求数列的前n项和．
【解析】(1)（1）解：或，
又，则，∴（）．
设等差数列的公差为，由题意得，，，
即，所以（）．
(2)（2）解：时，，
∴
．
时，
∴
，①
，②
由①②可得，
∴
∴（）．
(3)（3）由（1）知，则
∴
故（）.
【例4-10】已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若，恒成立，求常数k的最小值.
【解析】(1)由，得当时，，当时，，
两式相减得，，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，.
由，，，，
得，，…，，
累加得，
，.
(2)由（1）得
，
，
，即常数k的最小值为.
【例4-11】已知等比数列公比为正数，其前项和为，且.数列满足：.
(1)求数列的通项公式：
(2)求证：.
【解析】(1)
当时，，
，又
，经检验符合上式，
(2)
.
另解：
.得证
【方法技巧与总结】
裂裂项相消法求和 （1）基本步骤（2）裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（3）消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
题型五、倒序相加法
【例5-1】“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献．我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法、每一个n阶代数方程必有n个复数解等．已知某数列的通项，则（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
【答案】D
【解析】函数，
，
又，所以．
则，，
∴，所以．故选：D
【例5-2】已知，则______.
【答案】4042
【解析】由，令可得，，
且，
则，
所以，函数关于点对称，即
由已知，，
又
两式相加可得，
所以，.
【例5-3】已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．
【答案】
【解析】∵①，∴当时，②，
①－②得，∴；
当时，，∴，此时仍然成立，∴．
∴当n=1时，；
当时，，
当n=1时，上式也成立，故．
由于，
设
则，
∴．
【例5-4】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前n项和_________．
【答案】
【解析】由得，，
由，
得，
故，故，
所以，
则，
两式相减得：
故，
【例5-5】已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
【解析】(1)因为点均在函数的图象上，所以，
当时，，
当时，，适合上式，所以.
(2)因为，所以，
所以.
(3)由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
因为，所以①②，得，
所以.
【例5-6】已知函数，，正项等比数列满足，则值是多少？.
【解析】因为，
所以.
因为数列是等比数列，所以，
即.
设 ①，
又＋…＋ ②，
①+②，得，所以.
【例5-7】已知数列，满足，，.
（1）证明为等比数列，并求的通项公式；
（2）求.
【解析】（1）由可得，
于是，即，
而，所以是首项为2，公比为2的等比数列.
所以.
（2）由（1）知，所以.
因为，
所以，
因此.
【方法技巧与总结】
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
题型六、并项求和
【例6-1】已知，求数列的前n项和.
【答案】为偶数时，；为奇数时，.
【解析】因为，
所以当为偶数时，，
所以，
当为奇数时，，
综上可知：当为偶数时，；为奇数时，.
【例6-2】记数列的前项和为，则________.
【答案】
【解析】设，可知的最小正周期，
令（，），则
当时，则；
当时，则；
当时，则；
对于，都有.
所以
又
所以
【例6-3】在数列中，，且.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【解析】(1)解：因为，所以，又，所以，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
故，即.
(2)解：由（1）得，
则，
①当时，
②当时，
，
综上所述，
【方法技巧与总结】
两两并项或者四四并项
题型七、先放缩后裂项求和
【例7-1】已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．
(1)和的通项公式；
(2)求数列的前8项和；
(3)证明：．
【解析】(1)解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
由已知，得，而，所以．又因为，解得．所以．
由，可得①．由，得②，联立①②，解得，由此可得．
所以，的通项公式为的通项公式为．
(2)解：设数列的前n项和为，由，得，所以
，
，
上述两式相减，得
．
得．
所以，数列的前n项和为
当时，．
(3)解：由（1）得，所以：
当时，，不等式成立；
当时，，所以，不等式成立；
当时，，
所以，
，
所以，得证．
【例7-2】设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求的值：
(2)求数列的通项公式：
(3)证明：对一切正整数，有.
【解析】(1)令，，则舍去，
所以.
(2)，
因为数列各项均为正数，舍去，
，当时，
，
(3)令
，
所以
【例7-3】已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.
【解析】(1)当时，，即
由，则
两式相减可得，即
所以，即
数列为等比数列
则，所以
则
(2)
所以
【例7-4】已知等差数列的首项为，且，数列满足．
(1)求和；
(2)设，记，证明：当时，．
【解析】(1)因为是等差数列，设其公差为d.
因为，所以．
因为，所以等差数列的公差，
所以．
因为，所以，所以．
当时，，
结合可知．
经检验：也适合上式.
