资源简介
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专题08 勾股定理中的最短路径问题
【题型目录】
题型一 与长方形有关的最短路径问题
题型二 与圆柱有关的最短路径问题
题型三 与台阶有关的最短路径问题
题型四 将军饮马与最短路径问题
【知识梳理】
勾股定理中的最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
勾股定理中的翻折问题
勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度．
【经典例题一 与长方形有关的最短路径问题】
【解题思路】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论．
要点总结：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前＋右”、“前＋上”和“左＋上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同．
【例1】（2023秋·四川成都·八年级统考期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为，，，点离点的距离是，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，长方体的长为2，宽为1，高为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的外表面到点B处觅食，则它爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图是一个底面为正方形的长方体，已知该长方体底面边长为，高为，若一只飘虫沿着长方体的表面从点A爬到点，则需要爬行的最短距离是 ．
4．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，正方体盒子的棱长为，O为的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为 ．
5．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：
(1)用语言叙述勾股定理；
(2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理；
(3)利用勾股定理来解决下列问题：
如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少 （画出图形，并说明理由）
6．（2023春·广东广州·八年级广州大学附属中学校考阶段练习）一只蚂蚁沿图①中立方体的表面从顶点A爬到顶点B，图②是图①立方体的表面展开图，设立方体的棱长为1．
(1)在图②中标出点B的位置．
(2)求蚂蚁从点A到点B爬行的最短路径长．
【经典例题二 与圆柱有关的最短路径问题】
【解题思路】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算．
要点总结：
1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数．
【例2】（2023春·河南新乡·八年级新乡市第十中学校考期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（ ）m．
A．8 B．5 C．20 D．10
【变式训练】
1．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）如图，圆柱形容器高为，底面周长为．在容器内壁距离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿的点处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为（ ）（不计壁厚）
A． B． C．10 D．20
2．（2022秋·河南三门峡·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计）．
A．14 B．18 C．20 D．25
3．（2023秋·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）如图，在圆柱的截面中，，，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S的最短距离为 ．
4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面圆的周长为
(1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 ；
(2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧中点B处(如右图)，则蚂蚁爬行的最短路程是 ．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上．
(1)若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
(2)若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
【经典例题三 与台阶有关的最短路径问题】
【解题思路】根据两点之间线段之和最小进行解决．
要点总结：展开—定点—连线—勾股定理
【例3】（2023春·八年级课时练习）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A． B．3 C． D．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·八年级课时练习）如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块 ，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 ________ 米．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
【经典例题四 将军饮马与最短路径问题】
【解题思路】解决线段之和最小值问题：对称＋连线，根据两点之间线段最短解决．
要点总结：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解．
【例4】圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（ ）
A． B．28 C．20 D．
【变式训练】
1．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3）
A．30 B．28 C．25 D．22
2．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．
（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．
（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．
【重难点训练】
勾股定理中的15道最短路径问题专训
1．（2020秋·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图：长方体的长、宽、高分别是，，，在中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·广东广州·八年级期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B．25 C． D．35
3．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计）
A． B． C． D．
4．（2022秋·云南文山·八年级校考期末）白日登山望烽火，黄香饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若点A到水平直线l（l表示小河）的距离为3，点B到水平直线l的距离为2，A、B两点之间的水平距离是3，则最小值为（ ）
A． B．4 C．5 D．―
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC为边长3的等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，且AE=1，P为线段AD上的一个动点，则PB+PE的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
6．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，在中，斜边，，的垂直平分线分别交、于点E、点D，连接，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
