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函数性质的综合应用
班级 姓名
学习目标
掌握几种重要题型的求解方法；
理解函数性质的运用。
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
利用函数图形求单调性与值域 【例1】作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：(1)； (2)； (3)； (4).
利用函数单调性求参数范围 【例2】(1)若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a，3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.(2)已知函数在[1，2]上为增函数，求实数的取值范围__________.(3)已知函数，是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　)A． B．C． D．
函数奇偶性的运用 【例3】(1)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)A．21 B．－21C．26 D．－26(2)已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．(3)函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)A．f(1)＜f ＜f B．f ＜f(1)＜f C．f ＜f ＜f(1) D．f ＜f(1)＜f 小结：1、若函数f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)关于x=a对称；2、若函数f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)关于(a，0)对称.
单调性与奇偶性综合问题 【例4】已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ＝.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
单调性与奇偶性综合问题 【例5】(1)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)A．[－2,2]　　　　 B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3](2)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)课后作业
一、基础训练题
1．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是(　　)
A．这个函数仅有一个单调增区间
B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是7
D．这个函数在其定义域内有最小值是－7
2．若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(3)C．f(－2)3．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
4．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C．和 D． 和
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B. C. D.
6．（2020·全国高一课时练习）若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．(多选题)已知狄利克雷函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的值域为[0,1] B．f(x)的定义域为R
C．f(x＋1)＝f(x) D．f(x)是奇函数
8．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值是4，最小值是－1，则
2f(－6)＋f(－3)＝________.
9．已知奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围是 .
10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则<0的解集为______．
11．若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，则实数k的取值范围是________．
12．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
二、综合训练题
13．若函数y＝f(x)是奇函数，且函数F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则函数
y＝F(x)在(－∞，0)上有(　　)
A．最小值－8 B．最大值－8
C．最小值－4 D．最小值－6
14．已知奇函数f(x)在x＞0时单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为(　　)
A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2}
C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞1}
能力提升题
15．已知f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为(　　)
A. B．
C．[－1,1] D．
16．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，y＝f(x)在区间(－∞，1)上单调递减，且图象过原点，则不等式(x－1)f(x)<0的解集为________．
函数性质的综合应用参考答案
1、【答案】C
【解析】根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，
作出函数在[－7,7]上的图象，如图所示，
可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；
在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.
2、【答案】D　
【解析】∵ x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，∴当x≥0时函数f(x)单调递减，
∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f(3)3、【答案】C
【解析】将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝
作出函数f(x)的图象，
如图，观察图象可知，函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
4、【答案】B
【解析】如图所示：
函数的单调递增区间是和．
5、【答案】A
【解析】由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)即－<2x－1<，解得6、【答案】A
【解析】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.
7、【答案】BC　
【解析】根据分段函数的定义域为每段函数的并集可知，
函数的定义域为全体有理数与无理数的并集即R，
故函数的定义域为R，值域为{1,0}，
当x为有理数时，x＋1也为有理数，则f(x＋1)＝f(x)＝1，
当x为无理数时，x＋1也为无理数，则f(x＋1)＝f(x)＝0，从而有f(x＋1)＝f(x)，
x为有理数时，x＋1也为有理数，则f(x＋1)＝f(x)＝1，不满足f(－x)＝－f(x).
8、【答案】－7　
【解析】由题意，函数f(x)在[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为4，最小值为－1，
故f(3)＝－1，f(6)＝4.
∵f(x)是奇函数，∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×4＋1＝－7.
9、【答案】
【解析】是定义在上奇函数对任意有
由条件得=
是定义在上减函数，解得
实数的取值范围是
10、【答案】－3【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数，
且在区间(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，f(x)>0，解得－311、【答案】(－∞，8]∪[40，＋∞)
【解析】作由题意知函数f(x)＝8x2－2kx－7的图象的对称轴为x＝，
因为函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，
所以≤1或≥5，解得k≤8或k≥40，所以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．
12、[解]　(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(图略)知
所以113、【答案】C　
【解析】∵y＝f(x)和y＝x都是奇函数，∴af(x)＋bx也为奇函数，
又∵F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8，
∴af(x)＋bx在(0，＋∞)上有最大值6，
∴af(x)＋bx在(－∞，0)上有最小值－6，
∴F(x)＝af(x)＋bx＋2在(－∞，0)上有最小值－4.
14、【答案】A　
【解析】∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，
∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，则－1＜x＜0或x＞1时，f(x)＞0；
x＜－1或0＜x＜1时，f(x)＜0.
∴不等式f(x－1)＞0即－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2.
15、【答案】B　
【解析】∵f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1.
∵f(x)在[2b,0]上为增函数，即函数f(x)在[－2,0]上为增函数，
故函数f(x)在(0,2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，
即(x－1)2≥4x2，解得－1≤x≤.
由于定义域为[－2,2]，∴
解得∴－1≤x≤.
16、【答案】(－∞，0)∪(1,2)　
【解析】根据题意，函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，
则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)的定义域为{x|x≠1}，
y＝f(x)在区间(－∞，1)是上单调递减，且图象过原点，
则当x<0时，f(x)>0，当0又由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则当12时，f(x)>0，
(x－1)f(x)<0 或
解得：1即不等式的解集为(－∞，0)∪(1,2)．
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