所以．
(2)由（1）可知：．
所以要证明原不等式成立，只需证明：成立．
易得：，所以
当时，左边，右边，左边=右边．
当时，，此时．
所以
所以
于是，当时，成立．
综上所述：当时，．
【例7-5】已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)求证：.
【解析】(1)数列是等差数列，设公差为d，
，化简得，解得，，∴，.
由已知，当时，，解得，当时，，
∴，，即，
∴数列构成首项为3，公比为3的等比数列，∴，.
(2)由（1）可得，，
∴，
∴
(3)由（1）可得，，则，
方法一：∵，
∴，
令，
，
两式相减可得
，∴，
∴
方法二：
∵时，
，
根据“若，，则”，可得，
∴，
令，
，
两式相减可得
，
∴ ∴，
∴
方法三：
令，下一步用分析法证明“”
要证，即证，
即证，
即证，
当，显然成立，∴，
∴
【方法技巧与总结】
先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标．
题型八、分段数列求和
【例8-1】已知数列满足：.则的前60项的和为（ ）
A．1240 B．1830 C．2520 D．2760
【答案】D
【解析】由，
故，，，，….
故，，，….
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；
，，，….
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，
以24为公差的等差数列.
故.故选：D.
【例8-2】已知是等差数列，，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记，求.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为是等差数列，，，且，，成等比数列，
所以，即，解得或（舍去），
所以．
（2）由题意知，，
所以．
当为偶数时，
，
当为奇数时，．
综上．
【例8-3】已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前40项和.
【答案】(1) (2)784
【详解】（1）由题意易得，由可得，
所以数列是公差为2的等差数列.
故，即.
（2）由（1）知，.
所以的前40项和
.
【例8-4】已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：；
(3)设数列满足：．证明：．
【详解】（1）由，得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，．
（2）设等差数列的公差为，
，得，
所以，，
，，
，得证．
（3）当n为奇数时，，
，
当n为偶数时，，
，
设，
，
两式相减得
得，
所以，
所以．
【例8-5】已知数列满足，，数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1），得，
因为，即，解得，
由，得，
又，
故，所以，即，
所以，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
则，故，
所以；
（2）当为偶数时，
，
当为奇数时，，
综上所述，.
【例8-6】已知数列中，，，令.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前14项和.
【解析】(1)当时，，又，得，由①
得②，①②两式相除可得，则，且，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.
(2)当n为奇数时，；当n为偶数时，，
.
所以数列的前14项和为
.
【例8-7】已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【解析】(1)当时，，
由，得，即，
当时，，当时，， 所以；
设正项等比数列的公比为，则，
所以，解得或(舍)，所以.
(2)，
所以当时,，
当时，，
即
【例8-8】已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为，所以，所以当时，，所以；
当时，，所以，所以，又满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
当时，；
当时，
；
所以，
当时，递减，所以；当时，，
设，则，令得，此时单调递增，
令得，此时单调递减，
所以在时递减，在时递增，
而，，且，所以；
综上，的最小值为.
【例8-9】已知数列的首项，其前n项和为，且满足．
(1)求；
(2)设，求数列的最大项．
【详解】（1）因为，
所以，
所以，故，
所以，，，，，
所以；
（2）因为，所以，又，所以，
由（1），所以，，
所以，
所以，，所以，
当时，，
所以，又，
所以，
又，所以，
所以当为奇数时，，当为偶数时，，
所以当为奇数时，，当为偶数时，，
所以数列的最大项一定为偶数项，
当为偶数时，，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，且为偶数时，数列单调递增，
所以，且为偶数时，单调递减，又，，
所以数列的第二项和第四项都为其最大项，且.
【方法技巧与总结】
（1）分奇偶各自新数列求和
（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：
①可构建新数列；②可“跳项”求和
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专题二十三 数列求和问题
知识归纳
一、公式法
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
④
二、几种数列求和的常用方法
(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
方法技巧与总结
常见的裂项技巧
①等差型
等差型是裂项相消法中最常见的类型，也是最容易掌握的。设等差数列的各项不为零，公差为，则，另外
常见的类型有：
（1）
特别注意
拓展：
（3）
分式的裂项：解答过程通过在分母上“减项”实现了通项的升幂，从而达到把通项裂项的目的。
（4）
如：
（5）
（6）
整式的裂项：解答过程可以通过“增项”实现了通项的升幂，从而达到将通项进行裂项的目的，具体可使用待定系数法求参数.
