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专题二十 等差数列及其前n项和
知识归纳
一、等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．
（2）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
二、等差数列的有关公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（2）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
三、判断等差数列的方法
（1）定义法：（常数）是等差数列；
（2）等差中项法：是等差数列；
（3）通项公式法：（，为常数）是等差数列。
（4）前n项和法：（，为常数）是等差数列。
其中前两种方法适用于解答题中的证明问题；后来两种方法适用于选择填空的判断问题。
四、等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
（1）通项公式的推广：．
（2）在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
（3），…仍是等差数列，公差为．
（4），…也成等差数列，公差为．
（5）若，是等差数列，则也是等差数列．
（6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．
（7）若项数为偶数，则；；．
（8）若项数为奇数，则；；．
（9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．
五、等差数列的前n项和公式与函数的关系
．数列是等差数列 （为常数）．
六、等差数列的前n项和的最值
公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
特别地
若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
七、其他衍生等差数列．
若已知等差数列，公差为，前项和为，则：
①等间距抽取为等差数列，公差为．
②等长度截取为等差数列，公差为．
③算术平均值为等差数列，公差为．
方法技巧与总结
1、等差数列中，若，则．
2、等差数列中，若，则．
3、等差数列中，若，则．
4、若与为等差数列，且前项和为与，则．
5、对于含绝对值的数列求和问题
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
典例分析
题型一、等差数列的基本运算
【例1-1】已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（ ）
A．2033 B．2123 C．123 D．0
【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，则，
所以，
【例1-2】记为等差数列的前项和.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
由得：，解得：，.
【例1-3】设等差数列的前n项和为，若，，，则m等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【解析】是等差数列，
又，∴公差，
【例1-4】已知等差数列满足，则的前20项和（ ）
A．200 B．300 C．210 D．320
【答案】C
【详解】因为数列为等差数列，设，所以，
所以．因为，
所以所以则，所以．
【例1-5】已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
【答案】B
【解析】由，两式相减得，即.
再由，两式相减得，由，得，
故为以14为首项，8为公差的等差数列，故，
故.
【例1-6】已知等差数列的前n项和为，若数列满足：对任意的，都有，且，则（ ）
A．20 B．39 C．63 D．81
【答案】B
【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，
因为，所以，
因为，所以，
则，解得：，所以，
那么.故选：B
【例1-7】设是等差数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意得：设的公差为
又
又，
【例1-8】记数列的前项和为，若，且，则__________.
【答案】
【详解】当时，由可得，
两式相减得，即，即.
当时，，即，所以，，则，
则数列是以为首项，为公差的等差数列.
则.
【例1-9】已知等差数列的各项均为正数，其前n项和满足，则其通项______．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
令得： ，即，令得：
则，由，两式相减得：，
即，因为等差数列的各项均为正数，所以，
解得：，代入中，解得：，所以.
题型二、等差数列的实际运用
【例2-1】中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文
【答案】A
【解析】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数
分别为，，，，，，，
则，解得，
所以乙分得（文），丁分得（文），故选：A.
【例2-2】《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开始织布，则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（ ）
A．26 B．130 C． D．156
【答案】B
【解析】设第天的织布量为,根据题意得：该女子每天的织布量构成等差数列,
该等差数列的前30项和为390，首项，设公差为d，
所以，解得，
所以．
所以这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为130.故选:B
【例2-3】1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子如下图，则其第10行第11列的数为（ ）
A．220 B．241 C．262 D．264
【答案】B
【解析】记为第行第列所代表的数字，
则，.故选：B.
【例2-4】一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】A
【解析】设成为等差数列的其中10层的塔数为：，
由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩下两层的塔数之和为8，
故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为；
故，①；
又由②，，且，
所以，①+②得，，得，
由知，
又因为观察答案，当且仅当时，满足条件，所以，；
组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；
剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6.
所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：
1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；
其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，则第11层的塔数为17.
故答案选：A
【例2-5】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A．3339块 B．3402块 C．3474块 D．3699块
【答案】B
【分析】依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为，其中，，根据下标和性质求出，再根据等差数列求和公式求出即可.
【详解】解：依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为，其中，，
所以，
所以
所以，故圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）块.
