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专题二十一 等比数列及其前n项和
知识归纳
一、等比数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．
（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．
即是与的等比中项 ，，成等比数列 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、等比数列的有关公式
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．
②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．
③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．
三、等比数列的性质
（1）等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．
②设与为等比数列，则也为等比数列．
（3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．
当或时，为递增数列；
当或时，为递减数列．
（4）其他衍生等比数列．
若已知等比数列，公比为，前项和为，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为．
②等长度截取
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
方法技巧与总结
1、若，则．
2、若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
3、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
4、公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．
5、为等比数列，若，则成等比数列．
6、当，时，是成等比数列的充要条件，此时．
7、有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间
项的平方．
8、若为正项等比数列，则为等差数列．
9、若为等差数列，则为等比数列．
10、若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．
典例分析
题型一、等比数列的基本运算
【例1-1】等比数列中，，．则的公比q为（ ）
A．2 B．2或 C． D．3
【例1-2】设等比数列满足，则___________.
【例1-3】等比数列的n前项和为，若，则（ ）
A．3 B．6 C．12 D．14
【例1-4】设正项等比数列的前n项和为，若，，则通项（ ）
A． B． C． D．
【例1-5】已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例1-6】在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（ ）
A． B． C． D．10
【例1-7】已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【例1-8】已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例1-9】在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（ ）
A．14 B．34 C．41 D．86
【例1-10】已知为等比数列，，则_________．
【例1-11】在数列中，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，，
一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．
（2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：
当时，；当时，．
题型二、等比数列的判定与证明
【例2-1】在数列中,,,则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．是等比数列
【例2-2】已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】已知数列和满足，，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【例2-4】已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
【例2-5】已知在数列中，.
(1)令，证明：数列是等比数列；
(2)，证明：.
【例2-6】已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明.
【例2-7】设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【方法技巧与总结】
等比数列的判定方法
定义法 若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列
中项公式法 若数列中，且，则是等比数列
通项公式法 若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列
前项和公式法 若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列
【注意】　
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
题型三、等比数列项的性质应用
【例3-1】在等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为
A． B． C． D．
【例3-3】在等比数列中，，函数，则__________．
【例3-4】已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30 B．10 C．9 D．6
【例3-5】在等比数列中，公比，且，则（ ）
A．3 B．12 C．18 D．24
【例3-6】在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为______
【例3-7】在各项都为正数的等比数列中，已知，其前n项之积为，且，则取最小值时，n的值是___________．
【方法技巧与总结】
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
题型四、等比数列前n项和的性质
【例4-1】已知等比数列的前n项和，则________．
【例4-2】已知等比数列的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-3】已知等比数列的公比，且，则___________.
【例4-4】等比数列前n项和为，若，则______.
【例4-5】等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．60 B．70 C．80 D．150
【例4-6】已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.
【例4-7】已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-8】已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
(1)等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．
①若共有项，则；②若共有项，．
(2)等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为．
题型五、等比数列的简单应用
【例5-1】古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米
【例5-2】在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有的细菌分裂为原来的2倍，的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ）
A．6小时末 B．7小时末 C．8小时末 D．9小时末
【例5-3】1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，所有去掉的区间长度和为（ ） （注： 或或或的区间长度均为）
A． B． C． D．
【例5-4】为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设为第n年的维修费用，为前n年的平均维修费用，若万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【例5-5】小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（ ）．
A． B．
C． D．
【例5-6】十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个间分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．第三次操作去掉的区间长度和为________；若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为________（参考数据：）
【例5-7】已知数列为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此规律类推．若其前n项和，则称k为的一个理想数．将的理想数从小到大依次排成一列，则第二个理想数是______；当的项数时，其所有理想数的和为______．
【例5-8】雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到图③、图④等一系列“雪花曲线”．
① ② ③ ④
若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为___________；第n个图中“雪花曲线”的周长Cn为___________．
【例5-9】治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的．
(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；
(2)设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．
【例5-10】数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响．
(1)用表示，并求实数，使是等比数列；
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据：）
题型六、奇偶项求和问题的讨论
【例6-1】已知数列中，，，则的前200项和_________.
