资源简介

圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆
一、椭圆定义
椭圆三定义，简称和比积.
1、定义 1：(和)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.
定点为焦点，定值为长轴.（定值= 2a ）
2、定义 2：(比)到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做
椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值= e ）
3、定义 3：(积)到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.
定点为短轴顶点，定值为负值. （定值 k e2 1）
二、椭圆的性质定理
长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①
准线方程准焦距， a方、 b方除以 c②
通径等于 2 e p，切线方程用代替③
焦三角形计面积，半角正切连乘 b④
注解：
1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理
长轴 2a ，短轴 2b ，焦距 2c，则： a2 b2 c2
2、准线方程准焦距， a方、 b方除以 c
a2
准线方程： x c （
a 方除以 c ）
b2
准焦距 p ：焦点到准线的距离： p （ bc 方除以 c ）
3、通径等于 2 e p，切线方程用代替
椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的
c b2 2b2
距离称为椭圆的通径.（通径 d 2ep 2 a c a ）
过椭圆上 (x0 , y0 )点的切线方程，用 (x0 , y0 )等效代替椭圆方程得到.
x0 x y y
等效代替后的是切线方程是： 2
0 1
a b2
4、焦三角形计面积，半角正切连乘 b
焦三角形：以椭圆的两个焦点 F1 , F2 为顶点，另一个顶点 P 在椭圆上
的三角形称为焦三角形.半角是指 F1PF2 的一半.
2
则焦三角形的面积为： S b tan 2 y
P
证明：设 PF1 m ， PF2 n ，则 m n 2a . m n
由余弦定理：
F1 O F2 x
m 2 n2 2mn cos 4c 2
4a2 4b2 (m n)2 4b2
即： 2mn cos 2mn 4b2 ，即： 2b2 (1 cos )mn .
2
即： mn | PF1 || PF2 |
2b

1 cos
1 2b21 sin
故： S△F PF m n sin sin b
2
1 2 2 2 1 cos 1 cos
sin 2 sin
cos
2 2 tan
又： 1 cos 2 cos2 2
2
2
所以：椭圆的焦点三角形的面积为 S F b tan1 PF2 2 .
三、椭圆的相关公式
切线平分焦周角，称为弦切角定理①
切点连线求方程，极线定理须牢记②
弦与中线斜率积，准线去除准焦距③
细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④
注解：
1、切线平分焦周角，称为弦切角定理
弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.
焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.
弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为
焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.
2、切点连线求方程，极线定理须牢记
2
P (x , y ) x y
2
若 0 0 0 在椭圆 2 2 1外，则过 P0作椭圆的两条切线，切点为a b
P1 , P2 ，则点 P0和切点弦 P1 , P2 分别称为椭圆的极点和极线.
切点弦 P1P
x x y y
2的直线方程即极线方程是
0
2
0
2 1（称为极线定理） a b
3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距
弦指椭圆内的一弦 AB .中线指弦 AB的中点 M 与原点 O 的连线，即
a2
OAB得中线 .这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离 xc c 去除
b2 p b
2
准焦距 p ，其结果是： kAB kOM x a2c c
4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹
中点弦 AB的方程：在椭圆中，若弦 AB的中点为 M (x0 , y0 )，弦 AB称
x 2 20 x y0 y x0 y0
为中点弦，则中点弦的方程就是 a 2 b 2 a 2 b 2 ，是直线方程.
弦中点 M 的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点 P0 (x0 , y0 )的弦 AB，其
x 0 x y
2 2
0 y x y
中点 M 的方程就是 2 2 a b a 2

b 2 ，仍为椭圆.
这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.
圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-双曲线
一、双曲线定义
双曲线有四定义，差比交线反比例
1、定义 1：(差)平面内，到两个定点 F1, F2 的距离之差的绝对值为定
值 2a （小于这两个定点间的距离 F1F2 ）的点的轨迹称为双曲线。定点
F1, F2 叫双曲线的焦点。即： PF1 PF2 2a
2、定义 2：(比)平面内，到给定一点及一直线的距离之比为定值
e 1的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线
的准线。
3、定义 3：(交线)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平
行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
k
4、定义 4：(反比例)在平面直角坐标系中，反比例函数 y x 的图
象称为双曲线。
证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.
2
xy k y x x y
2
证明：因为 的对称轴是 , y x，而 a2
2 1b 的对称轴
是 x 轴， y 轴，所以应该旋转 45o . 设旋转的角度为 （ 0，顺时针）
（ 为双曲线渐进线的倾斜角）
则有： X x cos y sin ， Y x sin y cos
取 45 o ，则：
2 2
X 2 Y 2 x cos 45
o y sin 45o o o x sin 45 y cos 45
1
x y 2 x y 2 2xy
2
而 xy k ，所以， X 2 Y 2 2xy 2k
X 2 Y 2 Y 2 X 2
即： 1 ( k 0 )或 1 ( k 0 )
2k 2k ( 2k) ( 2k)
由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲
线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
二、双曲线的性质定理
基本同椭圆，有所区别：
长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①
准线方程准焦距， a方、 b方除以 c②
通径等于 2 e p，切线方程用代替③
焦三角形计面积，半角余切连乘 b④
注解：
1、长轴短轴与焦距：形似勾股弦定理
长轴 2a ，短轴 2b 2 2 2，焦距 2c，则： a b c
实际上，双曲线是实轴、虚轴、与焦距，但为了方便记忆，也不至
于造成混乱，我们还是按椭圆的口诀记忆.
2、准线方程准焦距， a方、 b方除以 c
2
准线方程： x
a

