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（总课时44）§6.4 数据的离散程度 (1）
一.选择题：
1.某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，182，184，186，190，194．现用一名身高为188cm的队员换下场上身高为182cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（C）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
2.人数相同的两个班级的单元测试，平均分和方差如下：，，，则成绩较为稳定的班级是 ( B)
A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
3.下列各统计量中，表示一组数据离散程度的量是（C）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．频数
4.甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)成绩如图所示，下列判断正确的是( A )
A.甲的成绩比乙稳定 B.甲的最好成绩比乙高 C.甲的成绩的平均数比乙大 D.甲的成绩的中位数比乙大
5.已知数据x1,x2,x3的平均数是10，方差是6，那么数据x1+3,x2+3,x3+3的平均数和方差分别是（A）
A．13，6 B．13，9 C．10，6 D．10，9
二.填空题：
6.一组数据：2020，2020，2020，2020，2020的方差是____0_____．
7.若一组数据1，2，x，4的众数是1，则这组数据的方差为_1.5_．
8.一组数据－3，－1，x，1,3 的平均数为 0，则该组数据的方差为_4__.
9.若x1、x2、x3、x4、x5的方差为4，则2x1、2x2、2x3、2x4、2x5的方差为__16__．
10.如图是一次射击训练中某士兵甲的10次射击成绩(均是整数)的分布情况，则射击成绩的方差是_0.6_．
11.甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是S甲2、S乙2，且S甲2＞S乙2，则队员身高比较整齐的球队是_乙队__．
12.已知样本数据，，，的平均数是5，方差是4，则数据，，，的平均数为__13__，方差为_16___.
三.解答题：
13.甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）填空：a＝7；b＝7.5；c＝4.2；
（2）从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是乙；（填“甲”或“乙”）
（3）若需从甲、乙两名队员中选择一人参加比赛，你认为选谁更加合适？请说明理由．
解：（3）选择乙参加比赛，理由：
甲、乙平均成绩相等，乙的中位数和众数都大于甲，说明乙的成绩好于甲，虽然乙的方差大于甲，但乙的成绩呈上升趋势，故应选乙队员参赛．
14.某校选拔射击运动员参加比赛，甲、乙两人在相同的条件下连续射靶各次，命中的环数（均为不大于10的正整数）如表：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 6 9 8 10 7 9 7 8 8
乙 8 6 10 8 9 8 10 9 6 m
（1）当m为何值时，选派乙去参加比赛更合适，请说明理由；
（2）若乙最后两次射靶均命中6环，则选派谁去参加比赛更合适？请说明理由．
解（1），，
若选派乙去参加比赛更合适，则，解得：，因为m为正整数，所以m=7，8，9，10；
（2）当m=6时，，=1.2，
=2.2，
∴因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差大于甲同学的方差，
∴甲同学的成绩较稳定，应选甲参加比赛．
15.在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，8（1）和8（2）班参赛人数相同，成绩分为A、B、C三个等级，其中相应等级的得分依次记为A级100分、B级90分、C级80分，达到B级以上（含B级）为优秀，其中8（2）班有2人达到A级，将两个班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请解答下列问题：
请分别求出m和n的值，并从优秀率和稳定性方面比较两个班的成绩；
平均数（分） 中位数（分） 方差
8(1)班 m 90 n
8(2)班 91 90 29
解:（1）∵8（2）班有2人达到A级，且A等级人数占被调查的人数为20%，
∴8（2）班参赛的人数为2÷20%=10（人），∵8（1）和8（2）班参赛人数相同，
∴8（1）班参赛人数也是10人，则8（1）班C等级人数为10-3-5=2（人），
（3）m=0.1×（100×3+90×5+80×2）=91（分），n=0.1×[（100-91）2×3+（90-91）2×5+（80-91）2×2]=49，
∵8（1）班的优秀率为×100%=80%，8（2）班的优秀率为20%+70%=90%，
∴从优秀率看8（2）班更好；∵8（1）班的方差大于8（2）班的方差，
∴从稳定性看8（2）班的成绩更稳定；
第10题
第4题
第13题
（1）求各班参赛人数，并补全条形统计图；
（2）此次竞赛中8（2）班成绩为C级的人数为__1__人；
（3）小明同学根据以上信息制作了如下统计表：
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（总课时44）§6.4 数据的离散程度 (1）
【学习目标】理解刻画数据离散程度的三个量——极差、方差和标准差并会计算.
【教学重难点】极差、方差和标准差的计算.
【导学过程】
一.知识回顾:
1.若数据2，x，4，8的平均数是4，则这组数据的中位数和众数是3和2.
2.描述一组数据时常用到的统计量：平均数，中位数，众数.