7．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如右图，一只蚂蚁从棱长为的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点，那么它的最短路线的长是 ．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是 寸．
9．（2023春·八年级课时练习）棱长分别为两个正方体如图放置，点P在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ．
10．（2023春·全国·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm
11．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点在上，．一名滑雪爱好者从点滑到点时，他滑行的最短路程约为______（取3）．
12．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点．且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，则棉线最短为 _____cm．
13．（2023春·全国·八年级专题练习）一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，
(1)请问：长为dm的铁棒能放进去吗？
(2)如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．
14．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．
(2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____．
(3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____．
(4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____．
专题08 勾股定理中的最短路径问题
【题型目录】
题型一 与长方形有关的最短路径问题
题型二 与圆柱有关的最短路径问题
题型三 与台阶有关的最短路径问题
题型四 将军饮马与最短路径问题
重难点训练
勾股定理中的15道最短路径问题专训
【知识梳理】
勾股定理中的最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
勾股定理中的翻折问题
勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度．
【经典例题一 与长方形有关的最短路径问题】
【解题思路】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论．
要点总结：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前＋右”、“前＋上”和“左＋上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同．
【例1】（2023秋·四川成都·八年级统考期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为，，，点离点的距离是，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【详解】解：①只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成个长方形，如图：
长方体的宽为，高为点离点的距离是，
，，
在直角三角形中,根据勾股定理得：
；
②只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图：
长方体的宽为，高为点离点的距离是，
，，
在直角三角形中,根据勾股定理得：
；
③只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图：
长方体的宽为，高为点离点的距离是，
，
在直角三角形中,根据勾股定理得:
，
．
蚂蚁爬行的最短距离是．
故选：．
【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，
由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方体的棱长为，
∴，，
在中，，
在中，，
∴；
故选A.
【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键，是将立体图像展开，根据两点之间线段最短，确定最短路径．
2．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，长方体的长为2，宽为1，高为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的外表面到点B处觅食，则它爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个平面，
；
第二种情况：把我们看到的右面与上面组成一个长方形，
；
第三种情况：把我们所看到的前面和底面组成一个长方形，
；
∵，
∴它爬行的最短路程为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．
3．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图是一个底面为正方形的长方体，已知该长方体底面边长为，高为，若一只飘虫沿着长方体的表面从点A爬到点，则需要爬行的最短距离是 ．
【答案】
【分析】分类讨论：①把长方体左侧表面剪开与前面所在的平面形成一个长方形，再连接，结合题意，利用勾股定理求出的长即为此时需要爬行的最短距离；②把长方体下表面剪开与左侧面所在的平面形成一个长方形，再连接，同理求出的长即为此时需要爬行的最短距离，再比较即可．
【详解】解：分类讨论：①把长方体左侧表面剪开与前面所在的平面形成一个长方形，如图，连接，
∵该长方体底面边长为，高为，
∴，，
∴；
②把长方体下表面剪开与左侧面所在的平面形成一个长方形，如图，连接，
∵该长方体底面边长为，高为，
∴，，
∴．
∵，
∴需要爬行的最短距离是．
故答案为：．
【点睛】本题考查平面展开图—最短路径问题，勾股定理，两点之间线段最短．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
4．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，正方体盒子的棱长为，O为的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为 ．
【答案】
【分析】根据两点之间线段最短，用勾股定理求解．
【详解】解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
∵正方体的棱长为，O为的中点，
∴，，，
由勾股定理得，
答：蚂蚁需爬行的最短路程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查两点之间线段最短，灵活运用所学知识是关键．
5．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：
(1)用语言叙述勾股定理；
(2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理；
(3)利用勾股定理来解决下列问题：
如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少 （画出图形，并说明理由）
【答案】(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
(2)见解析
(3)
【分析】（1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）利用等面积建立等式进行解答；
（3）把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出即可．
【详解】（1）解：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）解：若选图1，则由图形可知：，
整理得：；
选择图2，则由图形可知：．
整理，得；
若选图3，则由图形可知：，
整理得：．
（3）解：把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出．
当展开图形为①：当展开图为②：当展开图为③：
①②
③
∵，
∴蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明与应用．解答该题时，利用“数形结合”的数学思想是解答关键．
