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专题01 平方根与立方根四种压轴题全攻略
类型一、平方根的非负性
例1．如果实数a、b满足，求的平方根．
例2．（2020·河北省初二期中）若与互为相反数，则=_____．
【变式训练1】若（2x﹣5）2+＝0，则2x+4y的平方根是_____．
【变式训练2】若实数x，y满足|x﹣3|＋＝0，则（x＋y）2的平方根为_______．
【变式训练3】已知，求的值．
【变式训练4】已知与互为相反数，求的平方根．
类型二、探究性规律问题
例1．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　）
A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536
例2．（2019·全国初二课时练习）(1)已知 , ，
，则____；
(2)已知 , ，
，则 ____；
(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向___移动____位；
(4)如果，则___，____．
【变式训练1】已知，若，则______；________；_________；若，则_______．
【变式训练2】根据下表回答问题：
16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8
256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24
（1）265.69的平方根是______；
（2）______，______，______；
（3）设的整数部分为，求的立方根．
【变式训练3】根据如表回答下列问题
x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9
x2 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 571.21
（1）566.44的平方根是　　；
（2）﹣≈　　；（保留一位小数）
（3）满足23.6＜＜23.7的整数n有　　个．
类型三、平方根与立方根的综合应用
例1．（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值；
（2）若与是同一个正数的平方根，求的值．
【变式训练1】（1） 一个正数x的平方根分别是2a3与5a，求a的值；
（2）一个正数的平方根是与，求的值．
【变式训练2】已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
【变式训练3】已知一个数的算术平方根为的平方根为求这个数
类型四、平方根与立方根的实际应用
例．如图，琦琦想用一块面积为900cm2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的纸片，使它的长宽之比为5：4，琦琦能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请通过计算说明．
【变式训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y﹣）x的值．
【变式训练2】教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；
（2）迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 的点，并比较它们的大小．
【变式训练3】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．
（1）如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到0.1h）
（2）如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到0.01km）
课后作业
1．已知a，b，c为三角形的三边，则=___．
2．（1）若一个数的平方根是2a+2和3a﹣7，求这个数；
（2）已知x为实数，且，求x2+x﹣3的平方根．
3．已知与互为相反数，求的平方根．
4．若实数、满足，求的平方根．
5．如图甲，这是由个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．
（1）当魔方体积时，求出这个魔方的棱长；
（2）①图甲中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分正方形的边长；
②把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点与数重合，求点在数轴上表示的数是多少．
专题01 平方根与立方根四种压轴题全攻略
类型一、平方根的非负性
例1．如果实数a、b满足，求的平方根．
【答案】±2
【详解】解：∵实数a、b满足，
∴a－1=0，b－3=0，∴a=1，b=3，∴a+b=1+3=4，
∴a+b的平方根为±2．故答案为：±2．
例2．（2020·河北省初二期中）若与互为相反数，则=_____．
【答案】
【解析】与互为相反数
整理得：则
故答案为：．
【变式训练1】若（2x﹣5）2+＝0，则2x+4y的平方根是_____．
【答案】±2
【详解】解：∵（2x﹣5）2+＝0，∴2x﹣5＝0，4y+1＝0，
∴2x＝5，4y＝﹣1，∴2x+4y＝5﹣1＝4，
∴2x+4y的平方根为±＝±2，
故答案为：±2．
【变式训练2】若实数x，y满足|x﹣3|＋＝0，则（x＋y）2的平方根为_______．
【答案】±4
【详解】解：根据题意得x﹣3＝0，y﹣1＝0，解得：x＝3，y＝1，
则（x+y）2＝（3+1）2＝16，
所以（x+y）2的平方根为±4．
故填：±4．
【变式训练3】已知，求的值．
【答案】2022
【详解】解：∵，∴．∴，
∴原式化简为，∴，
∴，
故．
【变式训练4】已知与互为相反数，求的平方根．
【答案】的平方根为±3．
【详解】∵与互为相反数，∴+=0，
∴a=27，b=36，∴=3+6=9，
∴的平方根为±3．
类型二、探究性规律问题
例1．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　）
A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536
【答案】A
【详解】解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8；
故选：A．
例2．（2019·全国初二课时练习）(1)已知 , ，
，则____；
(2)已知 , ，
，则 ____；
(3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向___移动____位；
(4)如果，则___，____．
【答案】（1）300；（2）0.04；（3）左(或右)，1；（4）10a，
【解析】解：（1）已知，，，则300；
（2）已知， ，，则 0.04；
（3）从以上的结果可以看出，被开方数的小数点向左（或右）移动3位，立方根的小数点则向左（或右）移动1位；（4）如果，则10a，，
故答案为：（1）300；（2）0.04；（3）左（或右）；1；（4）10a；．
【变式训练1】已知，若，则______；________；_________；若，则_______．
【答案】 214000 214
【详解】解：∵，且，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵且，∴，
故答案为：214000，±0.1463，-0.1289，214．
【变式训练2】根据下表回答问题：
16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8
256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24
（1）265.69的平方根是______；
（2）______，______，______；
（3）设的整数部分为，求的立方根．
【答案】（1）±16.3；（2）16.2；168，1.61；（2）-4
【详解】解：（1）由表格中数据可得：265.69的平方根是：±16.3；故答案为：±16.3；
（2）16.2，
，
故答案为：16.2；168；1.61
（3）∵，∴16＜＜17，
∴a=16，-4a=-64，∴-4a的立方根为-4．
【变式训练3】根据如表回答下列问题
x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9
x2 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 571.21
（1）566.44的平方根是　　；
（2）﹣≈　　；（保留一位小数）
（3）满足23.6＜＜23.7的整数n有　　个．
【答案】（1）；（2）-23.7；（3）5
【详解】（1）由表中数据可得：566.44的平方根是：±23.8；故答案为：±23.8；
（2）∵23.72＝561.69，∴≈23.7，∴﹣≈﹣23.7，故答案为：﹣23.7；
（3）∵23.62＝556.96，23.72＝561.69，556.96＜n＜561.69，
n=557，558，559，560，561，
∴满足23.6＜＜23.7的整数n有5个，故答案为：5．
类型三、平方根与立方根的综合应用
例1．（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值；
（2）若与是同一个正数的平方根，求的值．
【答案】(1)9；(2) 或.
