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人教版八年级数学上册 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 导学案
【知识清单】
知识点：线段的垂直平分线
定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
　 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
【典型例题】
考点1：线段垂直平分线的性质
例1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据三角形边垂直平分线的性质求解即可．线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等
【详解】∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形边的垂直平分线，解决问题的关键是熟练掌握三角形边的垂直平分线的性质．
考点2：线段垂直平分线的判定
例2．如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以为圆心，为半径画弧①；
步骤2：以为圆心，为半径画弧②；
步骤3：连接，交延长线于点；
下列叙述错误的是（ ）

垂直平分线段 B．平分
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知作法可知、，则点B、C在的垂直平分线上，据此判断即可．
【详解】解：如图：连接，，

∵以C为圆心，为半径画弧①，
∴，
∵以B为圆心，为半径画弧②
∴，
∴点B、C在的垂直平分线上，是边上的高，
∴垂直平分线段，，，A、C、D结论正确，
无法证明平分，故B结论错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作图，常见的尺规作图有①作一条线段等于已知线段，②作一个角等于已知角，③作已知线段的垂直平分线，④作已知角的角平分线，⑤过一点作已知直线的垂线．
考点3：线段垂直平分线的实际应用
例3．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一不购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）

A．，两内角的平分线的交点处 B．，两边高线的交点处
C．，两边中线的交点处 D．，两边垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【详解】解：∵根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
∴超市应建在，两边垂直平分线的交点处，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决问题的关键．
考点4：作垂线
例4．下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．用量角器画出，使
B．借助没有刻度的直尺和圆规作，使
C．用三角尺画
D．用三角尺过点P作的垂线
【答案】B
【分析】根据尺规作图的有关操作步骤求解．
【详解】解：尺规作图是指：只利用没有刻度的直尺和圆规进行作图，
故选：B
【点睛】本题考查了尺规作图的有关操作步骤，理解尺规作图的有关操作步骤是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．如图，中边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是　　

A． B． C． D．
2．如图，P在内，点C、D分别是点P关于的对称点．如果的周长为12，则的长为（ ）

A．6 B．12 C．15 D．18
3．到三角形各顶点距离相等的点是（ ）
A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点
C．三条中线交点 D．三条高交点
4．如图，已知，按照以下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；②分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E；③连接，，，．下列结论错误的是（ ）

A． B．
C． D．
5．已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是（ ）

A． B． C． D．
6．元旦联欢会上，3名同学分别站在三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个本凳，该先坐到子上谁获胜，为使游戏公平，则套子应放置的最适当的位置是在的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边上高的交点
7．如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，交于点E，连接．若的周长为12，的周长为20，则AE的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．8
8．如图，在中，分别以点A和B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线交于点D，连接．若的周长为16，，则的周长是（ ）
A．6 B．10 C．16 D．22
二、填空题
9．如图，是的边的垂直平分线，分别交，于点D，E，平分．若，则________．

10．如图，周长为16cm，，垂直平分，则 cm．

11．中共中央国务院关促进农民增加收入若干政策的意见中提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．政策出台后，湖南陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在三条边的 的交点处．
12．如图，已知的周长为14，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的周长为 ．

三、解答题
13．如图，在中，，为的垂直平分线，交于点，连接．若，求的度数．

14．如图，点D为外一点，连接，E为延长线上一点，连接交于点F，过点A作的垂线交于点O，已知，．

(1)求证：；
(2)求证：为的平分线；
(3)求证：．
15．如图，已知和直角，点Q是射线上一点．请在的内部作一点C，使，且满足．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

16．如图，在四边形中，连接，请用尺规作图法，作的垂直平分线，分别交、于点、．（不写作法，保留作图痕迹）

17．如图，中，，的平分线与的垂直平分线相交于D，过D作于E，作于F．求证：
(1)．
(2)若，，求的长度．
18．已知：如图①，在数轴上有两点、，它们表示的数分别为、．