c （ a 方除以 c ）
b2
准焦距 p ：焦点到准线的距离： p c （ b 方除以 c ）
3、通径等于 2 e p，切线方程用代替
双曲线的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之
c b2 2b2
间的距离称为双曲线的通径.（通径 d 2ep 2 a c a ）
过双曲线上 P0 (x0 , y0 )点的切线方程，用 P0 (x0 , y0 )等效代替双曲线方程
x0 x y0 y
得到，等效代替后的是切线方程是： a2
1
b2
4、焦三角形计面积，半角余切连乘 b
焦三角形：以双曲线的两个焦点 F1 , F2 为顶点，另一个顶点 P 在椭圆
上的三角形称为焦三角形.半角是指 F1PF2 的一半.
x2 y2
双曲线 2 2 1a b 的左右焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 为双曲线上异于顶
点 任 意 一 点 F1 PF2 ， 则 双 曲 线 的 焦 点 三 角 形 满 足 ：
2b2PF1 PF2 1 cos
2
其面积为； S F PF b co t1 2 2 .
证明：设 PF1 m, PF2 n ，则 m n 2a
在 F1PF2 中，由余弦定理得：
PF 2 PF 21 2 2 PF1 PF2 cos F F
2
1 2 ，
2 2
即： m n 2mn cos 4c2 4a2 4b2 (m n)2 4b2
2
即： m n2 2mn cos (m n)2 4b2
即： 2mn 2mn cos 4b2 2b2，即： mn(1 cos )
mn 2b
2
2
即：
2b
1 cos ，即： PF1 PF 2 1 cos
那么，焦点三角形的面积为：
1 1 2b2S F PF mn sin sin 1 2 2 2 1 cos
2 sin cos b2 sin
b2 2 2 2
1 cos b cot2 sin2 2
2
S 故： F PF b
2 cot
1 2 2
2
同时： S
1
F PF F1F2 yP c y
b
1 2 2 P ，故：
y p cotc 2
2
双曲线的焦点三角形的面积为： S F PF b co t1 2 2 .
三、双曲线的相关公式
切线平分焦周角，称为弦切角定理①
切点连线求方程，极线定理须牢记②
弦与中线斜率积，准线去除准焦距③
细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④
注解：
1、切线平分焦周角，称为弦切角定理
弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.
焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.
弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当
弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两 y P
个焦点弦的角平分线.
F1 F2 x
如图， F1PF2是焦点三角形， F1PF2 为焦周 T
角， PT 为双曲线的切线. 则 PT 平分 F1PF2 .
2、切点连线求方程，极线定理须牢记
P (x , y x
2 y2
若 0 0 0 )在双曲线 2 2 1外，以包含焦点的区域为内，不包含a b
焦点的区域为外，则过 P0作双曲选的两条 y
P
切线，切点为 P1、 P2 ，则点 P0和切点弦 P1P
1
2
P
分别称为双曲线的极点和极线，切点弦 P P 01 2
F1 O F2 x
x x y y
的直线方程即极线方程是 0 02 2 1（称
P2
a b
为极线定理）
3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距
弦指双曲线内的一弦 AB .中线指弦 AB的
y
中点 M 与原点 O 的连线，即 OAB得中线 . M B
A
这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离
F O1 F2 x
a2 b2 k k p b
2
x 去除准焦距 p ，其结果是： AB OM c c c xc a
2
4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹
中点弦 AB的方程：在双曲线中，若弦 AB 的中点为 M (x0 , y0 )，称弦 AB
x x y y x2 y2
为中点弦，则中点弦的方程就是： 0 0 0 02 2 2 2 ，它是直线方程. a b a b
弦中点 M 的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点 P0 (x0 , y0 )的弦
x x y y x 2 y 2
AB 0 0，其 AB 中点 M 的方程就是 2 a b 2