二.探究新知：
探究1.刻画数据离散程度的统计量：极差
引例1.某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有2个厂家提供资源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近。质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：
甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74 74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75 8071 76 77 73 78 71 76 73 75
把这些数据表示成下图：
（1）你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量是多少？平均质量是75g.
（2）求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量，并在图中画出表示平均质量的直线.
（3）从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值是多少？它们相差
几克？从乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值呢？它们相差几克？
（4）如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪家公司的鸡腿？说明理由
解：（2）设甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质量甲,乙,根据给出的数据，得:
甲=75+0.05×［0－1－1+1－2+1+0+2+2－1－1+0+0+1－2+1－2+3+2－3］=75+0.05×0=75（g）
乙=75+0.05×［0+3－3+2－1+0－2+4－3+0+5－4+1+2－2+3－4+1－2+0］=75+0.05×0=75（g）
(3)甲厂:最大值78g,最小值72g，相差78－72=6g,乙厂:最大值80g，最小值71g，相差80－71=9（g）.
(4)应购买甲厂的鸡腿,因为甲厂鸡腿规格比较稳定，在75g左右摆动幅度较小。
在实际生活中，会出现上面的情况，平均值一样，这里我们也关心数据与平均值的离散程度。也就是说，这种情况下，人们除了关心数据的“平均值”即“平均水平”外，人们往往还关注数据的离散程度，即相对于“平均水平”的偏离情况。
归纳：1.我们把一组数据中最大数据与最小数据的差叫极差。而极差是刻画数据离散程度的一个统计量.
探究2.刻画数据离散程度的统计量：方差、标准差
引例2.如果丙厂也参与了上面的竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，数据如下图所示：
（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
（2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与相应平均数的差距。
（3）在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？
解：（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数：
丙=0.05×［75×2+74×4+73×2+72×3+76×3+77×3+78×2+79］=75.1（g）极差为：79－72=7（g）
（2）可以用丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差的和来刻画这20只鸡腿的质量与其平均数的差距。
甲厂20只鸡腿的质量与相应的平均数的差距为：
（75－75）+（74－75）+...（72－75）=0－1－1+1－2+1+0+2+2－1－1+0+0+1－2+1－2+3+2－3=0；
丙厂20只鸡腿的质量与相应的平均数的差距为：
（75－75.1）+（75－75.1）...+（79－75.1）=0
（3）甲、丙两厂中的鸡腿质量平均数和极差相近时，用极差不能较好衡量这组数据的波动大小。可求各数据与其平均数的差距的绝对值的和：
甲厂：∣75-75∣+∣74-75∣+...+∣72-75∣=26； 丙厂：∣75-75.1∣+...+∣79-75.1∣=36.2
甲厂的偏离平均数的距离和较小，波动较小，质量较稳定，所以甲厂的产品更符合要求。
归纳：2.数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即：，标准差:
标准差就是方差的算术平方根.
一般说来，一组数据的极差、方差、标准差越小，这组数据就越稳定。
三.典例与练习：例1.为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下：（单位：mm）甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8 乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11
请你经过计算后回答如下问题：哪种农作物的10株苗平均高度比较高？（2）哪种农作物的10株苗长的比较整齐？解：（1）∵
∴，即两种农作物的10株苗的平均高度相同．
（2）∵，
∵S甲2＜S乙2．∴甲种农作物的10株苗长的比较整齐．
练习1.我们知道接受检阅的仪仗队必须精挑细选，整齐划一，特别注重队员的身高，下面有两组仪仗队，准备抽取其中一组参与检阅.已知这两组仪仗队队员的身高（单位:cm）如下:
甲队 178 177 179 178 178 177 178 178 177 179
乙队 178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
你认为哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？
解：甲、乙仪仗队的平均数都为：178cm
甲仪仗队的方差为：；
乙仪仗队的方差为：；
因为，所以甲仪仗队的队员比较整齐.
练习2.已知，一组数据x1,x2,...，xn的平均数是10，方差是2，那么：
①数据x1+3,x2+3,……，xn+3的平均数是13,方差是2，②数据2x1,2x2,……，2xn的平均数是20,方差是8，
③数据2x1+3,2x2+3,……，2xn+3的平均数是23,方差是8.
四.课堂小结：1.平均数比较可靠和稳定，但它容易受极端值的影响；中位数可靠性比较差，但它不受极端值的影响；众数往往是人们尤为关心的一种统计量（从众心理）.
2.极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度（偏离平均水平）的统计量.
