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奥数专题：探索规律（试题）数学五年级上册人教版
一、选择题
1．按规律填数：18，9，4.5，2.25，1.125，（ ），0.28125，…
A．0.5625 B．0.125 C．0.65 D．0.5635
2．乐乐用小棒做了四棵树，这四棵树也表示树的生长趋势，依次类推，第5棵树需要（ ）根小棒。
A．29 B．31 C．33 D．35
3．古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看成两个相邻“三角形数”之和。下面的等式中，符合这一规律的是（ ）。
A．13＝3＋10 B．25＝19＋6 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31
4．像这样摆8个平行四边形需要（ ）根小棒。
A．13 B．24 C．25 D．32
5．先找规律，再按规律选择答案：85.47×13＝1111.11，85.47×26＝2222.22，85.47×39＝3333.33，85.47×78的积是（ ），
A．4444.44 B．5555.55 C．6666.66
6．循环小数5.6767…的小数部分的第50位上的数字是（ ）。
A．5 B．6 C．7
二、填空题
7．按这样的规律摆正方形，摆10个正方形需要( )根小棒；100根小棒可以摆( )个正方形。
8．观察下列图形的规律并填空。
1 1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋( )
第7个图形一共由( )个小三角形组成。
9．不计算，运用规律直接填出得数：
3×0.6＝1.8 3.3×3.6＝11.88 3.33×33.6＝111.888 3.333×333.6＝( )
10．“长桌宴”是侗寨最为隆重的待客礼俗。每当有受到全寨尊敬的客人来侗寨，各家便会拼成长条桌，拼菜成席，共同款待客人，让客人一次性感受全寨各家各户的盛情。长桌的拼摆方式及座位如下图。
按这样拼下去，4张桌子拼在一起可坐( )人，n张桌子拼在一起可坐( )人。
11．找出规律后填空。
1÷1.1＝0.9090… 2÷1.1＝1.8181… 3÷1.1＝2.7272…
4÷1.1＝3.6363… 8÷1.1＝( ) ( )÷1.1＝8.1818…
12．用规律计算：2÷A＝0.0909…，4÷A＝0.1818…，6÷A＝0.2727…，8÷A＝0.3636…，那么10÷A＝( )。
13．相同的小棒按如图所示方式摆图形。
摆第6个图形需要( )根小棒，摆n个需要( )根小棒。76根小棒摆出的图形有( )个这样的六边形。
14．观察下图，照这样画下去，第10个图中涂色小正方形有( )个。
三、解答题
15．105个学生按照下面的规律站成四列，最后一个学生应站在第几列？
16．（1）这堆钢管一共有多少根？
（2）这根钢管在使用前，最上面一层只有1根，而且下一层总比上一层多1根，使用前这堆钢管一共有多少根？
（3）想一想，上面计算钢管根数的方法，对计算下面两题有什么帮助？试着算一算。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9
15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23
17．如图是一张4×4的方格图，它由16个小正方形组成，每个小正方形里都写了一个数。
（1）在这个方格图上框出形，那么框出的4个数的和一共有多少种？其中和最大是多少？最小呢？
（2）在这个方格图上框出形，那么框出的5个数的和一共有多少种？每5个数的和一定是15的倍数吗？为什么？
3 6 9 12
15 18 21 24
27 30 33 36
39 42 45 48
18．找规律，填数。
（1）填表格。
小正方体个数 1 2 3 4 5 6 …
露在外面的面/个 …
（2）你发现了什么规律？
19．下面是2008年6月的日历。
①像这种形式的哪5个数的和是100，在图中用阴影表示出这5个数。
②能找到和是120的这样的五个数吗？为什么？
20．小明爬楼梯锻炼，它2分钟先爬五层，然后2分钟向下走二层，再向2分钟向上爬，然后2分钟向下走，如此反复。他爬到三十二层楼时用了几分钟？
