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专题01 平方根与算术平方根（六大类型）
【题型1：平方根的概念和表示】
（2023春 确山县期中）
1．的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
（2023春 徐汇区期末）
2．的平方根是 ．
（2023春 利川市期末）
3．已知，则的值是（ ）
A．3 B． C．3或 D．不确定
（2023春 西岗区期末）
4．下列说法正确的是（ ）
A．正数的平方根是它本身 B．100的平方根是10
C．是100的一个平方根 D．的平方根是
【题型2：平方根的性质】
（2023春 涪城区期末）
5．若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　）
A．3 B． C．1 D．
（2023春 朝天区月考）
6．如果一个正数x的平方根是和，则这个正数（ ）
A．3 B．9 C．18 D．81
（2023春 平邑县期中）
7．若和是正数m的平方根，求m的值．
（2022春 凉州区期中）
8．已知一个正数a的两个平方根分别是x＋3和2x－15，求x和a的值．
（2023春 扎赉特旗期末）
9．一个正数的的平方根是与，求和的值．
【题型3：利用开平方解方程】
（2023 白云区一模）
10．解方程．
（2023春 大兴区期中）
11．已知，求x的值．
（2022春 宾川县校级期中）
12．求下列各式中的x．
(1)x2＝49；
(2)．
（2023 大冶市一模）
13．求下列各式中x的取值
(1) 2x2-8 =0 (2)4(2x-1)2 =9
（2023春 牧野区校级期中）
14．解方程：
(1)；
(2)．
（2022春 虞城县期中）
15．解方程：
(1)；
(2)．
（2022春 磁县校级月考）
16．求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
（2022春 雨花区期末）
17．已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
(1)求和的值；
(2)求关于的方程的解．
【题型4：算术平方根的概念】
（2023春 石嘴山校级期末）
18．的算术平方根（ ）
A． B． C． D．
（2023 新华区校级二模）
19．若，则（ ）
A． B．1 C． D．0
（2023 朝天区模拟）
20．的平方根是( )
A． B． C． D．
（2022秋 大名县期末）
21．若是整数，则正整数不可能是（ ）
A．6 B．9 C．11 D．14
（2023春 金川区校级期中）
22．如图，已知其中两个正方形的面积为20和69，那么正方形的边长为（ ）．

A．5 B．6 C．7 D．
（2023春 临颍县期中）
23．的算术平方根是（ ）
A． B．3 C． D．
（2023春 绥棱县期末）
24．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023春 渝中区校级月考）
25．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
（2023春 沙市区期末）
26．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【题型5：算术平方根的非负性】
（2023春 琼海校级期末）
27．已知为实数，且，则的值为（　　）
A．1 B．1 C．2 D．
（2023春 绥阳县期中）
28．已知实数m，n满足，则的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．0 D．1
（2023春 蜀山区校级月考）
29．若，为实数，且满足，则的算术平方根为（ ）
A．4 B． C．2 D．
（2022春 让胡路区校级月考）
30．实数的平方根为（　　）
A．a B．±a C． D．
（2022秋 淮阳区期末）
31．若，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2021秋 兰考县期末）
32．若则的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
（2023春 渝中区校级月考）
33．，则（ ）
A． B． C． D．
（2023春 庄浪县期中）
34．已知，那么的值为（ ）
A． B． C． D．1
【题型6：算术平方根的应用】
（2023春 双柏县期中）
35．勤俭节约是中华民族传统美德，小亮的爸爸是能工巧匠，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为1.69平方米，其中他用的一块木板的边长为0.5米，求另一块木板的边长是多少米？
（2023春 朝天区月考）
36．面积为正方形纸片沿边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？
（2023春 大冶市期末）
37．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形．
(1)求拼成的大正方形纸片的边长；
(2)若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？若能，试求出剪出的长方形的长与宽；若不能，请说明理由．
（2022秋 渭滨区期末）
38．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．
例如：-9，-4，-1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为“完美组合数”．
(1)-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
(2)若三个数-3，m，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
（2023春 抚顺月考）
为了丰富学生的课余生活，霖霖同学计划在活动室举行才艺展示活动，由于场地等条件的限制，霖霖同学准备在长的正方形规定区域铺设一块面积是的长方形地毯，且地毯的长与宽之比为，霖霖同学能否完成地毯的铺设工作呢？请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】先求得的值，然后依据平方根的性质求解即可．
【详解】解：因为，，
∴的平方根是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
2．.