3.极差和标准差的单位和原单位一致；方差的单位应该为原单位的平方，不具有什么实际意义通常略去．
五.分层过关：
1.一组数据6、4、a、3、2的平均数是4，则这组数据的方差为（B）A．0 B．2 C． D．10
2.一组数据0，1，2，2，3，4，若添加一个数据2，则下列统计量中发生变化的是( A )
A．方差 B．中位数 C．平均数 D．极差
3．选拔一名选手参加区中学生男子百米比赛，我校四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方差s2如表所示：要选拔一名成绩好且发挥稳定的同学，最合适的是（B）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
甲 乙 丙 丁
12″33 10″26 10″26 11″29
S2 1.1 1.1 1.3 1.6
4.小刘和小李参加射击训练，各射击10次的平均成绩相同，如果他们射击成绩的方差分别是S小刘2＝0.6，S小李2＝1.4，那么两人中射击成绩比较稳定的是小刘；
5.已知一个样本1，3，2，x，5，平均数是3，则这个样本的方差是2。
6.甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且中环的平均数X甲=X乙，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是S2甲7.深圳市某学校开展“数学史”知识竞赛活动，八年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示：
解（1）由图中数据可得：
（分）
（分）
根据众数和中位数的定义得：八（1）班的众数为85分，
中位数为85分八(2)班的众数为100分，中位数为80分；
（2）八（1）班的成绩比较稳定，理由如下：
因为所以八（1）班的成绩比较稳定.
（1）请计算八（1）班、八（2）班选出的5名选手复赛的平均成绩；众数和中位数.
（2）请用方差判断哪个班选出的5名选手的复赛成绩比较稳定？
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（总课时44）§6.4 数据的离散程度 (第一课时）
一.选择题：
1.某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，182，184，186，190，194．现用一名身高为188cm的队员换下场上身高为182cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
2.人数相同的两个班级的单元测试，平均分和方差如下：，，，则成绩较为稳定的班级是 ( )
A．甲班 B．乙班 C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
3.下列各统计量中，表示一组数据离散程度的量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．频数
4.甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)成绩如图所示，下列判断正确的是( )
A.甲的成绩比乙稳定 B.甲的最好成绩比乙高 C.甲的成绩的平均数比乙大 D.甲的成绩的中位数比乙大
5.已知数据x1,x2,x3的平均数是10，方差是6，那么数据x1+3,x2+3,x3+3的平均数和方差分别是（ ）
A．13，6 B．13，9 C．10，6 D．10，9
二.填空题：
6.一组数据：2020，2020，2020，2020，2020的方差是_________．
7.若一组数据1，2，x，4的众数是1，则这组数据的方差为__．
8.一组数据－3，－1，x，1,3 的平均数为 0，则该组数据的方差为___.
9.若x1、x2、x3、x4、x5的方差为4，则2x1、2x2、2x3、2x4、2x5的方差为____．
10.如图是一次射击训练中某士兵甲的10次射击成绩(均是整数)的分布情况，则射击成绩的方差是__．
11.甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是S甲2、S乙2，且S甲2＞S乙2，则队员身高比较整齐的球队是___．
12.已知样本数据，，，的平均数是5，方差是4，则数据，，，的平均数为____，方差为____.
三.解答题：
13.甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）填空：a＝__；b＝__；c＝__；
（2）从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是__；（填“甲”或“乙”）
（3）若需从甲、乙两名队员中选择一人参加比赛，你认为选谁更加合适？请说明理由．
解：
14.某校选拔射击运动员参加比赛，甲、乙两人在相同的条件下连续射靶各次，命中的环数（均为不大于10的正整数）如表：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 6 9 8 10 7 9 7 8 8
乙 8 6 10 8 9 8 10 9 6 m
（1）当m为何值时，选派乙去参加比赛更合适，请说明理由；
（2）若乙最后两次射靶均命中6环，则选派谁去参加比赛更合适？请说明理由．
解
15.在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，8（1）和8（2）班参赛人数相同，成绩分为A、B、C三个等级，其中相应等级的得分依次记为A级100分、B级90分、C级80分，达到B级以上（含B级）为优秀，其中8（2）班有2人达到A级，将两个班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请解答下列问题：
请分别求出m和n的值，并从优秀率和稳定性方面比较两个班的成绩；
平均数（分） 中位数（分） 方差
8(1)班 m 90 n
8(2)班 91 90 29
解:
第4题
第10题
第13题
（1）求各班参赛人数，并补全条形统计图；
（2）此次竞赛中8（2）班成绩为C级的人数为__1__人；
（3）小明同学根据以上信息制作了如下统计表：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
（总课时44）§6.4 数据的离散程度 (1）
【学习目标】理解刻画数据离散程度的三个量——极差、方差和标准差并会计算.
【教学重难点】极差、方差和标准差的计算.
【导学过程】
一.知识回顾:
1.若数据2，x，4，8的平均数是4，则这组数据的中位数和众数是_______.