【例2-6】公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的纽带；下图为五角形数的前4个，现有如下说法：①第9个五角形数比第8个五角形数多25；②前8个五角形数之和为288；③记所有的五角形数从小到大构成数列，则的前20项和为610；则正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】根据图形知：，，
则
，①正确；
，②正确；
，数列是首项为1公差为的等差数列，
前20项和为，③错误.
【例2-7】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知：每段圆弧的圆心角为，设第段圆弧的半径为，则可得，
故数列是以首项，公差的等差数列，则，
则“蚊香”的长度为.
【例2-8】(多选题)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（ ）
A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐
C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里
【答案】AD
【解析】由题意可知，两马日行里数都成等差数列;
记数列为良马的日行里数，其中首项公差
所以数列的通项公式为
记数列为驽马的日行里数，其中首项公差
所以数列的通项公式为
因此，对于A，驽马第七日行里数为，
即驽马第七日行九十四里；故A正确；
第七日良马行走总里程为，而齐去长安一千一百二十五里，
因为，所以第七日良马未至齐；所以B错误；
设第日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍，
即，解得或（舍），
即第九日二马相逢；故C错误；
由C可知，第九日二马相逢，此时良马共行走了，
所以，二马相逢时良马行一千三百九十五里，所以D正确；故选：AD.
【例2-9】图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，，
，，，，都是直角三角形，
，且，故，
数列是以为首项，为公差的等差数列，．
又，，数列的通项公式为，，
题型三、等差数列的性质
【例3-1】已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】由题意，，解得，
设等差数列的公差为，
则.故选：B.
【例3-2】设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【解析】因为，又，所以，
所以，即，设等差数列的公差为，
则，所以，又，所以，所以．
【例3-3】设为等差数列{an}的前n项和，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，
【例3-3】等差数列满足且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为等差数列满足，且，
所以，所以，
因为，所以，
同理
所以，
【例3-4】等差数列满足 ，，记，其中表示不超过x的最大整数，则（ ）
A．1000 B．2445 C．1893 D．500500
【答案】B
【详解】由，可得，所以，所以
所以.
【方法技巧与总结】
如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值．
题型四、等差数列前n项和的性质
【例4-1】已知等差数列的前项和为，若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得，
所以，，所以，，
解得，因此，.故选：D.
【例4-2】已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
【答案】C
【解析】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．
∵a1＝﹣2018，，
∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，
∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故选：C．
【例4-3】已知项数为的等差数列的前项和为，最后项和为，所有项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，，
两式相加得，所以，又，所以．
【例4-4】已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8 B．12 C．14 D．20
【答案】D
【解析】等差数列的前n项和为，，
则，，，构成首项为2，公差为2的等差数列
则+()+ ()+ ()=2+4+6+8=20
【例4-5】设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，.
【例4-6】已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由题意可得．
设，，因为函数是增函数，所以当时，函数取最小值，
所以．故实数的最大值为．
【例4-7】已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前2000项的和为______.
【答案】3782
【详解】∵数列是首项为，公差为的等差数列，∴，得到，
当时，，
当时，，
又，∴，∴，
当时，，则，此时，
当时，，则、3、…、19，此时，
当时，，则、21…、199，此时，
当时，，则、201、…、1999，此时，
当时，，此时，
故数列的前2000项的和为：
.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．
题型五、等差数列前n项和的最值
【例5-1】设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
【答案】D
【解析】由题知，，则，
等差数列的公差d满足，数列单减，
且，，则当取得最大值时，的值为8或9
【例5-2】设公差为的等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，的值为_______.
【答案】9
【解析】因为等差数列的公差满足，所以是递减数列.又.为负数. ,即,.,,.即时，；，.所以当时，取最大值.
【例5-3】已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．1012 D．1011
【答案】D
【解析】解：因为等差数列的前项和为，，，
所以，
所以，，
所以，，即等差数列的公差，
所以，时，；时，，
所以，使得前项和取得最大值时的值为.
【例5-4】等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，，则数列的最大项为.
对于A选项，，当时，且数列为递增数列，此时无最大项，A选项不满足条件；
对于B选项，由，可得，故数列中最大，B选项不满足条件；
对于C选项，，数列为递增数列且当时，，此时无最大项，C选项不满足条件；
对于D选项，由，可得，故数列中最大，D选项满足条件.
故选：D.