参考答案：
1．A
【分析】根据题意可知，9＝18÷2；4.5＝9÷2，2.25＝4.5÷2，…，由此可知，后一个数是前一个数的一半，用前一个数除以2，即可求出后一个数，据此解答。
【详解】1.125÷2＝0.5625
按规律填数：18，9，4.5，2.25，1.125，0.5625，0.28125，…
故答案为：A
【点睛】解答本题的关键是根据已知的数得出前后数之间的变化规律，再利用变化规律进行解答。
2．B
【分析】观察图形可知，后面每一棵树用小棒的数量是前面小棒的数量的2倍多1，即第二棵树用小棒2×1＋1＝5根；第三棵树用小棒2×3＋1＝7根；第四棵树用小棒2×7＋1＝15根；第五棵树用小棒2×15＋1＝31根，据此解答。
【详解】根据分析可知，第二棵树需要小棒：2×1＋1
2＋1
＝3（根）
第三棵树需要小棒：2×3＋1
＝6＋1
＝7（根）
第四棵树需要小棒：2×7＋1
＝14＋1
＝15（根）
第5棵树用小棒需要：
2×15＋1
＝30＋1
＝31（根）
故答案为：B
【点睛】根据题干中已知图形的排列特征以及数量关系，推理得出一般的结论进行解答，是解答本题的关键。
3．C
【分析】根据“三角形数”的规律是：1，3，6，10，15，21，28，36，45……，而“正方形数”是两个相邻“三角形数”之和，据此逐项判断即可。
【详解】A．13＝3＋10，3和10不是相邻的“三角形数”；
B．25＝19＋6，19不是“三角形数”；
C．36＝15＋21，符合规律；
D．49＝18＋31，18和31均不是三角形数。
故答案为：C
【点睛】解答本题的关键是找清楚“三角形数”和“正方形数”的关系，从而进行求解。
4．C
【分析】观察图形可知，摆1个平行四边形，需要4根小棒，摆2个平行四边形，需要7根小棒，摆3个平行四边形，需要10根小棒，摆n个平行四边形，需要3n＋1根小棒；据此解答。
【详解】8×3＋1
＝24＋1
＝25（根）
故答案为：C
【点睛】根据题干中特殊的例子，推理得出这组图形的一般规律，是解决此类问题的关键。
5．C
【分析】观察算式发现，85.47×13×1＝1111.11，85.47×（13×2）＝2222.22，85.47×（13×3）＝3333.33， 则85.47×（13×n）＝nnnn.nn。据此解答即可。
【详解】由分析可知：
85.47×78
＝85.47×（13×6）
＝6666.66
故选：C
【点睛】本题考查算式的规律，发现规律，利用规律是关键。
6．C
【分析】这个循环小数的循环节是67，根据周期问题的解题方法，用50÷2，根据余数来确定第50位上的数字，余数是1，就是6，没有余数就是7，据此分析。
【详解】50÷2＝25，所以循环小数5.6767…的小数部分的第50位上的数字是7。
故答案为：C
【点睛】解答周期问题的关键是找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续计算。
7． 31 33
【分析】摆一个正方形需要4个小棒，可以写成：3×1＋1；
摆二个正方形需要7个小棒，可以写成：3×2＋1；
摆3个正方形需要10个小棒，可以写成：3×3＋1；
……
摆n个正方形需要3n＋1个小棒，由此求出当n＝10时，求出需要小棒的数量，以及100根小棒可以摆多少个正方形。
【详解】根据分析可知，摆10和正方形需要小棒：
3×10＋1
＝30＋1
＝31（根）
（100－1）÷3
＝99÷3
＝33（个）
按这样的规律摆正方形，摆10个正方形需要31根小棒；100根小棒可以摆33个正方形。
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到每个图形的规律。
8． 7 49
【分析】观察个图形可知，第1个图形由1个小三角形组成，可以写成12；
第2个图形由4个小三角形组成，可以写成22；
第3个图形由9个小三角形组成，可写成32；
……
第n个图形由n2个小三角形组成，由此可知，第4个图形由42个小三角形组成，用42－1－3－5，求出第一个空；第7个图形由72组成，据此求出第7个图形一共由多少个小三角形组成。
【详解】根据分析可知：42－1－3－5
＝16－1－3－5
＝15－3－5
＝12－5
＝7
72＝49（个）
观察下列图形的规律并填空。