2.描述一组数据时常用到的统计量：_______________________.
二.探究新知：
探究1.刻画数据离散程度的统计量：极差
引例1.某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有2个厂家提供资源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近。质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：
甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74 74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75 8071 76 77 73 78 71 76 73 75
把这些数据表示成下图：
（1）你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量是多少？___________.
（2）求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量，并在图中画出表示平均质量的直线.
（3）从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值是多少？它们相差
几克？从乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值呢？它们相差几克？
（4）如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪家公司的鸡腿？说明理由
解：
在实际生活中，会出现上面的情况，平均值一样，这里我们也关心数据与平均值的离散程度。也就是说，这种情况下，人们除了关心数据的“平均值”即“平均水平”外，人们往往还关注数据的离散程度，即相对于“平均水平”的偏离情况。
归纳：1.我们把一组数据中最大数据与最小数据的差叫极差。而极差是刻画数据离散程度的一个统计量.
探究2.刻画数据离散程度的统计量：方差、标准差
引例2.如果丙厂也参与了上面的竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，数据如下图所示：
（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
（2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与相应平均数的差距。
（3）在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？
解：（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数：
丙=______________________________________________________________极差为：_____________
（2）可以用丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差的和来刻画这20只鸡腿的质量与其平均数的差距。
甲厂20只鸡腿的质量与相应的平均数的差距为：
________________________________________________________________________________________；
丙厂20只鸡腿的质量与相应的平均数的差距为：
____________________________________________
（3）甲、丙两厂中的鸡腿质量平均数和极差相近时，用极差不能较好衡量这组数据的波动大小。可求各数据与其平均数的差距的绝对值的和：
甲厂：_________________________________； 丙厂：_________________________________
____厂的偏离平均数的距离和较小，波动较小，质量较稳定，所以____厂的产品更符合要求。
归纳：2.数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即：，标准差:
而标准差就是方差的算术平方根.
一般说来，一组数据的极差、方差、标准差越小，这组数据就越稳定。
三.典例与练习：
例1.为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下：（单位：mm）甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8 乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11
请你经过计算后回答如下问题：哪种农作物的10株苗平均高度比较高？（2）哪种农作物的10株苗长的比较整齐？
解：
练习1.我们知道接受检阅的仪仗队必须精挑细选，整齐划一，特别注重队员的身高，下面有两组仪仗队，准备抽取其中一组参与检阅.已知这两组仪仗队队员的身高（单位:cm）如下:
甲队 178 177 179 178 178 177 178 178 177 179
乙队 178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
你认为哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？
解：甲、乙仪仗队的平均数为：____________
甲仪仗队的方差为：_____________________________________________________________；
乙仪仗队的方差为：______________________________________________________________；
因为______________，所以_____仪仗队的队员比较整齐.
练习2.已知，一组数据x1,x2,...，xn的平均数是10，方差是2，那么：
①数据x1+3,x2+3,……，xn+3的平均数是___,方差是__，②数据2x1,2x2,……，2xn的平均数是__,方差是__，
③数据2x1+3,2x2+3,……，2xn+3的平均数是__,方差是__.
四.课堂小结：1.平均数比较可靠和稳定，但它容易受极端值的影响；中位数可靠性比较差，但它不受极端值的影响；众数往往是人们尤为关心的一种统计量（从众心理）.
2.极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度（偏离平均水平）的统计量.
3.极差和标准差的单位和原单位一致；方差的单位应该为原单位的平方，不具有什么实际意义通常略去．
五.分层过关：
1.一组数据6、4、a、3、2的平均数是4，则这组数据的方差为（ ）A．0 B．2 C． D．10
2.一组数据0，1，2，2，3，4，若添加一个数据2，则下列统计量中发生变化的是( )
A．方差 B．中位数 C．平均数 D．极差
3．选拔一名选手参加区中学生男子百米比赛，我校四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方差s2如表所示：要选拔一名成绩好且发挥稳定的同学，最合适的是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
甲 乙 丙 丁
12″33 10″26 10″26 11″29
S2 1.1 1.1 1.3 1.6
4.小刘和小李参加射击训练，各射击10次的平均成绩相同，如果他们射击成绩的方差分别是S小刘2＝0.6，
S小李2＝1.4，那么两人中射击成绩比较稳定的是____；
5.已知一个样本1，3，2，x，5，平均数是3，则这个样本的方差是__。
6.甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且中环的平均数X甲=X乙，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是S2甲__S2乙
7.深圳市某学校开展“数学史”知识竞赛活动，八年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示：
解
（1）请计算八（1）班、八（2）班选出的5名选手复赛的平均成绩；众数和中位数.
（2）请用方差判断哪个班选出的5名选手的复赛成绩比较稳定？
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