【例5-6】（多选题）已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．
【答案】ACD
【解析】对于A,数列为等差数列，，
数列为递减的等差数列，故A正确，
对于B, 数列为递减的等差数列，的最大值为，故B错，
对于C, 由得
的最小值为,即，故C正确，
对于D, 故D正确.故选：ACD
【例5-7】（多选题）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A．数列的最小项为第项 B．
C． D．时，的最大值为
【答案】ABC
【详解】对于C选项，由且，可知，故C正确；
对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；
对于D选项，因为，，
所以，满足的的最大值为，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当且时， ；
当且时，，所以，当且时，，
当且时，，当且时，.
由题意可知单调递减，所以当且时，，
由题意可知单调递减，即有，
所以，
由不等式的性质可得，从而可得，
因此，数列的最小项为第 项，故A正确.
【例5-8】等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】由，，得，
解得：，
则．故．
由于，故当或4时，.
故答案为：
【例5-9】在数列中，为的前n项和，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，所以是以为首项，2为公差的等差数列，是以为首项，2为公差的等差数列.
当为奇数时，，当为偶数时，，
所以，
当为偶数时，
，故当时，的最小值为；
当为奇数时，，
故当或时，取最小值.
综上，的最小值为.
【例5-10】（多选题）数列的通项为，它的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是递减数列 B．当或者时，有最大值
C．当或者时，有最大值 D．和都没有最小值
【答案】ABC
【解析】因为数列的通项为，则，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
因为公差，所以数列是递减数列，故选项正确；
因为，当时，；当时，，
因为，所以当或者时，有最大值，故选项正确；
由可知： ，，，
所以当或者时，有最大值，故选项正确；
根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知：无最小值，
因为，当时，，但零乘任何数仍得零，
所以有最小值，故选项错误，故选：.
【例5-11】（多选题）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当且仅当时，取得最大值
D．若，，则当或14时，取得最大值
【答案】BD
【解析】由等差数列前n项和有最大值，所以数列为递减数列，
对于A，且时取最大值，设，
则，
当时，；时，；时，，
所以或14时，前k项和取最大值，A项错误；
对于B，当且仅当时取最大值，则时，，时，.
，则，，
，，前14项和最大，B项正确；
对于C，，则，同理
，，前13项和最大，C项错误；
对于D，，，得，
由题等差数列在时，，时，，所以
，，
所以或14时，前k项和取最大值，D项正确；故选：BD.
【方法技巧与总结】
求等差数列前项和最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
题型六、等差数列的判定与证明
【例6-1】已知数列满足，，，，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，，，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴，∴．∴，
∴数列的前10项和为．
【例6-2】已知数列满足，，则=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【答案】C
【详解】解：因为，所以，即，
等式两边开方可得：，即，
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，
所以，所以，所以.
【例6-3】已知数列满足，．
(1)求的值并证明数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式并证明：．
【解析】(1)解：当时，，，
当时，；，
两式相除得，
整理为：，即，
∴为等差数列，公差；
(2)证明：由（1）得，整理得：，
∵，又∵单调递增，∴，所以.
【例6-4】设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由得出，再计算，将代入，即可证明；
（2）由（1）得，得出为公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式得出，代入，再裂项得，即可求得数列的前n项和．
【详解】（1）因为，
所以，即
所以
（为常数），
所以数列是等差数列．
（2）由（1）知，即.
所以，
所以为公比为的等比数列，
又，
所以，
因为，
所以，
所以数列的前项和为：
．
【例6-5】已知数列的前n项和为，满足：
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)由题设，，则，
所以，整理得，则，
所以，即，，
所以，故数列为等差数列，得证.
(2)由，可得，又，结合（1）结论知：公差，
所以，故，则，
所以，且，
所以，即，
所以，在且上递减，则，
要使对任意恒成立，即，
所以.
【例6-6】已知为数列的前项积，且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）为数列的前项积，
当时，，
，等式两边同时乘以可得，即，
又当时，，得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
，
．
【例6-7】在数列中，，当时，其前n项和满足：.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若对一切正整数n恒成立，求实数k的最大值.
【解析】(1)，
即，所以
，故数列是等差数列；
(2) ，
令，则 ，
令得，.