1 1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋7
第7个图形一共由49个小三角形组成。
【点睛】本题考查图形的规律问题，根据题意，找出图形与数字之间的规律是解答本题的关键。
9．1111.8888
【分析】观察可知，第一个因数有几个3，得数中就有几个1和几个8，小数点是1和8的分界线，据此填空即可。
【详解】3.333×333.6＝1111.8888
【点睛】在数学算式中探索规律，需要仔细观察算式特点，找出规律，根据规律填出这一类算式的结果。
10． 18 4n＋2
【分析】看图，1张桌子可以坐1×4＋2＝6（人），2张桌子可以坐2×4＋2＝10（人），3张桌子可以坐3×4＋2＝14（人），每加一张桌子可以多坐4人。那么可以推测，4张桌子拼在一起可以坐4×4＋2＝18（人），n张桌子拼在一起可以坐（n×4＋2）人。
【详解】4×4＋2
＝16＋2
＝18（人）
n×4＋2＝4n＋2
所以，按这样拼下去，4张桌子拼在一起可坐18人，n张桌子拼在一起可坐（4n＋2）人。
【点睛】本题考查了用字母表示数以及找规律，有一定观察和抽象概括能力是解题的关键。
11． 7.2727… 9
【分析】观察除法算式，得出规律：被除数是从1开始递增的自然数，除数都是1.1，商是循环小数0.9090…依次乘1、2、3……的积，且小数的整数部分比被除数少1。按此规律解答。
【详解】根据分析可知，
1÷1.1＝0.9090… 2÷1.1＝1.8181… 3÷1.1＝2.7272…
4÷1.1＝3.6363… 8÷1.1＝7.2727… 9÷1.1＝8.1818…
【点睛】本题是找规律的题型，从已知的算式中找到规律，并按规律解题。
12．0.4545…
【分析】观察算式发现每个算式的结果都是循环小数，并且每个循环小数的循环节都是9的倍数。1×9＝9，对应的第一个商的循环节是09；2×9＝18，对应的第二个商的循环节是18；3×9＝27，对应的第三个商的循环节是27。那么可以推出，第五个商的循环节是5×9＝45。据此填空。
【详解】用规律计算：2÷A＝0.0909…，4÷A＝0.1818…，6÷A＝0.2727…，8÷A＝0.3636…，那么10÷A＝0.4545…。
【点睛】本题考查了算式的规律，有一定观察总结能力是解题的关键。
13． 31 5n＋1 15
【分析】根据图示，摆1个图形需要小棒6根，可以写成：5×1＋1；第二个图形需要小棒11根，可以写成：5×2＋1；第三图形需要小棒16根，可以写成：5×3＋1；……；由此可知，当第n个图形需要小棒：（5×n＋1）根；由于有76根小棒，那么用（总的小棒数量－1）÷5即可求出有多少个这样的六边形，据此解答。
【详解】摆1个图形需要小棒：
5×1＋1
＝5＋1
＝6（根）
摆2个图形需要小棒：
5×2＋1
＝10＋1
＝11（根）
摆3个图形需要小棒：
5×3＋1
＝15＋1
＝16（根）
摆n个图形需要小棒：
5×n＋1
＝（5n＋1）根
当n＝6时：
5×6＋1
＝30＋1
＝31（根）
（76－1）÷5
＝75÷5
＝15（个）
摆第6个图形需要31根小棒，摆n个需要（5n＋1）根小棒。76根小棒摆出的图形有15个这样的六形。
【点睛】本题考查图形的变化规律，注意培养观察能力和总结能力。
14．31
【分析】观察图形可知，第1个图中有4个涂色的小正方形，第2个图中有4＋3＝7个涂色的小正方形，第3个图中有4＋3＋3＝10个涂色的小正方形，则第n个图中有4＋3（n－1）＝3n＋1个涂色的小正方形。据此填空即可。
【详解】第10个图中涂色小正方形有：
3n＋1＝3×10＋1
＝30＋1
＝31（个）
则第10个图中涂色小正方形有31个。
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
15．第一列
【分析】表中的数字每7个数字为一组，按一、二、三、四、三、二、一列的顺序排列。105除以7得到15，即完成15个周期，据此可得出答案。
【详解】从表中可以看出每7个数字为一组，按一、二、三、四、三、二、一列的顺序排列。
105÷7＝15（组）
答：最后一个学生应站在第一列。
【点睛】本题主要考查的是周期变化规律，解题的关键是找出变化的周期及周期个数，进而得出答案。
16．（1）50根；
（2）78根；
（3）45；171