6．（2023春·广东广州·八年级广州大学附属中学校考阶段练习）一只蚂蚁沿图①中立方体的表面从顶点A爬到顶点B，图②是图①立方体的表面展开图，设立方体的棱长为1．
(1)在图②中标出点B的位置．
(2)求蚂蚁从点A到点B爬行的最短路径长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）图①中点与点的位置，在图②中标出即可；
（2）在根据利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：连接，
立方体的棱长为1，
，，
，
蚂蚁爬行的最短路程是．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是利用“化曲面为平面”来解决“怎样爬行最近”这类的问题．
【经典例题二 与圆柱有关的最短路径问题】
【解题思路】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算．
要点总结：
1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数．
【例2】（2023春·河南新乡·八年级新乡市第十中学校考期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（ ）m．
A．8 B．5 C．20 D．10
【答案】C
【分析】把曲面展开变为平面，利用两点间线段最短，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，线段即为所需彩带最短，
由图可知，，
∴由勾股定理得，
，
故选C．
【点睛】本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）如图，圆柱形容器高为，底面周长为．在容器内壁距离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿的点处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为（ ）（不计壁厚）
A． B． C．10 D．20
【答案】A
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图：
∵高为12cm，底面周长为，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝8cm，BD＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝（cm），
故壁虎捕捉蚊子的最短距离为cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
2．（2022秋·河南三门峡·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计）．
A．14 B．18 C．20 D．25
【答案】C
【分析】如图（见解析），将杯子侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，作，交延长线于点，
则，
由两点之间线段最短可知，当点、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为的长度，
由题意可知，，，
则，
即蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为，
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
3．（2023秋·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）如图，在圆柱的截面中，，，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S的最短距离为 ．
【答案】20
【分析】先把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可求得的长．
【详解】解：如图，∵在圆柱的截面中，，，
∴，，
∴，
故答案为：20．
【点睛】本题考查平面展开图 最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．
4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面圆的周长为
(1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 ；
(2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧中点B处(如右图)，则蚂蚁爬行的最短路程是 ．
【答案】
【分析】（1）把圆柱侧面展开，在中，利用勾股定理求解即可．
（2）将圆柱侧面展开，得到矩形，作点关于的对称点，构造，根据勾股定理求出即可解决问题．
【详解】(1)如图，把圆柱侧面展开，在中，
∵，
∴ ，
故答案为：．
(2)如图所示，点与点关于对称，可得，，
则最短路程为
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理求线段最短距离，轴对称的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上．
(1)若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
(2)若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
【答案】(1)25
(2)
【分析】（1）根据题意画出图形，在Rt中，再根据勾股定理求解即可；
（2）在Rt中根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
在Rt中，，，
（尺）
答：葛藤长为25尺．
故答案为：25；
（2）解：在Rt中，，，
（尺），
答：葛藤长为尺．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解决问题的关键．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
【答案】(1)A
(2)
(3)
【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；
（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可；
（3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍．
【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点．
故选：A；
（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
圆柱底面的周长，圆柱的高，
该长度最短的金属丝的长为．
（3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A，
则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍：
．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
【经典例题三 与台阶有关的最短路径问题】
【解题思路】根据两点之间线段之和最小进行解决．
要点总结：展开—定点—连线—勾股定理
【例3】（2023春·八年级课时练习）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如图，
因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，
所以AC2=DC2+AD2=20，
所以AC=，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：=+=，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
2．（2023春·八年级课时练习）如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块 ，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 ________ 米．
【答案】
【分析】解答此题要将木块表面展开，再构建直角三角形，然后根据两点之间线段最短，再利用勾股定理进行解答．
【详解】解：如图，由题意可知，将木块展开， 展开图的长相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为18+2×2=22米；宽为7米．
于是最短路径为：（米）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，两点之间线段最短的性质，勾股定理的应用，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