【解析】解：(1)∵2a-1的平方根是±3，∴2a-1=9，∴a=5，
∵3a+b-1的算术平方根是4，∴3a+b-1=16，∴3×5+b-1=16，∴b=2，∴a+2b=5+2×2=9；
(2)分类讨论：①当与不相等时，由一个正数的平方根有两个，它们互为相反数可知：
+=0 解得：
②当与相等时 = 解得
故答案为：或.
【变式训练1】（1） 一个正数x的平方根分别是2a3与5a，求a的值；
（2）一个正数的平方根是与，求的值．
【答案】（1）－2；（2）
【解析】（1）一个正数x的平方根分别是2a3与5a
；
（2）一个正数的平方根是与，
．
【变式训练2】已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
【答案】±3
【解析】解：∵2a﹣1的平方根为±3，∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，a＝5；
∵3a+b﹣1的算术平方根为4，∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，解得b＝2，
∴a+2b＝5+4＝9，∴a+2b的平方根为：±3．
【变式训练3】已知一个数的算术平方根为的平方根为求这个数
【答案】441或49
【解析】∵x的平方根是±（2a－15），算术平方根为a+3，∴2a－15= a+3或2a－15= -（a+3），解得：a=18或a=4，∴a+3=21或7，∴这个数为441或49．
类型四、平方根与立方根的实际应用
例．如图，琦琦想用一块面积为900cm2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的纸片，使它的长宽之比为5：4，琦琦能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请通过计算说明．
【答案】不能．理由见解析
【详解】不能．理由如下：
正方形纸片的边长为：＝30（cm），
设裁出的纸片的长为5acm，宽为4acm，
则：5a 4a＝800，解得：a＝2，
∴5a＝10＞30，∴不能裁出符合要求的纸片．
【变式训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y﹣）x的值．
【答案】（1）小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近；（2）；（3）4
【详解】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，
∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近．
（2）∵阴影部分的面积的和为一个长为，宽为（3﹣）的矩形面积，
∴阴影部分的面积＝．
（3）∵小正方形的边长为，∴x＝2，y＝，
∴原式＝，＝4.
【变式训练2】教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；
（2）迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 的点，并比较它们的大小．
【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析，
【详解】解：设正方形边长为a，
∵a2=2， ∴a=，
故答案为：，；
（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：
②设拼成的大正方形的边长为b， ∴b2=5， ∴b=±，
在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M，则M表示的数为-3+，看图可知，表示-0.5的N点在M点的右方，
∴比较大小：．
【变式训练3】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．
（1）如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到0.1h）
（2）如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到0.01km）
【答案】（1）0.5h；（2）9.65km
【详解】（1）．
这场雷雨大约能持续0.5h．
（2）
课后作业
1．已知a，b，c为三角形的三边，则=___．
【答案】2b
【详解】解析：∵a、b、c为三角形的三边，
∴a-b-c＜0，a-c+b＞0
∴
2．（1）若一个数的平方根是2a+2和3a﹣7，求这个数；
（2）已知x为实数，且，求x2+x﹣3的平方根．
【答案】（1）16；（2）±3
【详解】（1）由题意可得：
2a+2+3a﹣7＝0
a＝1
∵2a+2＝4
3a﹣7＝﹣4
∴（±4）2＝16
∴这个数是16；
（2）由题意可得：
，
∴x﹣3＝2x+1，
∴x＝﹣4，
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9，
∴x2+x﹣3的平方根是±3．
3．已知与互为相反数，求的平方根．
【答案】
【解析】
【详解】
解：∵与互为相反数，
∴+=0，
∴2x+y=2，x-y=-3，
解方程组，得，
∴，∴的平方根是．
4．若实数、满足，求的平方根．
【答案】
【详解】解：，
，解得，
则．
5．如图甲，这是由个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．
（1）当魔方体积时，求出这个魔方的棱长；
（2）①图甲中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分正方形的边长；
②把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点与数重合，求点在数轴上表示的数是多少．
【答案】（1）魔方的棱长为4cm；（2）①阴影部分正方形ABCD的边长为；②
【详解】解：（1）当魔方体积V＝64cm3时，
（1）∵43＝64，∴，
所以这个魔方的棱长为4cm；
（2）①因为魔方的棱长为4cm；
所以每个小立方体的棱长为4÷2＝2（cm），
所以阴影部分正方形ABCD的边长为（cm），
S正方形ABCD＝＝8（cm2），答：阴影部分正方形ABCD的边长为；
②点D到原点的距离为：，
又因为点D在原点的左侧，所以点D所表示的数为，
故答案为：．
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