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2023年秋期第一次月考九年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1.下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列运算，正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.要使式子有意义，的取值范围是（ ）
A. B.且 C.且 D.且
4.若，则下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
5.若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A. B.0 C.或2 D.2
6.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.无实数根
7.如图，直线，直线和被，，所截，如果，，，那么的长是（ ）
A. B. C. D.
8.某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件331万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，已知，另外两条直线交于点，并与这两条平行线分别交于点、和、，若，，，则的值为（ ）
A.0.9 B.1.8 C.2.7 D.3.6
10.如图，已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.如果是整数，则正整数的最小值是______.
12.已知方程，则的值为______.
13.在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为______.
14.矩形的两边长分别为和，把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则______.
15.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即.已知为2米，则线段的长为______米.
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16.（10分）计算（1）（2）
17.（10分）解下列方程：
（1）； （2）；
18.（本小题9.0分）
已知，关于的一元二次方程，请完成下面的问题.
（1）若此方程有一个根是1，请求出另一个根及的值.
（2）求证：此方程一定有两个不相等的实数根.
19.（本小题8.0分）
如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且.
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长.
20.（9分）如图，有长为12米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.
（1）如果要围成面积为9平方米的花圃，的长是多少米？
（2）能围成面积比9平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.
21.（9分）如图，直线交、于、，交的延长线于，且，，求的值.
22.（本小题10.0分）
“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展.某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
（2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？
23.（本小题10分）
如图，在中，，，，点从点开始沿射线向点以2cm/s的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动.如果、分别从、同时出发，运动的时间为，当点运动到点时，两点停止运动.
（1）当点在线段上运动时，、两点之间的距离______cm.（用含的代数式表示）
（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的.若存在，求的值；若不存在，说明理由.

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