【答案】最短路程是150cm．
【分析】展开后得到下图的直角，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．
【详解】展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，
由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，
答：最短路程是150cm．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决．
【经典例题四 将军饮马与最短路径问题】
【解题思路】解决线段之和最小值问题：对称＋连线，根据两点之间线段最短解决．
要点总结：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解．
【例4】圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（ ）
A． B．28 C．20 D．
【答案】C
【详解】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
详解：如图所示，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B= (cm)．
故选：C．
点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识．将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于EF的对称点A′是解题的关键．
【变式训练】
1．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3）
A．30 B．28 C．25 D．22
【答案】C
【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于AB的对称点F，连接DF，根据半圆的周长求得，根据对称求得，在Rt△CDF中，勾股定理求得．
【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，
∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆，
∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，
∴CF=2BC=15cm，
在Rt△CDF中，DF=cm，
故他滑行的最短距离约为cm．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键．
2．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．
（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．
（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．
【答案】（1）见解析；（2）100cm
【分析】(1)做出A关于BC的对称点A’，连接A’G，与BC交于点Q，由两点之间线段最短，此时A’G最短，即AQ+QG最短；
(2)A’G为直角△A’EG的斜边，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：(1)如下图所示，
作点A关于BC所在直线的对称点，连接，与交于点，
由两点之间线段最短，此时A’G最短，
则为最短路线．
(2)∵，
∴，
∴．
在中，，，
∴．
由对称性可知，
∴．
故小虫爬行的最短路线长为100cm．
【点睛】本题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，本题的关键是根据对称性作出A的对称点A’，再根据两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．
【重难点训练】
勾股定理中的15道最短路径问题专训
1．（2020秋·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图：长方体的长、宽、高分别是，，，在中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将长方体展开，根据两点之间线段最短，连接，可知的长就是小虫爬的最短路线，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图展开，连接，
由图可知的长就是小虫爬的最短路线，
在中，，，
由勾股定理得：，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，几何表面的最短路径，正确展开几何图形找到最短路径是解答本题的关键．
2．（2023春·广东广州·八年级期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B．25 C． D．35
【答案】B
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1，
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2，
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
∴；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3，
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
∴；
∵，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25，
故选：B．
【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
3．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点，
连接，则即为最短距离，
在直角中，由勾股定理得
．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
4．（2022秋·云南文山·八年级校考期末）白日登山望烽火，黄香饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若点A到水平直线l（l表示小河）的距离为3，点B到水平直线l的距离为2，A、B两点之间的水平距离是3，则最小值为（ ）
A． B．4 C．5 D．―
【答案】A
【分析】作点A关于直线l的对称点，连接B交直线l于点P，此时AP＋PB最小，且的最小值为B的长度，然后求出EB和E，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时AP＋PB最小；
∵PA＝P，
∴AP＋PB＝P＋PB＝B，
过点B作BE⊥AC于点E，
∵AC⊥CD，
∴BECD，
又∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴CE＝BD＝2，
同理可得：EB＝CD＝3，
∵AC＝C＝3，
∴E＝2＋3＝5，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定，平行线间的距离处处相等，轴对称最短路径问题以及勾股定理，准确找到点P的位置是解此题的关键．
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC为边长3的等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，且AE=1，P为线段AD上的一个动点，则PB+PE的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】作E关于AD的对称点，连接交AD于P，于是得到PE+PB的最小值=，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】作E关于AD的对称点连接交AD于P，
则此时PE + PB有最小值，PE+ PB的最小值=，
∵= AE= 1，
∴ CE'=3-1=2，
作E'F⊥BC于F，
∵△ABC为等边三角形，∠C= 60°，
∴°
∴CF==1， ，
∵AC= BC= 3，
∴BF=3-1= 2，
，
∴PE+ PB的最小值=，
故选：B
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，根据已知得出对应点P位置是解题关键．