【例6-2】已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
【例6-3】已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
【例6-4】已知数列中，，，令．
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前23项和．
【例6-5】已知数列，，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
【方法技巧与总结】
求解等比数列的前项和，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
题型七、等差数列与等比数列的综合应用
【例7-1】已知是等差数列，是等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】已知等差数列的公差为，且，且、、成等比数列，若，为数列的前项和．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例7-3】已知为一等差数列，为一等比数列，且这6个数都为实数.则下面四个结论中正确的是（ ）
①与可能同时成立
②与可能同时成立
③若，则
④若，则
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【例7-4】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【例7-5】已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
【例7-6】已知数列是公差为2的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且．设数列满足，其中，其前n项和为．
(1)求的值．
(2)若，求证：．
【方法技巧与总结】
(1)等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．
(2)等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．
题型八、等比数列的范围与最值问题
【例8-1】已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最小项为
C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列
【例8-2】已知等比数列，对任意，，是数列的前项和，若存在一个常数，使得，；下列结论中正确的是（ ）
A．是递减数列 B．是递增数列
C． D．一定存在，当时，
【例8-3】已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前n项积为，且，则使得的n的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例8-4】已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______．
【例8-5】已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【例8-6】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值
【例8-7】已知数列满足，且是数列的前n项和，则（ ）
A．数列单调递增 B．
C． D．
【例8-8】设正项等比数列的前项和为，，．记，下列说法正确的是（ ）
A．数列的公比为 B．
C．存在最大值，但无最小值 D．
【例8-9】（多选题）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A． B．当时，最小
C．当时，最小 D．存在，使得
【例8-10】（多选题）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，则下列选项中成立的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最大值
【例8-11】已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例8-12】正项数列中，（k为常数），若，则的取值范围是（ ）
A． B．[3，9] C． D．[3，15]
【例8-13】已知数列的前项和，记的前项和为，则数列中的最大项的值为（ ）
A． B． C． D．
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专题二十一 等比数列及其前n项和
知识归纳
一、等比数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．
（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．
即是与的等比中项 ，，成等比数列 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、等比数列的有关公式
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．
②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．
③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．
三、等比数列的性质
（1）等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．
②设与为等比数列，则也为等比数列．
（3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．
当或时，为递增数列；
当或时，为递减数列．
（4）其他衍生等比数列．
若已知等比数列，公比为，前项和为，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为．
②等长度截取
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
方法技巧与总结
1、若，则．
2、若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
3、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
4、公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．
5、为等比数列，若，则成等比数列．
6、当，时，是成等比数列的充要条件，此时．
7、有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间
项的平方．
8、若为正项等比数列，则为等差数列．
9、若为等差数列，则为等比数列．
10、若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．
典例分析
题型一、等比数列的基本运算
【例1-1】等比数列中，，．则的公比q为（ ）
A．2 B．2或 C． D．3
【答案】B
【解析】由题意，
故选：B
【例1-2】设等比数列满足，则___________.
【答案】
【解析】因为等比数列满足，所以，
又，解得，故，，所以.
故答案为：
【例1-3】等比数列的n前项和为，若，则（ ）
A．3 B．6 C．12 D．14
【答案】A
【解析】设等比数列的首项为，公比为，且，
若，则，与题设矛盾，所以，
由，解得，
所以，故选：A．
【例1-4】设正项等比数列的前n项和为，若，，则通项（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为q，则，且不为1
又由已知可得，解得，所以．故选：D.
【例1-5】已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，
即，因为，所以，
则，
即，解得
【例1-6】在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【解析】不妨设插入两个正数为，即
∵成等比数列，则，成等差数列，则
即，解得或（舍去）则
【例1-7】已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.
【例1-8】已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，
因为，则，，可得，
由已知、，所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
【例1-9】在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（ ）
A．14 B．34 C．41 D．86
【答案】C
【解析】因为成公比为3的等比数列，可得，所以
又因为数列为等差数列，所以公差，
所以，
所以，解得.
故选：C.
【例1-10】已知为等比数列，，则_________．
【答案】
【解析】设公比为，由题意知：，又，解得或，
若，则，，则；
若，则，，则.
故答案为：.
【例1-11】在数列中，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
又，所以是以3为首项，为公比的等比数列，
所以，得．
【方法技巧与总结】
等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，，
一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．
（2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：
当时，；当时，．
题型二、等比数列的判定与证明
【例2-1】在数列中,,,则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】B
【解析】由题知,所以,
又因为,所以是等比数列,且首项为4,公比为2.故选:B
【例2-2】已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，由递推知，，所以，
则，有，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以
则，所以.故选：C.
【例2-3】已知数列和满足，，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【解析】(1)由，，两式相减得：
，，则，所以是等比数列.
(2)由，，两式相加得：，
即，因为，所以，
由（1）知，所以，
所以的前项和.
【例2-4】已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
【解析】(1)证明：因为，
所以，即，
所以是公比为的等比数列．
将方程左右两边分别相减，
得，化简得，
所以是公差为2的等差数列．
(2)由（1）知，，
上式两边相加并化简，得，
所以．
【例2-5】已知在数列中，.