a 2 b 2 ，仍为双曲线.
这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.
圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-抛物线
一、抛物线定义
抛物线，有定义，定点定线等距离
1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为抛物线.
2、二次函数的图象是抛物线.
二、抛物线性质
焦点准线极点线①，两臂点乘积不变②
焦弦切线成直角，切点就是两端点③
端点投影在准线，连结焦点垂直线④
焦弦垂直极焦线⑤，切线是角平分线⑥
直角梯形对角线，交点就是本原点⑦
焦弦三角计面积，半个 p方除正弦⑧
注解：
1、焦点准线极点线
抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.
p p
抛物线方程： y2 2 px，焦点 F ( ,0)，准线 x
2 p 2
p
(抛物线的顶点 O(0,0)到定点 F ( ,0)和定直线 x pp 距离相等) 2 2
焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点 A和 B ，则 AB称为焦弦.
x x y y
弦中点 M (x A B A BM , yM )， xM ， yM 2 2
焦弦方程： y k(x p )， k 为斜率.
2
2、两臂点乘积不变
焦点三角形两边 OA 和 OB 的点乘积为定值，且夹角是钝角.
证明：焦弦 AB满足的条件
y2 2 px p 2 2
p k
2 (x )2 2 px k2 x2 (k2 2) px k p 0
y k(x ) 2 4 2
2
由韦达定理得： xAx
p
B 4
yA yB 2 pxA 2 pxB 2 p x x
p
A B 2 p p
2，
2
p2
即： xAxB ， yA yB p
2 ①
4

且： OA OB (xA , y
3 2
A ) (xB , yB ) xAxB yA yB p 0 . 4
故：焦点三角形两边之点乘积为定值.
3、焦弦切线成直角，切点就是两端点
即：焦弦两端点的切线互相垂直.
证明：如图，由抛物线方程： y2 2 px D A
E
得到导数： yy ' p p，即： y ' M
y F
k p p
C B
故： AE ， ky BE

A yB
p p p2
于是： kAE kBE yA yB yA yB
将①式 y 2A yB p 代入上式得： kAE kBE 1

即： AE BE
4、端点投影在准线，连结焦点垂直线
即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.
p p
证明：坐标 C( , y
2 B
) , D( , yA ) 2

则： CF ( p, yB )， DF ( p, y D AA )

于是：CF DF p2 y EA yB M
F
将①式 yA yB p
2代入上式得： CF DF 0
C B

故： CF DF
即：焦弦端点 A, B在准线的投影点 D,C ，则

CF DF ，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.
5、焦弦垂直极焦线
若焦弦 AB对应的极点 E ，则 EF 为极焦线，于是 EF AB
用向量方法可证.
由于 M 是 AB的中点， AEB 为直角三角形，计算可得 E 是 DC 的中点，
故： ED EF EC

由向量法可证 EF AB 0
即：焦弦 AB 与极焦线 EF 互相垂直.
6、切线是角平分线
即：切线平分焦弦的倾角(或倾角的外角)
D A
如图：因为 ADE 和 AFE 都是直角三角形，
E M
且由定义知： AF AD ， AE AE F
故 ADE ≌ AFE ，则对应角相等. C B
即： AE 是 DAF 的角平分线
同理， BE 是 CBF 的角平分线
7、直角梯形对角线，交点就是本原点
即：直角梯形 ABCD对角线相交于原点
即： A,O,C 三点共线； B,O, D三点共线.

用向量法证明：OA / /CO，OB / / DO
y2 y2A( A , y ) B( B , y ) C( p , y ) D( p证明：坐标 A ， ， ， , y ) 2 p 2 p B 2 B 2 A

OA ( y
2
向量： A , yA )， CO (
p , y )
2 p 2 B
2
yA
(O A )x 2 p y
2 (OA) 2
各分量之比： A2 ，
y y y
p
A A
(CO)x p (CO) y yB yA yB
2

(OA) y2 y2
将①式 yA yB p
2代入上式得： y A A
(CO) y y
2
A yB p

(OA) (OA)
故： x y O A ，即：OA / /CO
(CO)x (CO) y CO

同理：OB / / DO.直角梯形 ABCD对角线相交于原点.
8、焦弦三角计面积，半个 p方除正弦
p2
即：焦弦三角形的面积为： S AOB （ 为焦弦的倾角） 2 sin
证明： AB AF p p p BF xA xB xA xB p 2(xM ) 2 EM2 2 2
如图： GF 2 OF p
E M