(1)如果、在上，，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由．
(2)如图②，点从点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度得到．
①如果时，则点表示的数为 　 　；
②对任意的值，试说明点是线段的中点；
(3)点在数轴上表示的数为．若，请只使用圆规在图③中画出点，使点表示的数为．（保留画图痕迹，写出必要的文字说明）
参考答案
1．C
【分析】由中，边的垂直平分线分别交、于点、，，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长．
【详解】解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，，
，，
的周长为，
，
的周长为：．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．B
【分析】根据轴对称的性质可知，结合的周长为12，利用等量代换可知．
【详解】解：∵点C是点P关于的对称点，
∴垂直平分，
∴．
同理．
∵，
∴，
∵的周长为12，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查轴对称的基本性质．注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．
3．A
【分析】根据线段垂直平分线的判定，即可求解．
【详解】解：∵到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，
∴到三角形各顶点距离相等的点是三条边垂直平分线交点．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
4．B
【分析】利用基本作图可知，为的平分线，又，，可得出，从而可得出；由，，得出垂直平分，根据已知条件不能判断，进而可以解决问题．
【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，则，故C选项正确，不合题意；
又，，
，
，故A正确，不合题意；
，，
垂直平分，则，故D选项正确，不合题意；
没有条件能得出，故B选项错误，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图的步骤是解题的关键．
5．D
【分析】根据图形及垂直平分线的性质逐个判断即可得到答案；
【详解】解：A：由图像可得，，可得，不符合题意，
B：由图像可得，，可得，不符合题意，
C：由图像可得，，可得，不符合题意，
D：由图像可得，，可得，符合题意，
故选D；
【点睛】本题考查垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
6．A
【分析】根据到线段两端的距离的点在线段的垂直平分线上，即可求解．
【详解】解：根据题意得：套子的位置到3名同学的距离相等，
∴套子应放置的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握到线段两端的距离的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
7．B
【分析】利用基本作图得到垂直平分，则，，利用等量代换得到，再利用的周长为20得到，从而得到的长．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，
的周长为12，
，
，
即，
的周长为20，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查作图，线段的垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
8．B
【分析】根据题意可知是的垂直平分线，可得，再根据的周长和的长，求出，即可得出的周长．
【详解】根据题意可知是的垂直平分线，
∴．
∵的周长为16，
∴．
∵，
∴，
即，
∴，
所以的周长为10．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，求三角形的周长等，将两边长的和转化为三角形的周长是解题的关键．
9．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：∵是的边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．5
【分析】由三角形的周长求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，推出，由此求出，由此求出．
【详解】解：∵周长为16cm，，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴
∵垂直平分，
∴
∴
∴，
∴
故答案为：5．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，熟练线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
11．垂直平分线
【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题．
【详解】解：因为充电桩到三个出口的距离都相等，即点、、的距离相等，
所以充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为：垂直平分线．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
12．9
【分析】由作图知，是线段的垂直平分线，据此知，结合的周长为14，，得，继而由的周长为求解可得答案．
【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为14，，
∴，
则的周长为
，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和中垂线的性质．
13．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合直角三角形两锐角互余可得结论．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）证出，则可证明；
（2）由全等三角形的性质证出，由角平分线的性质可得出结论；
（3）证明，由全等三角形的性质证出，则可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴为的平分线；
（3）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．见解析
【分析】以为一边作，作线段的垂直平分线，交射线于点C，连接即可．
【详解】解：如图所示，点C即为所求作．

【点睛】此题考查了作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线等知识，熟练掌握作图方法是解题的关键．
16．见解析
【分析】分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线，交于点，交于点，即可得到答案．
【详解】解：如图，为所作，
．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂直平分线，熟练掌握尺规作图作垂直平分线的作法，是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的性质和中垂线的性质就可以得出就可以得出结论；
（2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：平分，，，
，．
且平分，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，证明是解题的关键．
18．(1)；理由见解析
(2)①1；②见解析；
(3)见解析
【分析】（1）由点在上，且，可得，从而得到答案；
（2）①由计算出，，按题意可得点表示的数是；
②由题意可得点表示的数是，再由的中点为，即可证明；
（3）由，，可得的中点与的中点为同一个，首先作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径做圆，交线段于点．
【详解】（1）解：点在上，且，
，
；
（2）解：①，
，，
点从点出发沿着数轴先向左移动21个单位长度，再向右移动16个单位长度，
点表示的数是，
故答案为：1；
②点从点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，
点表示的数是，
的中点为，
点是线段的中点；
（3）解：点在数轴上表示的数为，点表示的数为，点、，它们表示的数分别为、，且，，
的中点与的中点为同一个，
①首先分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，四条弧相交于两点，连接两点并延长，交于带你，此时直线为线段的垂直平分线，
②以为圆心，为半径做圆，交线段于点，则点即为所求，
．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，线段中点的计算，作垂直平分线，熟练掌握数轴上点的特征，运动的点在数轴上的表示方法是解题的关键．
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