6．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，在中，斜边，，的垂直平分线分别交、于点E、点D，连接，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接，过点作交于点，根据三角形的内角和可得，根据垂直平分线的性质可得，推得，根据角平分线的判定可得平分，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，推得点于点关于对称，，即可推得故的最小值为线段的长，根据垂线段最短可得当时，的值最小，根据30度所对的边是斜边的一半和勾股定理求得,即可求得的最小值为．
【详解】连接，过点作交于点，如图：
在中，，
∴，
∵的垂直平分线分别交、于点E、点D，
∴，
∴，
即平分，
又∵，，
∴，，
∴是等边三角形，
又∵平分，
故垂直平分，
即点于点关于对称，
∴，
则，故的最小值为线段的长，
故当时，的值最小，
在中，，，
故，
,
即的最小值为，
故答案为；．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，垂直平分线的性质，角平分线的判定可，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，30度所对的边是斜边的一半，勾股定理等，确定出点M、N的位置是解题的关键．
7．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如右图，一只蚂蚁从棱长为的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点，那么它的最短路线的长是 ．
【答案】
【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点B间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得．
【详解】解：∵展开后如下图所示，则有，
由勾股定理得：，
∴．
故答案为
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将平面展开利用勾股定理求解是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是 寸．
【答案】25
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
【详解】解：将台阶展开矩形，线段恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸，
由勾股定理得寸．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．
9．（2023春·八年级课时练习）棱长分别为两个正方体如图放置，点P在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】cm．
【分析】求出两种展开图的值，比较即可判断；
【详解】解：如图，有两种展开方法：
方法一∶，
方法二∶．
故需要爬行的最短距离是cm．
故答案为：cm．
【点睛】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．（2023春·全国·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm
【答案】16
【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可．
【详解】
如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形，
∴，，，，
此时最小，
∵点是中点，
∴cm，
∴cm，cm，
在中，cm，
∴cm，
故答案为：16．
【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算．
11．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点在上，．一名滑雪爱好者从点滑到点时，他滑行的最短路程约为______（取3）．
【答案】15
【分析】要使滑行的距离最短，则沿着的线段滑行，先将半圆展开为长方形，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，求出和的长，再根据勾股定理求出的长度即可．
【详解】解：将半圆面展开可得，如图所示：
∵滑行部分的斜面是半径为3的半圆
∴，
∵， ，
∴，
在中，
．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用和两点之间线段最短，解题关键是把U型池的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，再利用勾股定理求解．
12．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点．且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，则棉线最短为 _____cm．
【答案】30
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：→→；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：（cm）；
又∵圆柱高为18cm，
∴小长方形的一条边长是（cm）；
根据勾股定理求得（cm）；
∴cm；
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开﹣﹣路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
13．（2023春·全国·八年级专题练习）一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，
(1)请问：长为dm的铁棒能放进去吗？
(2)如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．
【答案】(1)能
(2)dm
【分析】（1）连接，利用勾股定理求出的长度，再进行比较即可得；
（2）分三种情况将长方体展开，然后进行比较即得结果．
【详解】（1）如图1，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴长为dm的铁棒能放进去；
（2）如图2所示，将前面与右侧面展开，
dm．
如图3所示，将前面与上面展开，
dm，
如图4所示，将下面与右侧面展开，
dm，
∵，
∴爬行的最短路程是dm．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用之最短路径问题，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
【答案】(1)见解析；
(2)50万元.
【分析】（1）作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求；
（2）连接交于H点，过点B作，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求.
（2）解：如图，连接交于H点，过点B作，
由题意可知：，，，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
由对称性质可知：，
水管长，
完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元）
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．
(2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____．
(3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____．
(4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____．
【答案】(1)见解析；
(2)两点之间线段最短；
(3)120cm，50cm；
(4)130cm
【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可；
（2）根据题（1）即可求解；
（3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和两个三角形边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽；
（4）根据勾股定理计算的长即可求解．
【详解】（1）如图所示即为所求：
（2）线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）根据题意可得：展开图中的cm，cm．
故答案为：120cm，50cm；
（4）由题（1）可得：在Rt中，
由勾股定理可得：cm，
故答案为：130cm．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．
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