(1)令，证明：数列是等比数列；
(2)，证明：.
【解析】(1)证明：，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)证明：法一：，①
，②
①+②得
所以.
法二：由（1）知，所以，
所以，
所以，
又，所以.
【例2-6】已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明.
【解析】(1)证明：因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
由已知得，即，所以，，且，
是首项为，公比为的等比数列.
(2)证明：由（1）知，，，，
.
【例2-7】设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【详解】（1）因为，
所以，即
所以（为常数），
所以数列是等差数列．
（2）由（1）知，即.
所以，所以为公比为的等比数列，又，
所以，因为，
所以，
所以数列的前项和为：
．
【方法技巧与总结】
等比数列的判定方法
定义法 若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列
中项公式法 若数列中，且，则是等比数列
通项公式法 若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列
前项和公式法 若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列
【注意】　
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
题型三、等比数列项的性质应用
【例3-1】在等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：在等比数列中，因为为方程的两根，
所以，所以，所以.
【例3-2】在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在等比数列{an}中，由，得
则
【例3-3】在等比数列中，，函数，则__________．
【答案】
【详解】因为
，
所以．
因为数列为等比数列，所以，
于是．
【例3-4】已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30 B．10 C．9 D．6
【答案】B
【解析】为正数的等比数列，则，可得，
∵， ∴，
又∵，则，可得，
∴，解得，
故.故选：B.
【例3-5】在等比数列中，公比，且，则（ ）
A．3 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【详解】，.
【例3-6】在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为______
【答案】5
【解析】设正项等比数列公比为q，由得，
于是得，而，解得，
因此，，，
由得：，
从而得：，而 ，解得，
又，则n的最小值为5
【例3-7】在各项都为正数的等比数列中，已知，其前n项之积为，且，则取最小值时，n的值是___________．
【答案】9
【详解】由得，即故
因为，则，由于，得
所以等比数列是递增数列，故 ，则取最小值时，
【方法技巧与总结】
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
题型四、等比数列前n项和的性质
【例4-1】已知等比数列的前n项和，则________．
【答案】2
【解析】由题设，，
若时，，故与矛盾，
∴，即，显然成立.
【例4-2】已知等比数列的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
当时，，
因为数列为等比数列，所以，得，所以，
【例4-3】已知等比数列的公比，且，则___________.
【答案】120
【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以
.
【例4-4】等比数列前n项和为，若，则______.
【答案】
【解析】因为等比数列的前n项和为，则成等比，且，
所以，又因为，即，所以，整理得.
【例4-5】等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．60 B．70 C．80 D．150
【答案】D
【解析】因为是等比数列，所以成等比数列，
又因为，，，则，，
所以，.
【例4-6】已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，则（常数），
所以，数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列，
因为，
同理可得，因此，.
【例4-7】已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，即，
所以，
因为数列的各项都是正项，即，所以，即，
所以当时，，所以数列从第二项起，构成以为首项，公比的等比数列.
所以.
【例4-8】已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.
又，，成等差数列，所以，，
所以.
又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号.
【方法技巧与总结】
（1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．
①若共有项，则；②若共有项，．
（2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为．
题型五、等比数列的简单应用
【例5-1】古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米
【答案】C
【解析】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列，，公比，
，所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，
乌龟共爬行的距离.故选：C
【例5-2】在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有的细菌分裂为原来的2倍，的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ）
A．6小时末 B．7小时末 C．8小时末 D．9小时末
【答案】A
【解析】设表示第n小时末的细菌数，依题意有，
，则是等比数列，首项为，公比，
所以.依题意，，即，所以,
由于，
又，所以，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍,
【例5-3】1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，所有去掉的区间长度和为（ ） （注： 或或或的区间长度均为）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将定义的区间长度为，根据“康托尔三分集”的定义可得：
每次去掉的区间长组成的数为以为首项，为公比的等比数列，
第1次操作去掉的区间长为，剩余区间的长度和为，
第2次操作去掉两个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第3次操作去掉四个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第4次操作去掉8个区间长为，剩余区间的长度和为，
第次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为，
所以；
设定义区间为，则区间长度为1，
所以第次操作剩余区间的长度和为，
则去掉的区间长度和为.故选：B
【例5-4】为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设为第n年的维修费用，为前n年的平均维修费用，若万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【答案】C
【解析】设前n年的总维修费用为，，，
则，，即前6年可继续使用.
当时，
所以，
则
计算得，
故从第9年起需对设备进行更新，更新的年份为.故选：C.