由令，解得
所以数列中当时单调递减，时单调递增，所以
【方法技巧与总结】
方法 解读 适合题型
定义法 为同一常数 是等差数列 解答题中的证明问题
等差中项法 成立 是等差数列
通项公式法 为常数）对任意的正整数都成立 是等差数列 选择、填空题中的判定问题
前项和公式法 验证为常数）对任意的正整数都成立 是等差数列
【注意】如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．
题型七、关于奇偶项问题的讨论
【例7-1】数列满足，则前项的和______．
【答案】
【解析】设，因，故由此可算得则前40项中奇数项为，其和；偶数项为，其和，故所求数列前项的和为，应填答案．
【例7-2】已知数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当为奇数时，，即数列中的奇数项依次构成首项为，公差为的等差数列，
所以，，
当为偶数时，，则，两式相减得，
所以，，故，
【例7-3】记，为数列的前n项和，已知，．
（1）求，并证明是等差数列；
（2）求．
【答案】（1），证明见解析；（2）
【解析】（1）已知，
当时，，；当时，，，所以．
因为①，所以②．
②－①得，，整理得，，
所以（常数），，
所以是首项为6，公差为4的等差数列．
（2）由（1）知，，，．
当n为偶数时，；
当n为奇数时，
．
综上所述，.
即数列的前8项和.
【方法技巧与总结】
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
题型八、对于含绝对值的数列求和问题
【例8-1】已知数列的前项和，则（ ）
A． B．不是等差数列
C．数列中最小 D．
【答案】BD
【详解】解：因为，当时，
当时，
所以，显然当时不成立，
所以，所以从第二项起以为公差的等差数列，
故数列不是等差数列，即A错误，B正确；
从第二项起为递增的等差数列，又，所以为数列的最小项，故C错误；
因为，所以
，故D正确；
【例8-2】已知数列的前n项和.
(1)求的通项公式．
(2)的前多少项和最大？
(3)设，求数列的前n项和.
【解析】(1)解：因为，当时，当时，所以，经检验当时也成立，所以；
(2)解：令，即，所以，
故数列的前17项大于或等于零．
又，故数列的前16项或前17项的和最大．
(3)由（2）知，当时，；
当时，，
所以当时，．
当时，
．
故．
【例8-3】已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，设，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，得，
两式相减，得，所以，即.
又因为时，，所以，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
（2）由（1）得，.
当时，，
当时，
综上，
【方法技巧与总结】
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
题型九、利用等差、等比数列的单调性求解
【例9-1】已知递增数列的前项和为，且满足（），则首项的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
当时，，
当时，，
则，
即， 又，故，
所以数列是偶数项以4为公差的等差数列，奇数项从起奇数项也是以4为公差的等差数列，若数列单调递增，所以需满足，
又，
所以，解得，故的取值范围为.
【例9-2】已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，因此有，
得：，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由可得：，
因为数列单调递增，所以有，
即，解得：，
故选：C
【例9-3】已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】解：已知函数，
若数列满足，且是递增数列，
，即．
【例9-4】已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，
对任意的，都有成立，即，即，
又数列是首项为，公差为1的等差数列，
，且是单调递增数列，当时，，
，即，解得.
故选：B.
【方法技巧与总结】
（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”．
（2）数列的单调性与，的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”．
题型十、等差数列中的范围与最值问题
【例10-1】已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，则，
因为，可得，则，
设等差数列的公差为，则，
由题意可得，可得.
即的取值范围是.
【例10-2】设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由是等差数列，得，解得，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
【例10-3】已知为等差数列的前项和，且满足，，，若对任意的正整数，恒有，则正整数的值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【答案】A
【解析】由，，
所以，，所以，，所以的公差，
所以当时，；当时，，
所以，，，，，…，
所以，
又，故为的最小值，
故，
【例10-4】设等差数列的前n项和为．若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：因为，所以，故A错误；
，所以，则公差，故B错误；
所以等差数列为递增数列，则，，则，
所以，所以，故D正确；
对于C，当时，，，此时，故C错误.
【例10-5】已知公差非零的等差数列 满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】C
【解析】因公差非零的等差数列{an}满足，则有，有， 异号且均不为0，
对于A，，A不正确；
对于B，，而，此时，，B不正确；
对于C，由选项A知，，即，则，于是得，
数列是递增数列，即，，C正确；
对于D，由得，则，于是得，数列是递减数列，即，，D不正确.