（7）
（8）
②无理型
该类型的特点是，分母为两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，然后通过分母有理化来达到消项的目的，有时在证明不等式时，常常把分母放缩成两个根式之和，来达到消项化简的目的。常见的有
=
特别注意
（3）
（4）
（5）
③指数型
由于，因此一般地有
常见的有：
（1）
（2）
（3）
差指综合类型
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9），设，易得，
于是
（10）
④对数型
由对数的运算法则可知：若则
⑤幂型
（1）
（2）
（3）
⑥正负相间型裂项
（1）
形如型，可构造，化为，利用正负相间裂项相消求和
（2）
形如型，可构造，化为利用正负相间裂项相消求和。
注意构造过程中指数幂的运算。
⑦三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
则
⑧通项与前n项和关系型
利用数列的前n项和与通项的关系裂项，
如数列的通项可化为
⑨常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
；
（9）；
（10）．
（11）．
典例分析
题型一、公式法求和
【例1-1】数列9，99，999，的前项和为　　
A． B． C． D．
【例1-2】求和．
【例1-3】如图，从点做轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从做轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，；，，记点的坐标为，，2，，．
（Ⅰ）试求与的关系；
（Ⅱ）求．
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【方法技巧与总结】
针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解．
题型二、错位相减法
【例2-1】“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为，在图①中取的中点，以为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则___________；___________.
【例2-2】已知数列的前n项和，记，则数列的前n项和_______.
【例2-3】在平面四边形中，的面积是面积的倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则所有正确结论的序号是___________.
①为等比数列；②为递减数列；③为等差数列；④
【例2-4】已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．
【方法技巧与总结】
错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：．
题型三、分组求和法
【例3-1】已知数列{}满足，．
(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【例3-2】已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【例3-3】已知数列满足．
（1）若数列满足，证明：是常数数列；
（2）若数列满足，求的前项和．
【方法技巧与总结】
（1）分组转化求和
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．
（2）分组转化法求和的常见类型
题型四、裂项相消法
【例4-1】已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【例4-2】已知数列满足，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，为数列的前n项和，求．
【例4-3】记是公差不为零的等差数列的前项和，若，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前20项和.
【例4-4】已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．
(1)求出，的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
【例4-5】已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足
(1)求数列{}的通项公式：
(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.
【例4-6】已知数列{}的前n项和为，且满足
(1)求、的值及数列{}的通项公式：
(2)设，求数列{}的前n项和
【例4-7】已知数列的前n项和满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
【例4-8】已知数列的首项为正数，其前项和满足．
(1)求实数的值，使得是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【例4-9】已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．
(1)求和的通项公式；
(2)已知，数列满足，求数列的前2n项和；
(3)设，求数列的前n项和．
【例4-10】已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若，恒成立，求常数k的最小值.
【例4-11】已知等比数列公比为正数，其前项和为，且.数列满足：.
(1)求数列的通项公式：
(2)求证：.
【方法技巧与总结】
裂裂项相消法求和 （1）基本步骤（2）裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（3）消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
题型五、倒序相加法
【例5-1】“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献．我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法、每一个n阶代数方程必有n个复数解等．已知某数列的通项，则（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
【例5-2】已知，则______.
【例5-3】已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．
【例5-4】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前n项和_________．
【例5-5】已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
【例5-6】已知函数，，正项等比数列满足，则值是多少？.
【例5-7】已知数列，满足，，.
（1）证明为等比数列，并求的通项公式；
（2）求.
【方法技巧与总结】
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
题型六、并项求和
【例6-1】已知，求数列的前n项和.
【例6-2】记数列的前项和为，则________.
【例6-3】在数列中，，且.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【方法技巧与总结】
两两并项或者四四并项
题型七、先放缩后裂项求和
【例7-1】已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．
(1)和的通项公式；
(2)求数列的前8项和；
(3)证明：．
【例7-2】设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求的值：
(2)求数列的通项公式：
(3)证明：对一切正整数，有.
【例7-3】已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.
【例7-4】已知等差数列的首项为，且，数列满足．
(1)求和；
(2)设，记，证明：当时，．
【例7-5】已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)求证：.
【方法技巧与总结】
先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标．
题型八、分段数列求和
【例8-1】已知数列满足：.则的前60项的和为（ ）
A．1240 B．1830 C．2520 D．2760
【例8-2】已知是等差数列，，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记，求.
【例8-3】已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前40项和.
【例8-4】已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：；
(3)设数列满足：．证明：．
【例8-5】已知数列满足，，数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【例8-6】已知数列中，，，令.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前14项和.
【例8-7】已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【例8-8】已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
【例8-9】已知数列的首项，其前n项和为，且满足．
(1)求；
(2)设，求数列的最大项．
【方法技巧与总结】
（1）分奇偶各自新数列求和
（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：
①可构建新数列；②可“跳项”求和
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