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第二十二章 二次函数
22.1二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
学习目标
1.了解二次函数的有关概念．
2.会确定二次函数关系式中各项的系数.
3.确定实际问题中二次函数的关系式.
重点：理解掌握二次函数的概念和一般形式.
难点：会列二次函数表达式解决实际问题.
学习过程
一、创设问题情境
问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,那么y与x的关系可表示为
问题2: n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系 （可以画图分析4边、5边、6边…）
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示
观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点
二、揭示问题规律
y=6x2，m=n2-n，y=20x2+40x+20三个函数都是用自变量的二次式表示的.故可得二次函数定义：
1. 二次函数定义：形如y=_________________ (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，_______叫做二次函数的系数，_______叫做一次项的系数，_______叫作常数项．
强调以下几个问题：（1）关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax2，二次项系数则仅是指a的值；同样，一次项与一次项系数也不同.
三、尝试应用
例1：下列函数中哪些是二次函数？
（1）y=3x2-11x+2; (2)y=9x2-5x+x3; (3)y=2x2-x+. (4)y=x2-5
例2：已知函数y=(m2-4)x2+（m+2）x+3.
(1)当m为何值时，此函数是二次函数？
（2）当m为何值时，此函数是一次函数？
例3：如图，矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将其长与宽各增加x cm，那么面积增加y cm2．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）上述函数是什么函数？
（3）自变量x的取值范围是什么？(独立思考后，组内交流)
四、自主总结
1.二次函数的定义；
2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中a≠0，a、b、c为常数的条件.
五、达标测试
一、选择题
1.下列函数中，y是x二次函数的是（　　）
A．y=x-1 B．y=x2+-10 C．y=x2+2x D．y2=x-1
2.下列说法中一定正确的是（　　）
A．函数y=ax2+bx+c（其中a，b，c为常数）一定是二次函数 B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数
C．路程一定时，速度是关于时间的二次函数 D．圆的周长是关于圆的半径的二次函数
3.若y=（m2+m）是二次函数，则m的值是（　　）
A．m=1±2 B．m=2 C．m=-1或m=3 D．m=3
4.在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（　　）
A．y=（60+2x）（40+2x） B．y=（60+x）（40+x）C．y=（60+2x）（40+x） D．y=（60+x）（40+2x）
4题图 6题图
二、填空题
5.将二次函数y=-2（x-2）2化成一般形式，其中二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．
6.如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为__________.
三、解答题
7.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系m=162-2x，试写出商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商品的销售价x（元)之间的函数关系式，y是x的二次函数吗？
8.已知函数y=-（m+2）（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为-8的点的坐标．
参考答案
达标测试
1.C 解析：A、一次函数，不是二次函数；B、不是关于x的整式，不是二次函数；C、是二次函数；D、y的指数为2，不是二次函数．
2.B 解析：选项A、只有当a≠0才是二次函数，错误；选项B、由已知得S=πR2，S是R的二次函数，正确；选项C、由已知得v=，s一定，是反比例函数，错误；选项D、由已知得C=2R，是一次函数，错误．
3.D 解析：根据题意的得：，解得：，∴m=3．
4.A 解析：矩形的长是：60+2x，宽是：40+2x，由矩形的面积公式得则y=（60+2x）（40+2x）．
5.-2，8，8 解析：y=-2（x-2）2变形为：y=-2x2+8x+8，所以二次项系数为-2；一次项系数为8；常数项为8．
6..y=（20-2t）2 解析：AM=20-2t，则重叠部分面积y=×AM2=（20-2t）2，y=（20-2t）2（0≤t≤10）．
7.解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元，则依题意可得：
y=(162-3x)(x-30)
即y=-3x2+252x-4860
由此可知y是x的二次函数.
8.解：（1）由y=-（m+2）（m为常数），y是x的一次函数，得，解得m=±，当m=±时，y是x的一次函数；
（2）y=-（m+2）xm2-2（m为常数），是二次函数，得，解得m=2，m=-2（不符合题意的要舍去），当m=2时，y是x的二次函数，当y=-8时，-8=-4x2，解得x=±，故纵坐标为-8的点的坐标的坐标是（±，0）．

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