【例10-6】已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列公差为，正项等比数列公比为，
因为，所以，即，所以，又，所以，
由得，，，
所以时，，时，．
，，由，，
即，（*），
令，，（*）式为，其中，且，
由已知和是方程的两个解，
记，且，是一次函数，是指数函数，
由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程才可能有两解（题中时，，时，，满足同增减）．
如图，作出和的图象，它们在和时相交，
无论还是，由图象可得，，，
时，，时，，
因此，，，，即，
【例10-7】设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，，则使成立的最大自然数的值为（ ）
A．9 B．10
C．18 D．19
【答案】C
【解析】由，可得一个大于，另一个小于，由，可得大于.
又其中一个大于，则都大于，故.
若，由，可得均大于，与题意矛盾.
故，由，可得：，.
因为，又，当时单调递增，当时单调递减.
故当时，单调递增，于是此时.
当时，单调递减，而.
.
故当时都有，而是满足成立的最大自然数.
【例10-8】在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于 ，所以可得．
这样，而>0，
所以在中最大的是．
【例10-9】在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．2
【答案】B
【解析】由题意，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
【例10-10】已知数列中，，且，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，总有，则t的取值范围是_____．
【答案】.
【解析】由得，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，即．
所以．
故
，
易知数列为递增函数，且，所以，
故，解得或．
故答案为:.
【例10-11】已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．3 D．2
【答案】D
【详解】各项为正的数列，，
时，，
即，化为：，
，，又，解得，
数列是等差数列，首项为1，公差为2．，
，
，当且仅当时取等号，
的最小值为2．
【例10-12】是各项均为正数的等差数列，其公差，是等比数列，若，，和分别是和的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．和的大小关系不确定
【答案】B
【详解】因为是各项均为正数的等差数列，其公差，
则，且，则，
设等比数列的公比为，则且，即且，
又因为，所以，等比数列为正项单调数列，
由基本不等式可得，，
，，
所以，，
【例10-13】已知是数列的前n项和，，，当数列的前n项和取得最大值时，n的值为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】C
【详解】①，则②，
②－①得：，即，
则数列为等差数列，且，
由得：，则公差，
所以，数列单调递减，而，，，......，
设，当时，，且，，
当时，恒成立，显然，，
即数列的前32项和最大.
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专题二十 等差数列及其前n项和
知识归纳
一、等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．
（2）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
二、等差数列的有关公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（2）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
三、判断等差数列的方法
（1）定义法：（常数）是等差数列；
（2）等差中项法：是等差数列；
（3）通项公式法：（，为常数）是等差数列。
（4）前n项和法：（，为常数）是等差数列。
其中前两种方法适用于解答题中的证明问题；后来两种方法适用于选择填空的判断问题。
四、等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
（1）通项公式的推广：．
（2）在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
（3），…仍是等差数列，公差为．
（4），…也成等差数列，公差为．
（5）若，是等差数列，则也是等差数列．
（6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．
（7）若项数为偶数，则；；．
（8）若项数为奇数，则；；．
（9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．
五、等差数列的前n项和公式与函数的关系
．数列是等差数列 （为常数）．
六、等差数列的前n项和的最值
公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
特别地
若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
七、其他衍生等差数列．
若已知等差数列，公差为，前项和为，则：
①等间距抽取为等差数列，公差为．
②等长度截取为等差数列，公差为．
③算术平均值为等差数列，公差为．
方法技巧与总结
1、等差数列中，若，则．
2、等差数列中，若，则．
3、等差数列中，若，则．
4、若与为等差数列，且前项和为与，则．
5、对于含绝对值的数列求和问题
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
典例分析
题型一、等差数列的基本运算
【例1-1】已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（ ）
A．2033 B．2123 C．123 D．0
【例1-2】记为等差数列的前项和.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】设等差数列的前n项和为，若，，，则m等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【例1-4】已知等差数列满足，则的前20项和（ ）
A．200 B．300 C．210 D．320
【例1-5】已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
【例1-6】已知等差数列的前n项和为，若数列满足：对任意的，都有，且，则（ ）
A．20 B．39 C．63 D．81
【例1-7】设是等差数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-8】记数列的前项和为，若，且，则__________.
