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第二十二章 二次函数
22.1二次函数的图象和性质
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
学习目标
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用
重点：掌握二次函数y=ax2的性质，并会灵活应用．
难点：从图象上学习认识函数
学习过程
一、创设问题情境
1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ .
2.一次函数图象的形状是 .
我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即入手。
二、揭示问题规律
用描点法画出二次函数 和图像
列表
x … -2 -1 0 1 2 …
… 4 1 0 1 4 …
… -4 - -1 - 0 - -1 - -4 …
引导学生观察上表，思考一下问题：
①无论x取何值，对于来说，y的值有什么特征？对于来说，又有什么特征？
②当x取等互为相反数时，对应的y的值有什么特征？
描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.
连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到和的图像。
归纳：① 由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；
②抛物线是轴对称图形，对称轴是 ；③的图象开口______；
④ 与 的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是 ；
它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最 值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即<0时，随的增大而 ，>0时，随的增大而 .
三、尝试应用
例1：抛物线，y=-x2，y=-2x2的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数_______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
例2：已知二次函数（）的图像经过点（-2，-3）。
求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。
说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。
四、自主总结
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线.
2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点
3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点
五、达标测试
一、选择题
1.下列图象中，是二次函数y=x2的图象的是（ ）
2.抛物线y=2x2，y=-2x2，y＝x2共有的性质是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．y随x的增大而增大
3.下列关于函数的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点（0，0），其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象为（　　）
A． B． C． D．
5.若二次函数y＝的图象开口向上，则m＝　　．
6在同一坐标系中，二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图，则a1，a2，a3的大小关系为 　　.（用＞连接）
7.如图，⊙O的半径为2，C1是函数y= x2的图象，C2是函数y=- x2的图象，则阴影部分的面积是_______.
8.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上；
（3）求出抛物线上纵坐标为-6的点的坐标．
9.已知抛物线的开口向下。
求抛物线的解析式；
写出抛物线的对称轴和顶点坐标；
若点A（-1，y1),B(-2,y2)在抛物线上，试比较y1与y2的大小.
参考答案
1.A 2.B 3.D
4.C 解析：当a＞0时，二次函数y=ax2的开口向上，一次函数y=ax+a的图象经过第一、二、三象限，排除A、B；当a＜0时，二次函数y=ax2的开口向下，一次函数y=ax+a的图象经过第二、三、四象限，排除D．
5. 2 解析：∵二次函数y＝的图象开口向上，
∴，解得m＝2．
6. a1＞a2＞a3．解析：∵二次函数y1＝a1x2的开口最小，二次函数y3＝a3x2的开口最大，
∴a1＞a2＞a3．
7.2 解析：由图形观察可知，把x轴上边的阴影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影面积，则阴影部分的面积s= ×π×22=2 ．
8.解：（1）∵抛物线y=ax2经过点A（-2，-8），∴a （-2）2=-8，∴a=-2．∴此抛物线的函数解析式为y=-2x2．（2）把x=-1代入y=-2x2．得y=-2×1=-2，所以点B（-1，-4）不在此抛物线上；（3）把y=-6代入y=-2x2得-6=-2x2，解得，x=±，所以纵坐标为-6的点的坐标为（，-6）或（- ，-6）．
9.解：（1）由题意可列 ∴m=-
故抛物线的解析式为：y=（1-）x2
抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标（0,0）；
在对称轴的左侧y随x增大而增大，故y1>y2

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