【分析】先求出的值，然后利用平方根定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴3的平方根是，
故答案为．
【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
3．C
【分析】两边开平方，再解一元一次方程即可．
【详解】解：，
∴，
∴或，
解得：或．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用平方根解方程，解题时要注意有两个解．
4．C
【分析】根据平方根的定义逐项分析即可．
【详解】解：A、正数的平方根有2个，它们是互为相反数，故错误；
B、100的平方根是，故错误；
C、∵，∴是100的一个平方根，正确；
D、没有平方根，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．
5．D
【分析】根据平方根的性质列方程求解即可；
【详解】∵ 与是同一个正数的两个平方根，
∴ 与互为相反数，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．
6．D
【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和为0，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：；
；
这个正数是；
故选：D．
【点睛】本题考查平方根的性质，掌握一个正数有两个平方根且它们互为相反数是解题的关键.
7．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数来解答即可．
【详解】解：因为和是正数的平方根，
所以＋＝0，
所以，
所以m=(-2+1)2=1．
【点睛】本题考查平方根的性质，解题关键是理解正数的两个平方根互为相反数．
8．x=4，a=49
【分析】根据正数的平方根互为相反数列方程求解即可．
【详解】解：由题意得，x+3=-（2x-15），
解得x=4，
a=（4+3）2=49，
∴x=4，a=49．
【点睛】本题主要考查平方根的知识，熟练根据正数的平方根互为相反数列方程求解是解题的关键．
9．；
【分析】根据平方根的定义，与互为相反，列方程求解即可得到答案．
【详解】解：∵一个正数的的平方根是与，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查平方根定义，熟记一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决问题的关键．
10．，；
【分析】直接开平方求解即可得到答案；
【详解】解：两边开平方可得，
，
即，
∴，，
∴方程的解为：，；
【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及选择适当的解法求解．
11．或
【分析】根据求平方根的方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴或．
【点睛】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键．
12．(1)x=±7
(2)y=11或y=－5
【分析】（1）根据平方根的定义计算即可．
（2）根据平方根的定义计算即可．
【详解】（1）x =49
x=；
（2）(y 3)=64
y－3=±8
y=11或y=－5．
【点睛】本题主要考查利用平方根解方程，熟练掌握平方根的计算是解决该问题的关键．
13．（1）；（2），．
【分析】（1）先整理，然后利用直接开平方法解方程，即可得到答案；
（2）先整理，然后利用直接开平方法解方程，即可得到答案．
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法解方程．
14．(1)，
(2)，
【分析】（1）先将系数化为，然后方程左右两边同时开方即可求解；
（2）用直接开方法求出的值，再求出的值即可．
【详解】（1）解：，
，
，．
（2）解：，
或，
，．
【点睛】本题考查了利用平方根求解，正确利用平方根求解是解答本题的关键．
15．(1)或
(2)
【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可；
（2）根据求立方根的方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键．
16．(1)
(2)或
【分析】（1）系数化为1，根据平方根的定义即可求解；
（2）将看作整体，根据平方根的定义即可求解.
【详解】（1），
，
解得：；
（2），
，
，
解得：或.