【例1-9】已知等差数列的各项均为正数，其前n项和满足，则其通项______．
题型二、等差数列的实际运用
【例2-1】中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文
【例2-2】《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开始织布，则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（ ）
A．26 B．130 C． D．156
【例2-3】1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子如下图，则其第10行第11列的数为（ ）
A．220 B．241 C．262 D．264
【例2-4】一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【例2-5】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A．3339块 B．3402块 C．3474块 D．3699块
【例2-6】公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的纽带；下图为五角形数的前4个，现有如下说法：①第9个五角形数比第8个五角形数多25；②前8个五角形数之和为288；③记所有的五角形数从小到大构成数列，则的前20项和为610；则正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例2-7】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． B． C． D．
【例2-8】(多选题)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（ ）
A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐
C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里
【例2-9】图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则 （ ）
A． B． C． D．
题型三、等差数列的性质
【例3-1】已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【例3-2】设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【例3-3】设为等差数列{an}的前n项和，若，则（　　）
A． B． C． D．
【例3-3】等差数列满足且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】等差数列满足 ，，记，其中表示不超过x的最大整数，则（ ）
A．1000 B．2445 C．1893 D．500500
【方法技巧与总结】
如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值．
题型四、等差数列前n项和的性质
【例4-1】已知等差数列的前项和为，若且，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
【例4-3】已知项数为的等差数列的前项和为，最后项和为，所有项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-4】已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8 B．12 C．14 D．20
【例4-5】设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例4-6】已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【例4-7】已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前2000项的和为______.
【方法技巧与总结】
在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．
题型五、等差数列前n项和的最值
【例5-1】设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
【例5-2】设公差为的等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，的值为_______.
【例5-3】已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．1012 D．1011
【例5-4】等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
【例5-6】（多选题）已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．
【例5-7】（多选题）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A．数列的最小项为第项 B．
C． D．时，的最大值为
【例5-8】等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______．
【例5-9】在数列中，为的前n项和，则的最小值为______．
【例5-10】（多选题）数列的通项为，它的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是递减数列 B．当或者时，有最大值
C．当或者时，有最大值 D．和都没有最小值
【例5-11】（多选题）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当且仅当时，取得最大值
D．若，，则当或14时，取得最大值
【方法技巧与总结】
求等差数列前项和最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
题型六、等差数列的判定与证明
【例6-1】已知数列满足，，，，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】已知数列满足，，则=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【例6-3】已知数列满足，．
(1)求的值并证明数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式并证明：．
【例6-4】设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【例6-5】已知数列的前n项和为，满足：
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．
【例6-6】已知为数列的前项积，且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记，求数列的前项和.
【例6-7】在数列中，，当时，其前n项和满足：.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若对一切正整数n恒成立，求实数k的最大值.
【方法技巧与总结】
方法 解读 适合题型
定义法 为同一常数 是等差数列 解答题中的证明问题
等差中项法 成立 是等差数列
通项公式法 为常数）对任意的正整数都成立 是等差数列 选择、填空题中的判定问题
前项和公式法 验证为常数）对任意的正整数都成立 是等差数列
【注意】如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．
题型七、关于奇偶项问题的讨论
【例7-1】数列满足，则前项的和______．
【例7-2】已知数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例7-3】记，为数列的前n项和，已知，．
（1）求，并证明是等差数列；
（2）求．
【方法技巧与总结】
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
题型八、对于含绝对值的数列求和问题
【例8-1】已知数列的前项和，则（ ）
A． B．不是等差数列
C．数列中最小 D．
【例8-2】已知数列的前n项和.
(1)求的通项公式．
(2)的前多少项和最大？
(3)设，求数列的前n项和.
【例8-3】已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，设，求.
【方法技巧与总结】
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
题型九、利用等差、等比数列的单调性求解
【例9-1】已知递增数列的前项和为，且满足（），则首项的取值范围为__________．
【例9-2】已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【例9-3】已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是 .
【例9-4】已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”．
（2）数列的单调性与，的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”．
题型十、等差数列中的范围与最值问题
【例10-1】已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例10-2】设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例10-3】已知为等差数列的前项和，且满足，，，若对任意的正整数，恒有，则正整数的值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【例10-4】设等差数列的前n项和为．若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例10-5】已知公差非零的等差数列 满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【例10-6】已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例10-7】设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，，则使成立的最大自然数的值为（ ）
A．9 B．10
C．18 D．19
【例10-8】在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【例10-9】在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．2
【例10-10】已知数列中，，且，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，总有，则t的取值范围是_____．
【例10-11】已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．3 D．2
【例10-12】是各项均为正数的等差数列，其公差，是等比数列，若，，和分别是和的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．和的大小关系不确定
【例10-13】已知是数列的前n项和，，，当数列的前n项和取得最大值时，n的值为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
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