【例5-5】小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设第年的存款到取出时的本息和为（千元），，
则，，，，
，，
所以小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数为：
所以，
所以，
所以，
所以，
【例5-6】十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个间分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．第三次操作去掉的区间长度和为________；若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为________（参考数据：）
【答案】
【解析】由题意得：每次操作，去掉的区间长度和为上一次去掉的区间长度之和的，
设去掉的区间长度之和为，则为等比数列，其中，公比，
所以，故，
其中，令，解得：，
所以需要操作的次数n的最小值为11.
【例5-7】已知数列为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此规律类推．若其前n项和，则称k为的一个理想数．将的理想数从小到大依次排成一列，则第二个理想数是______；当的项数时，其所有理想数的和为______．
【答案】 2 115
【解析】由题意可知 ,故第一个理想数为1，第二个理想数为2，
当时，数列可分为：
第1组1个数：1，其和为，
第2组2个数：，，其和为，
第3组3个数：，，，其和为，
……，
第N组N个数：，，，…，，其和为，
于是，前N组共个数，其和为，
当时，不可能是2的整数幂，
设第组还有t个数（），这t个数的和为，
所以项数，其前n项和，
当时，若，则是的一个理想数．
由项数，即得，
由，因此．
当时，，理想数为6；当时，，理想数为14；
当时，，理想数为30；当时，，理想数为62；
所以当项数时，所有理想数的和为．
【例5-8】雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到图③、图④等一系列“雪花曲线”．
① ② ③ ④
若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为___________；第n个图中“雪花曲线”的周长Cn为___________．
【答案】
【解析】第一个三角形面积，
第二个图形在第一个基础上多了三个小正三角形，故．
记第n个图形为，三角形边长为，边数，周长，
有条边，边长；有条边，边长；有条边，边长
，即，，
周长．
【例5-9】治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的．
(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；
(2)设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．
【解析】(1)设治理年后，S市的年垃圾排放量构成数列.
当时，是首项为，公差为的等差数列，
所以；
当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以，治理年后，S市的年垃圾排放量的表达式为
(2)设为数列的前项和，则．
由于
由（1）知，时，，所以为递减数列，
时，，所以为递减数列，且，
所以为递减数列，于是
因此，
所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的
【例5-10】数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响．
(1)用表示，并求实数，使是等比数列；
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据：）
【详解】（1）由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品的占比分别为．
易知经过次技术更新后，
则，即，
由题意，可设，∴，
又，
从而当时，是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，又，则，
∴经过次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比．
由题意，令，得，
则，
故，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上．
题型六、奇偶项求和问题的讨论
【例6-1】已知数列中，，，则的前200项和_________.
【答案】
【详解】由，，得.
当时，，所以，即，
所以的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列.
则.
【例6-2】已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】当时，，又，即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
【例6-3】已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
【例6-4】已知数列中，，，令．
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前23项和．
【解析】(1)解：当n=1时，a1a2=2，又a1=1，得a2=2，由，①，得，②，
①②两式相除可得，则，且b1=a2=2，
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，故；
(2)当n为偶数时，；当n为奇数时，，
，
所以数列的前23项和为，
==．
【例6-5】已知数列，，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
【解析】(1)设数列的公差为d，∵，，成等比数列，且，
∴，即，解得，
则，即，
(2)（ⅰ）由（1）可知，，
则
；
（ⅱ）由题意，对，
，
设的前n项为，
所以，则，
则，
所以，即．
【方法技巧与总结】
求解等比数列的前项和，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
题型七、等差数列与等比数列的综合应用
【例7-1】已知是等差数列，是等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为是等差数列，所以，故，则，
因为是等比数列，所以，故，则，
所以.
故选：A
【例7-2】已知等差数列的公差为，且，且、、成等比数列，若，为数列的前项和．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知可得，即，可得，，解得，
，所以，，
，
令，则，
当时，，即，
当时，，即，
所以，数列中，最小，故的最小值为.
【例7-3】已知为一等差数列，为一等比数列，且这6个数都为实数.则下面四个结论中正确的是（ ）
①与可能同时成立
②与可能同时成立
③若，则
④若，则
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】B
【解析】解：由等差数列知：，为公差），故①③均不正确，
由等比数列为公比）知：，知④正确，
当，时，②正确，
【例7-4】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【解析】(1)设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
(2)由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
【例7-5】已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
【解析】(1)设等差数列的公差为，
与的等差中项为，，解得：；
，，
；
(2)由（1）得：，即，
.
【例7-6】已知数列是公差为2的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且．设数列满足，其中，其前n项和为．
(1)求的值．
(2)若，求证：．
【解析】(1)解：因为，
所以，解得，所以，
所以；
(2)．
当时，，当时，，则，
所以.
