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邢台市四校质检联盟2023-2024学年高二上学期第一次月考
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一 二章.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列直线方程是两点式方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2.在棱长为2的正方体中，以某个点作为坐标原点建立空间直角坐标系，则点的坐标可能为（ ）
A. B.
C. D.
3.点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
4.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知圆与圆相交，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6.一条光线从点射出，与轴相交于点，则反射光线所在直线在轴上的截距为（ ）
A. B. C. D.
7.某学校塑胶跑道的宽为2米，以跑道最左侧内轮廓半圆弧的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，跑道内轮廊上半部分图象对应的函数解析式为跑道由两个半圆环和两个矩形组成，现需要重新翻新塑胶跑道，每平方米的价格为100元，则翻新跑道共需要投入的资金为（ ）
A.万元 B.万元 C.万元 D.万元
8.在四棱锥中，底面为菱形，底面为棱的中点，为线段的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C.2 D.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若直线的斜率为，则直线的倾斜角可能为（ ）
A. B. C. D.
10.在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（ ）
A. B. C. D.
11.在正四面体中，分别是的中点，，则（ ）
A. B.
C. D.异面直线与所成的角为
12.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心 半径为的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（ ）
A.南偏西方向 B.南偏西方向
C.北偏西方向 D.北偏西方向
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若直线与直线垂直，则__________.
14.在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为__________.
15.写出一个既与轴相切又与直线相切的圆的标准方程：__________.
16.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图2所示的空间直角坐标系，则点的坐标为__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知点.
（1）求圆心为点，且过点的圆的标准方程；
（2）求过点且与直线平行的直线方程（结果用一般式方程表示）.
18.（12分）
在如图所示的斜三棱柱中，.
（1）设，用表示；
（2）若，求的长.
19.（12分）
在中，点的坐标为，点的坐标为边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为.
（1）求点的坐标；
（2）过点的直线与轴的正半轴 轴的正半轴分别交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值.
20.（12分）
如图，在四棱锥中，平面.
（1）证明：平面平面.
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
21.（12分）
已知圆.
（1）证明：圆过定点.
（2）当时，求直线被圆截得的弦长.
（3）当时，若直线与圆交于两点，且，其中为坐标原点，求的取值范围.
22.（12分）
如图，为圆柱底面圆周上三个不同的点，分别为半圆柱的三条母线，且是的中点，分别为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若是上的动点（含弧的端点），求与平面所成角的正弦值的最大值.
邢台市四校质检联盟2023-2024学年高二上学期第一次月考
数学参考答案
1.D 是斜截式方程，是点斜式方程，是截距式方程，是两点式方程.
2.C 在棱长为2的正方体中，，故选C.
3.A 点到直线的距离为.
4.B 因为，所以共面，共面，共面.
不存在实数，使得，所以不共面.
5.D 圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.依题意可得，即，解得.
6.C 关于轴的对称点为，则反射光线所在直线为.因为，所以反射光线所在直线的方程为.令，得反射光线所在直线在轴上的截距为.
7.B 当时，由，得，则曲线表示半径为36的四分之一个圆；
当时，由，得，则曲线表示半径为36的四分之一个圆.
所以塑胶跑道的面积，则翻新跑道共需要投入的资金为万元.
8.C 设与交于点，连接.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则令，得.因为点的坐标为，所以，故点到平面的距离为.
9.ACD 因为，所以直线的倾斜角.
10.ABC .设的坐标为.
若四边形为平行四边形，则，则，此时的坐标为.若四边形为平行四边形，则，则，，此时的坐标为.
若四边形为平行四边形，则，则，此时的坐标为.
11.BC
，A错误，B正确.
在正四面体中，可证，则，则，所以，C正确.
取的中点为，连接，则，且.因为，所以，所以是以为直角的等腰直角三角形，所以异面直线与所成的角为，且，D错误.
12.BCD 如图，以小岛的中心为原点，正东方向为轴，为单位长度，建立如图所示的直角坐标系，则轮船所在的位置为，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为400.设轮船航线所在直线的方程为，即.由，得或，因为，所以该轮船的行驶路线可以是南偏西方向，北偏西方向，北偏西方向.
13.-12 因为直线与直线垂直，所以，解得.
14. 取，则，所以点到直线的距离为.
15.本题答案不唯一，只要所写方程形如或即可.
16. 其俯视图如图所示，可得点的坐标为，.
17.解：（1）因为，
所以所求圆的标准方程为.
（2）设所求直线方程为，
将点的坐标代入得，解得，
所以所求直线方程为.
18.解：（1）在三棱柱中，侧面为平行四边形，
所以，
则.
（2）依题意可得
则
，
所以的长为.
19.解：（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为-1.
又点的坐标为，所以直线的方程为，
即.
由与，解得，
因为边上的中线经过点，所以点的坐标为.
（2）依题意可设直线的方程为，
则.
因为，所以，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为.
20.（1）证明：因为平面，所以.
在Rt中可求得.
在中，因为，所以，
所以.
又平面，所以.
因为，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解：因为平面，所以分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
由（1）知平面，所以为平面的一个法向量.
设平面的法向量为，可得
令，得.
设平面与平面的夹角为，
则.
21.（1）证明：由，
得，
令，得，解得，
所以圆过定点，且定点的坐标为.
（2）解：当时，圆的标准方程为，则圆的圆心到直线
的距离，
所以直线被圆截得的弦长为.
（3）解：将代入，得.
设，则，
恒成立，
所以
，整理得，
所以的取值范围是.
22.（1）证明：因为分别为半圆柱的三条母线，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
又因为平面平面，
所以平面.
（2）解：记的中点为，点在平面内的投影记为，连接.
因为是半圆的中点，所以.
易知平面两两相互垂直，且.
以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，.
点在平面内的单位圆上，其坐标不妨记为，则，.
设平面的法向量为，
则即令，得.
设与平面所成的角为，
则
，
当且仅当时，与平面所成角的正弦值取得最大值，且最大值为.

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