EF 1 GF
则： EM p
sin sin sin sin2
G O F
于是： AB 2 p
sin2
2
故： S 1 AOB OF AB sin
1 p 2 p p
sin
2 2 2 sin2 2 sin
附：圆锥曲线必背----极坐标
一、极坐标通式
圆锥曲线的极坐标以准焦距 p和离心率 e来表示常量，以极径 和极角
来表示变量.
0， [0, 360o )
L
以焦点 F (0, )为极点 (原点
O )，以椭圆长轴、抛物线对称轴、
双曲线的实轴为极轴的建立极坐
标系. 故准线是到极点距离为准 O (F ) x
e 1
e 1 e 1
焦距 p、且垂直于极轴的直线 L .
y
极坐标系与直角坐标系的换算关系是： x2 y2 ， arctan
x
或者： x cos ， y sin
特别注意：极坐标系中，以焦点为极点(原点)，而直角坐标系中以对称
点为原点得到标准方程.
如图，O 为极点， L为准线，则依据定义，到定点(极点)和到定直线(准
线)的距离之比为定值(定值 e)的点的轨迹为圆锥曲线.
所以，对极坐标系，请记住：
⑴ 极坐标系的极点O 是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点；
⑵ 曲线上的点 P( , )到焦点 F 的距离是 ，到准线的距离是 p cos ，

根据定义： e
p cos
即： ep e cos ，即： ep e cos ，
ep即： ①
1 e cos
这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.
⑶ 对应不同的 e，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是右边的一支；
对抛物线，开口向右.
二、极轴旋转 180o
将极轴旋转 180o， 和 分别对应变 L
换前后的极角，即转角为 180o ，则
极坐标方程变换前方程为：
O (F ) x
e 1
e 1 e 1
ep
1 e cos
ep
变换后方程为： ②
1 e cos
此时的极坐标系下，此时有：
⑴ 极坐标系的极点O 是椭圆的右焦点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点；
⑵ 对应不同的 e，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是左边的一支；对抛
物线，开口向左.
三、极轴旋转 90o
⑴将极轴顺时针旋转 90o，即：
e 1
90o ，则情况如图. e 1
圆锥曲线的方程为：
ep e 1 ③
1 e sin O (F ) x
此时的极坐标系下：
对应于直角坐标系下，焦点在 y轴 L
的情况，且极点O 对应于椭圆下方的
焦点，双曲线上方的焦点，抛物线的焦点.
对双曲线，只是 y轴上边的一支；对抛物线，开口向上.
⑵如果将极轴逆时针旋转 90o，即：
L
90o，则情况如图. e 1
ep圆锥曲线的方程为： ③
1 e sin O x
此时的极坐标系下： (F ) e 1
e 1
对应于直角坐标系下，焦点在 y轴的情况，且对应于椭圆上方的焦点，
双曲线下方的焦点，抛物线的焦点.
对双曲线，只是 y轴下边的一支；对抛物线，开口向下.
四、坐标变换
ep
⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为： = ①
1 e cos
即： e cos ep，即： ep e cos
即： 2 (ep e cos )2 e2 p2 e2 ( cos )2 2e2 p( cos ) ②
将 2 x2 y2， cos x 代入②式得：
x2 y2 e2 p2 e2 x2 2e2 px
即： (1 e2 )x2 2e2 px y2 e2 p2 ③
当 e 1时
2 2 2
有： (1 e2 )[x2 2 e p x ( e p )2 ] y2 e2 p2 (1 e2 )( e p )2
1 e2 1 e2 1 e2
2 2 2 2
即： (1 e2 )(x e p )2 e e p2 y
2 e2 p2 (1
1 e 1 e2
)
1 e2
2
(x e p 22 ) y2
即： 1 e2 2 2 2 1 ④ e p e p
(1 e2 )2 1 e2
e2 p2 e2 p2 e2e 1 a2 p⑴当 时，令 ， b2 ， c
(1 e2 )2 1 e2 1 e2
2 2 2 2 2 2 4 2
则： a2 e p e p e p e p b2 [1 (1 e2 )]
(1 e2 )2 1 e2 (1 e2 )2 (1 e2 )2
e2c2 ( p )2 e
4 p2
而： a22 2 2 b
2
1 e (1 e )
(x c)2 y2
代入④式得： 1 ⑤
a2 b2
这是标准的椭圆方程.
2 2 2 2 2
⑵当 e 1时，令 a2 e p ， b2 e p2 2 2 ， c
e p

(e 1) e 1 e2 1
2 2 2 2 2 2 4 2
则： a2 b2 e p e p e p e p 2
(e2 1)2
[1 (e 1)]
e2 1 (e2 1)2 (e2 1)2
2 4 2
而： c2 e p ( )2 e p a2 b2
e2 1 (e2 1)2
(x c)2 y2
代入④式得： 1 ⑥
a2 b2
这是标准的双曲线方程.
⑶当 e 1时，由③式 (1 e2 )x2 2e2 px y2 e2 p2得： 2 px y2 p2
即： y2 2 px p2 2 p(x p )
2
y2 2 p(x p即： ) ⑦
2
这是标准的抛物线方程.

展开更多......

收起↑