【点睛】本题考查了利用平方根的概念解方程，需注意一个正数的平方根有两个.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；
（2）根据平方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
；
（2）解：原方程为：，
，
解得：．
【点睛】本题考查平方根的概念，利用平方根解方程，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
18．B
【分析】根据算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根求解即可．
【详解】解：，
∴81的算术平方根是9，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，其中算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
19．B
【分析】根据算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．
20．A
【分析】根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：，
的平方根是，
故选：．
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，记作．
21．B
【分析】先确定n的取值范围，再利用 是整数，n为正整数，确定n的值即可．
【详解】解：∵是整数，n为正整数，
∴15﹣n＞0，解得：n＜15，
∵是整数，
∴n的值为：6，11，14，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根，确定n的取值范围是解题的关键．
22．C
【分析】根据勾股定理，可得20+正方形的面积＝69，求出正方形的面积即可解决问题．
【详解】解：根据勾股定理，可得：20+正方形的面积＝69，
∴正方形的面积＝49，
∴正方形的边长为7，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．
23．D
【分析】先算出，再求算术平方根即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∵3的算术平方根是，
故选D．
【点睛】本题考查算术平方根的计算，解题的关键是先求出9的算术平方根．
24．A
【分析】根据算术平方根定义求解即可；
【详解】解：∵，
∴四个选项中，只有A选项，符合题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的计算，准确计算是解题的关键．
25．D
【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．
26．A
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9=18，
则大正方形的边长为：，
∵，
∴4＜＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
27．B
【分析】根据非负数的性质， 求出，，即可计算的值．
【详解】解：，
，，
，，
，
故选B．
【点睛】本题考查了平方数的非负性，算术平方根的非负性，解题关键是掌握几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0．
28．A
【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求解．
【详解】解：依题意得，，
解得，，
∴，
故选：A．
【点睛】此题主要考查二次根式和绝对值的性质，解题的关键是熟知二次根式的非负性．
29．C
【分析】根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出算术平方根即可．
【详解】解：，
，，
，，
，
∴，
的算术平方根为2，
故选C．
【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，方程的思想，算术平方根的应用，关键是求出、的值．
30．D
【分析】首先根据算术平方根的定义可以求得=|a|，再利用平方根的定义即可得到结果．
【详解】∵当a为任意实数时，=|a|，而|a|的平方根为，∴实数的平方根为．
故选D．
【点睛】本题考查了平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
31．D
【分析】由开平方运算得到，由开平方运算得到，再由得到异号，由此即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，即异号，
∴或，
∴或，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的概念及求解，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根为它本身0，负数没有平方根．
32．B
【分析】根据绝对值和算术平方根的性质，可得3﹣a=0，2+b=0，即可求解．
【详解】解：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，
解得，a=3，b=﹣2，
所以a+b=1．
故选：B
【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键．
33．B
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键．
34．D
【分析】直接利用绝对值以及算术平方根的性质得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：，
，，
，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．
35．另一块木板的边长为1.2米
【分析】设另一块木板的边长为米，根据面积为1.69平方米得到，，解方程即可得到答案．
【详解】解：设另一块木板的边长为米，则：
，即：，
解得：，（舍去），
∴另一块木板的边长为1.2米，
答：另一块木板的边长为1.2米．
【点睛】本题主要考查了平方根的应用，根据题意列出方程并用平方根的定义求解是解题的关键．
36．能
【分析】根据长方形的长、宽的比例关系，设未知数列方程求解，并与原正方形边长进行比较即可．
【详解】解：设长方形的长为，宽为，
由题意得，，
解得或（舍去），
长方形的长为，宽为,
面积为的正方形纸片的边长为 ,
，
能剪出长方形纸片的长、宽之比为，且面积为的长方形．
【点睛】本题考查算术平方根及其比较大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提，设长方形的长、宽列方程求解及比较大小是解决问题的关键．
37．(1)
(2)能；剪出的长方形的长为，宽为
【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出大正方形的边长；
（2）先求出长方形的边长，再判断即可．
【详解】（1）解：大正方形的边长为：；
（2）解：设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得：
，
解得：或（舍去），
长方形的长为，宽为，
，
∴沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
38．(1)是，理由见解析
(2)m的值为-48或-12
【分析】（1）根据新定义进行计算，即可得到答案；
（2）根据新定义的运算法则进行计算，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，，，
∴18，8，2这三个数是“完美组合数”．
（2）解：①当时，
解得：；
②当时，
解得：
综上所述，m的值为或．
【点睛】本题考查了新定义的运算法则，解题的关键是掌握新定义的运算法则进行计算．
39．霖霖同学不能完成地毯的铺设工作，理由见解析．
【分析】设长方形地毯的长与宽分别为，，得到，于是求出长方形地毯的长，即可得到答案．
【详解】解：霖霖同学不能完成地毯的铺设工作，理由如下：
设长方形地毯的长与宽分别为，，
由题意得：，
∴，
∴，
∴长方形地毯的长是，
∵，
∴霖霖同学不能完成地毯的铺设工作．
【点睛】本题考查算术平方根的应用，关键是求出长方形地毯的长．

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