【方法技巧与总结】
(1)等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．
(2)等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．
题型八、等比数列的范围与最值问题
【例8-1】已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最小项为
C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列
【答案】D
【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；
当为奇数时，，，最大；
综上所述：数列的最大项为，A正确；
对于B，当为偶数时，，，最小；
当为奇数时，；
综上所述：数列的最小项为，B正确；
对于C，，，
，
，，，
数列为递增数列，C正确；
对于D，，，
；
，，，又，
，数列为递减数列，D错误.
【例8-2】已知等比数列，对任意，，是数列的前项和，若存在一个常数，使得，；下列结论中正确的是（ ）
A．是递减数列 B．是递增数列
C． D．一定存在，当时，
【答案】D
【详解】对于A,若 符合，此时，
故存在,对，，但此时是递增数列，故A错误，
对于B，若 ，符合，此时，
故存在,对，，但此时是递减数列，，故BC错误，
对于D，存在，当时，，则 ,当时，，这与，使得，矛盾，故存在，当时，，故D正确，
【例8-3】已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前n项积为，且，则使得的n的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】设公比为，则，由，得，
因为，所以为递增数列，
所以，所以，，
，，
，，
，，
所以n的最小为8.
【例8-4】已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】设公比为.
当时，，则，此时有；
当时，因为，，，
所以，，
所以，，
所以，
当时，有最小值为.
综上所述，的最小值为.
【例8-5】已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】利用排除法：考查等比数列：，，，，
满足，但是，选项A错误；
考查等比数列：，，，，满足，但是，选项B错误；
该数列满足，但是，选项C错误；
【例8-6】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值
【答案】D
【解析】因为是公比为的等比数列，且，，，
所以，，所以，所以在等比数列中，
从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于.
对于A：因为，所以，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：根据上面的分析，等比数列中每一项都为正值，所以无最大值，
所以数列无最大值，故C不正确；
对于D：因为在等比数列中，从到的每一项都大于，
从开始后面所有的项的值都小于且大于，所以是数列中的最大值，故D正确.
【例8-7】已知数列满足，且是数列的前n项和，则（ ）
A．数列单调递增 B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A， 因为，所以，
设，
当时，单调递减，当时，单调递增.
所以所以所以
当时，；
当时，，因为，所以这种情况不存在.
所以，所以数列单调递减. 所以选项A错误.
．所以A错误．
对于B：由前面得．下面证明．只需证明，令，
，
令，则，
∴成立．所以，
所以，所以选项B错误；
对于C：，设，设，
则．所以函数单调递减，所以随着减小，从而增大．所以，即．所以C错误．
对于D：一般地，证明：,只需证明．
．令，
则，
∴成立．所以，所以．所以D正确．
【例8-8】设正项等比数列的前项和为，，．记，下列说法正确的是（ ）
A．数列的公比为 B．
C．存在最大值，但无最小值 D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以正项等比数列的公比满足，且，所以，故A错误；
由等比数列的前项和公式可得，，
因为，所以，故B错误；
因为，所以，
易知，由指数函数单调性可知，所以存在最大值，但无最小值，故C正确；
，故D错误；
【例8-9】（多选题）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A． B．当时，最小
C．当时，最小 D．存在，使得
【答案】AC
【解析】对A，∵，，∴，又，，∴，故A正确；
对B，C，由等比数列的性质，，故，，，
∴，∵，，，∴，，
∴，故当时，最小，B错误，C正确；
对D，当时，，故，故D错误.
【例8-10】（多选题）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，则下列选项中成立的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最大值
【答案】ABD
【解析】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，又，
，，B正确；
，，即，A正确；
由得，，所以，而，，因此，C错；
由上知，先增后减，与均为的最大值，D正确．
【例8-11】已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得，
所以，
所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，所以，解得，
【例8-12】正项数列中，（k为常数），若，则的取值范围是（ ）
A． B．[3，9] C． D．[3，15]
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
令，化简可得，
令，所以．故选：A．
【例8-13】已知数列的前项和，记的前项和为，则数列中的最大项的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为数列的前项和
所以，当时，，解得，
当时，，即，
所以，数列为等比数列，公比为，首项为，所以，，
所以，由等比数列性质，也为等比数列，公比为，首项为，
所以，的前项和，
所以，
当为奇数时，随着的增大而增大，故，
因为函数在上单调递增，为增数列，所以，
当为偶数时，随着的增大而增小，故，
因为函数在上单调递增，为增数列，所以，
综上，对于，，即数列中的最大项的值为.
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