【分析】（1）这堆钢管最上面一层8根，最下面一层12根，一共有5层，钢管的总数量＝（上层根数＋下层根数）×层数÷2；
（2）由题意可知，最上面一层1根，最下面一层12根，一共有12层，钢管的总数量＝（上层根数＋下层根数）×层数÷2；
（3）题中相邻数字的和＝（第一个数字＋最后一个数字）×数字的个数÷2；据此解答。
【详解】（1）（8＋12）×5÷2
＝20×5÷2
＝100÷2
＝50（根）
答：这堆钢管一共有50根。
（2）（1＋12）×12÷2
＝13×12÷2
＝156÷2
＝78（根）
答：使用前这堆钢管一共有78根。
（3）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9
＝（1＋9）×9÷2
＝10×9÷2
＝90÷2
＝45
15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23
＝（15＋23）×9÷2
＝38×9÷2
＝342÷2
＝171
【点睛】掌握梯形的面积计算公式是解答题目的关键。
17．（1）6种；最大165，最小57
（2）4种；原因见详解
【分析】（1）根据题意，按一定的规律，找出所有，进而找出和的最大值和最小值；
（2）框出形，那么中心的数有4个，分别是18、21、30、33，是有意一共有4中，如果这5个数的和既是3的倍数，又是5的倍数，那么它就是15的倍数，据此解答。
【详解】（1）可框出的四个数有3、15、18、21；6、18、21、24；15、27、30、33；18、30、33、36；27、39、42、45；30、42、45、48。一共有6种情况；
最大：30＋42＋45＋48＝165；
最小：3＋15＋18＋21＝57。
（2）一共有4种，根据框中心数与周围数的关系，可知和是中心数的5倍，中心的数18、21、30、33都是3的整数倍，5×3＝15，所以每5个数的和一定是15的倍数。
【点睛】此题考查了数表的规律以及3和5的倍数特征，根据题意认真解答即可，注意按照一定的顺序防止多写或漏写。
18．（1）5；9；13；17；21；25
（2）从第二个图形起，每增加1个正方体，露在外面的面数都比前一个组合体增加4个面。
【分析】（1）第一个露在外面的面为5个，第二个露在外面的面为5＋4＝9个，第三个露在外面的面为9＋4＝13个，据此发现规律：从第二个图形起，每增加1个正方体，露在外面的面数都比前一个组合体增加4个面，据此完成表格；
（2）规律为：从第二个图形起，每增加1个正方体，露在外面的面数都比前一个组合体增加4个面。
【详解】（1）表格如下：
小正方体个数 1 2 3 4 5 6 …
露在外面的面/个 5 9 13 17 21 25 …
（2）规律为：从第二个图形起，每增加1个正方体，露在外面的面数都比前一个组合体增加4个面。
【点睛】发现问题、分析、归纳是解答此题的关键，考查了学生逻辑推理的能力。
19．①见详解
②因为24的下面没有数字31，所以不能找到和是120的这样的五个数。
【分析】①仔细观察框中的5个数，我们不难发现5个数的和是中间数的5倍，由“5个数的和是100”求出中间数，进而找出其他4个数，据此画出框即可。
②根据①可知，和是120的5个数中间数是120÷5＝24，结合日历表分析即可。
【详解】①100÷5＝20
20－7＝13
20－1＝19
20＋1＝21
20＋7＝27
如图所示：
②120÷5＝24
24＋7＝31
因为24的下面没有数字31，所以不能找到和是120的这样的五个数。
【点睛】解答此题的关键是，根据所给的框法，及表中数的特点，即可找出它们之间的规律，再根据规律作答即可。
20．38分钟
【分析】已知小明爬楼梯锻炼，2分钟先爬五层，然后2分钟向下走二层，也就是说4分钟爬了5－2＝3（层），如此反复，当他爬到第27层的时候如此往复了27÷3＝9（次），用了4×9＝36（分），再用2分钟先爬五层就到了三十二层，据此解答即可。
【详解】（32－5）÷3×4＋2
＝27÷3×4＋2
＝36＋2
＝38（分钟）
答：他爬到三十二层楼时用了38分钟。
【点睛】找出一个周期对应的层数和时间，明确爬最后5层的时候只需要2分钟。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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